Suites numériques : arithmétiques et géométriques : fiche de révision

1Le cours condensé

Une suite (uₙ) associe à chaque entier naturel n un réel uₙ. Elle peut être définie de façon explicite (uₙ = f(n), par exemple uₙ = 3n + 1) ou par récurrence (premier terme et relation uₙ₊₁ = f(uₙ), par exemple u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 2uₙ − 1). Une suite est croissante si uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n, décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ ; on étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ, ou le quotient uₙ₊₁/uₙ comparé à 1 pour une suite à termes strictement positifs, ou les variations de f si uₙ = f(n).

Suite arithmétique de raison r : uₙ₊₁ = uₙ + r ; terme général uₙ = u₀ + nr (ou uₙ = uₚ + (n − p)r) ; croissante si r > 0, décroissante si r < 0. Somme des termes : u₀ + u₁ + … + uₙ = (n + 1)(u₀ + uₙ)/2, c'est-à-dire nombre de termes × (premier + dernier)/2. Cas particulier : 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.

Suite géométrique de raison q : uₙ₊₁ = q × uₙ ; terme général uₙ = u₀ × qⁿ. Pour u₀ > 0 : croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1, constante si q = 1. Somme : u₀ + … + uₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) pour q ≠ 1 ; en particulier 1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q).

2Un exemple entièrement corrigé

Un capital de 1 000 € est placé à 3 % par an à intérêts composés. On note uₙ le capital après n années. Chaque année le capital est multiplié par 1,03 : uₙ₊₁ = 1,03 uₙ avec u₀ = 1 000, donc (uₙ) est géométrique de raison 1,03 et uₙ = 1 000 × 1,03ⁿ. Après 10 ans : u₁₀ = 1 000 × 1,03¹⁰ ≈ 1 343,92 €. La suite est croissante car u₀ > 0 et q = 1,03 > 1.

Seuil : à partir de quelle année le capital dépasse-t-il 1 500 € ? On cherche le plus petit n tel que 1,03ⁿ > 1,5. Par tableau de valeurs ou algorithme (boucle « tant que »), on trouve 1,03¹³ ≈ 1,469 < 1,5 et 1,03¹⁴ ≈ 1,513 > 1,5 : n = 14. Somme des intérêts perçus sur 5 ans : u₁ + … + u₅ − 5 × 1 000 se calcule avec la formule de somme géométrique.

3Méthodes types et pièges

Méthodes : reconnaître la nature d'une suite (montrer que uₙ₊₁ − uₙ est constant, ou uₙ₊₁/uₙ constant), passer d'une définition par récurrence à une formule explicite, calculer une somme, déterminer un seuil avec un algorithme Python (while), modéliser une situation (population, capital, remboursement), étudier les variations. Les suites auxiliaires (vₙ = uₙ − ℓ géométrique quand uₙ₊₁ = auₙ + b) apparaissent en fin d'année et surtout en terminale.

Pièges : compter les termes d'une somme (de u₀ à uₙ il y a n + 1 termes) ; confondre raison et premier terme ; appliquer la formule de somme géométrique avec q = 1 ; croire qu'une suite définie par récurrence se calcule directement pour n = 50 (il faut la formule explicite ou un algorithme) ; oublier que « décroissante » exige uₙ₊₁ ≤ uₙ pour TOUT n, pas seulement les premiers.

4Comment s'entraîner

Pour chaque exercice, commence par écrire la relation de récurrence à partir du texte (« augmente de 5 % » → × 1,05 ; « perd 200 chaque année » → − 200), puis la nature et le terme général. Entraîne-toi à écrire les algorithmes de seuil en Python et à les lire. Refais les calculs de sommes à la main puis vérifie à la calculatrice. Les flashcards Revizly (formule → nom, situation → nature de la suite) fixent les formules ; les QCM générés depuis ton cours vérifient les réflexes de modélisation.