Dérivation : nombre dérivé et fonction dérivée : fiche de révision

1Le cours condensé

Le taux de variation de f entre a et a + h est [f(a + h) − f(a)]/h : c'est la pente de la sécante. Le nombre dérivé f'(a) est la limite de ce taux quand h tend vers 0, lorsqu'elle existe ; c'est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Équation de la tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a).

La fonction dérivée f' associe à x le nombre f'(x). Dérivées usuelles : (k)' = 0 ; (x)' = 1 ; (x²)' = 2x ; (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ ; (1/x)' = −1/x² ; (√x)' = 1/(2√x) sur ]0 ; +∞[. Opérations : (u + v)' = u' + v' ; (ku)' = ku' ; (uv)' = u'v + uv' ; (1/v)' = −v'/v² ; (u/v)' = (u'v − uv')/v². Dérivée de x ↦ g(ax + b) : a × g'(ax + b), par exemple ((2x + 1)³)' = 6(2x + 1)².

2Un exemple entièrement corrigé

Soit f(x) = x³ − 3x + 1. Dérivée : f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Tangente en a = 2 : f(2) = 8 − 6 + 1 = 3 et f'(2) = 12 − 3 = 9, donc T : y = 9(x − 2) + 3 = 9x − 15.

Calcul par le taux de variation en a = 1 pour vérifier la définition : f(1 + h) = (1 + h)³ − 3(1 + h) + 1 = 1 + 3h + 3h² + h³ − 3 − 3h + 1 = −1 + 3h² + h³ ; f(1) = −1 ; taux = (3h² + h³)/h = 3h + h² qui tend vers 0 quand h → 0 : f'(1) = 0, cohérent avec 3 × 1 − 3 = 0. La tangente en 1 est horizontale : y = −1.

Dérivée d'un quotient : g(x) = (2x + 1)/(x − 3) sur ℝ \ {3}. u = 2x + 1, u' = 2, v = x − 3, v' = 1 : g'(x) = [2(x − 3) − (2x + 1)]/(x − 3)² = −7/(x − 3)².

3Méthodes types et pièges

Méthodes : calculer un nombre dérivé par le taux de variation (quand l'énoncé l'exige), lire graphiquement f'(a) comme pente d'une tangente tracée, écrire une équation de tangente, dériver des produits et quotients, factoriser la dérivée pour préparer l'étude de signe (chapitre suivant).

Pièges : dériver un produit terme à terme ((uv)' n'est pas u'v') ; oublier le carré au dénominateur du quotient ; se tromper de signe pour (1/x)' ; dériver une constante multiplicative (5x³ donne 15x², pas 5 × 3x² × x) ; confondre f'(a) (un nombre) et f'(x) (une fonction) ; écrire l'équation de la tangente avec f(a) et f'(a) inversés. Toujours préciser l'ensemble de dérivabilité (√x n'est pas dérivable en 0).

4Comment s'entraîner

Vingt dérivées chronométrées par jour pendant une semaine suffisent à automatiser les formules ; varie les formes (polynômes, quotients, racines, puissances de ax + b). Vérifie tes résultats avec un logiciel ou la calculatrice (mode dérivée numérique). Puis travaille les tangentes et les lectures graphiques. Fais une flashcard par formule avec Revizly et laisse la répétition espacée gérer les rappels — les formules de dérivation servent jusqu'au bac.