Le second degré : fiche de révision

1Le cours condensé

Une fonction polynôme du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. Sa courbe est une parabole, tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0, de sommet S(α ; β) avec α = −b/(2a) et β = f(α). La forme canonique est f(x) = a(x − α)² + β ; elle donne directement le sommet, l'extremum (minimum si a > 0, maximum si a < 0) et l'axe de symétrie x = α.

Le discriminant Δ = b² − 4ac décide du nombre de racines de l'équation ax² + bx + c = 0 : si Δ > 0, deux racines réelles distinctes x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a) ; si Δ = 0, une racine double x₀ = −b/(2a) ; si Δ < 0, aucune racine réelle.

Factorisation : si Δ > 0, ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) ; si Δ = 0, a(x − x₀)². Signe du trinôme : il est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de −a entre les racines ; sans racine réelle, il est toujours du signe de a. Somme et produit des racines : x₁ + x₂ = −b/a et x₁x₂ = c/a.

2Un exemple entièrement corrigé

Résoudre 2x² − 3x − 2 = 0 et étudier le signe de f(x) = 2x² − 3x − 2. Ici a = 2, b = −3, c = −2. Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25 > 0, donc deux racines : x₁ = (3 − 5)/4 = −1/2 et x₂ = (3 + 5)/4 = 2. Vérification par somme et produit : x₁ + x₂ = 3/2 = −b/a ✓ et x₁x₂ = −1 = c/a ✓.

Factorisation : f(x) = 2(x + 1/2)(x − 2) = (2x + 1)(x − 2). Signe : a = 2 > 0, donc f(x) > 0 pour x < −1/2 ou x > 2, f(x) < 0 pour −1/2 < x < 2, f(x) = 0 en −1/2 et 2. Sommet : α = 3/4, β = f(3/4) = 2 × 9/16 − 9/4 − 2 = −25/8 : minimum −25/8 atteint en 3/4.

Résolution d'inéquation : 2x² − 3x − 2 ≤ 0 a pour ensemble de solutions l'intervalle [−1/2 ; 2]. On lit directement le tableau de signes.

3Méthodes types et pièges

Méthodes attendues : passer de la forme développée à la forme canonique (compléter le carré ou utiliser α, β), résoudre une équation ou une inéquation du second degré via Δ et un tableau de signes, trouver le sommet pour un problème d'optimisation (aire maximale, coût minimal), retrouver une fonction à partir de ses racines ou de son sommet, résoudre des équations qui se ramènent au second degré (bicarrées avec X = x², équations produits).

Pièges : oublier le signe de a dans le tableau de signes ; confondre « pas de racine » et « toujours négatif » (sans racine, le trinôme est du signe de a, qui peut être positif) ; erreurs de signe dans Δ avec b négatif ; diviser par x sans traiter x = 0 ; répondre à une inéquation par des valeurs au lieu d'un intervalle ; oublier que la forme a(x − x₁)(x − x₂) exige le facteur a.

4Comment s'entraîner

Automatise d'abord le calcul de Δ et des racines sur dix trinômes chronométrés, puis dix tableaux de signes. Enchaîne avec des problèmes contextualisés (rectangle d'aire maximale à périmètre fixé, trajectoire parabolique) où il faut modéliser avant de résoudre. Vérifie toujours par somme et produit des racines : c'est le contrôle le plus rapide. Génère des QCM sur ce chapitre avec Revizly pour tester les réflexes (signe de a, cas Δ = 0, lecture d'un tableau de signes) avant le contrôle.