Calcul intégral : méthodes et applications

📋 Plan du Cours

1. Intégration par parties
2. Aire entre deux courbes
3. Valeur moyenne d’une fonction
4. Intégrales et suites

📖 1. Intégration par parties

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables u et v sur [a ; b], on a ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx.

🔄 Processus — Pour intégrer par parties, on choisit comme facteur à dériver celui dont la dérivée simplifie l’expression, puis on intègre l’autre facteur.

Compléments

• L’intégrale ∫₀^(π/2) x sin(x) dx vaut 1.

• L’intégrale ∫₀^(π/2) x² cos(x) dx se calcule par une double intégration par parties et vaut π²/4 − 2.

💡 Astuce mémo

Dériver un facteur, intégrer l’autre

📖 2. Aire entre deux courbes

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Si 0 ≤ f(x) ≤ g(x) sur [a ; b], l’aire comprise entre les courbes de f et de g vaut ∫ₐᵇ g(x) dx − ∫ₐᵇ f(x) dx, soit ∫ₐᵇ [g(x) − f(x)] dx.

• Pour f(x)=x²+1 et g(x)=−x²+2x+5 sur [−1 ; 2], l’aire délimitée par les deux courbes vaut 9 unités d’aire.

Compléments

📐 Formule — Par linéarité de l’intégrale, la différence des intégrales peut être regroupée en une seule intégrale : ∫ₐᵇ g(x) dx − ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ [g(x)−f(x)] dx.

• Dans l’exemple, ∫₋₁² g(x) dx = 15 et ∫₋₁² f(x) dx = 6.

💡 Astuce mémo

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