Variations et extremums : applications de la dérivation : fiche de révision

1Le cours condensé

Théorème fondamental : si f est dérivable sur un intervalle I, alors f est croissante sur I si et seulement si f'(x) ≥ 0 sur I, décroissante si et seulement si f'(x) ≤ 0, constante si et seulement si f' = 0. Si f' > 0 (sauf en un nombre fini de points), f est strictement croissante.

Extremum local : si f' s'annule en changeant de signe en a, f admet un extremum local en a (maximum si f' passe de + à −, minimum si de − à +). Attention : f'(a) = 0 ne suffit pas (x³ en 0 : dérivée nulle, pas d'extremum).

La méthode d'étude : ensemble de définition, calcul et factorisation de f', tableau de signes de f', tableau de variations de f (flèches, valeurs aux bornes et aux extremums), puis exploitation (résolution d'équations f(x) = k, encadrements, tracé).

2Un problème d'optimisation corrigé

On fabrique une boîte sans couvercle à partir d'un carré de carton de 12 cm de côté en découpant aux quatre coins des carrés de côté x, puis en repliant. Volume : V(x) = x(12 − 2x)² pour x ∈ ]0 ; 6[.

Développons : V(x) = x(144 − 48x + 4x²) = 4x³ − 48x² + 144x. Dérivée : V'(x) = 12x² − 96x + 144 = 12(x² − 8x + 12) = 12(x − 2)(x − 6). Sur ]0 ; 6[, (x − 6) < 0, donc V'(x) est du signe de −(x − 2) : positif sur ]0 ; 2[, négatif sur ]2 ; 6[. V est croissante puis décroissante : maximum en x = 2, V(2) = 2 × 8² = 128 cm³. La boîte de volume maximal a une hauteur de 2 cm.

Le raisonnement type : modéliser (fonction et intervalle), dériver et factoriser, tableau de signes puis de variations, conclure avec la valeur de l'extremum et l'abscisse où il est atteint.

3Méthodes types et pièges

Méthodes : dresser un tableau de variations complet à partir du signe de f' ; déterminer le nombre de solutions de f(x) = k par lecture du tableau ; encadrer f(x) sur un intervalle ; résoudre un problème d'optimisation (aire, volume, coût, bénéfice) ; tracer une courbe à partir du tableau et de quelques tangentes ; étudier une fonction rationnelle simple avec son ensemble de définition.

Pièges : conclure qu'il y a un extremum parce que f'(a) = 0 sans vérifier le changement de signe ; oublier l'intervalle d'étude imposé par le problème (x ∈ ]0 ; 6[ ci-dessus) ; mettre les valeurs de f' au lieu de celles de f dans le tableau de variations ; ne pas factoriser f' et se retrouver incapable d'en étudier le signe ; oublier les valeurs interdites d'une fonction rationnelle (double barre dans le tableau).

4Comment s'entraîner

Prends dix fonctions (polynômes de degré 3, quotients simples) et dresse le tableau de variations complet de chacune sans regarder la courbe, puis vérifie à la calculatrice. Enchaîne avec cinq problèmes d'optimisation en rédigeant la modélisation. Rédige une fois « proprement » la démonstration d'un tableau (phrases de conclusion sur les intervalles). Un QCM Revizly sur les liens signe de f' / variations de f / existence d'extremum te dira si les automatismes sont acquis.