La fonction exponentielle : fiche de révision

1Le cours condensé

La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1. On la note exp, et exp(x) = eˣ, avec e ≈ 2,718. Elle est strictement positive sur ℝ, strictement croissante, et sa dérivée est elle-même : (eˣ)' = eˣ ; plus généralement (e^(ax+b))' = a e^(ax+b).

Propriétés algébriques (les mêmes que les puissances) : e⁰ = 1, e¹ = e, e^(a+b) = eᵃ × eᵇ, e^(a−b) = eᵃ/eᵇ, e^(−a) = 1/eᵃ, (eᵃ)ⁿ = e^(na) pour n entier. Comme exp est strictement croissante : eᵃ = eᵇ ⇔ a = b et eᵃ < eᵇ ⇔ a < b — c'est la clé des équations et inéquations.

Courbe : passe par (0 ; 1) et (1 ; e), tangente en 0 d'équation y = x + 1, asymptote horizontale y = 0 vers −∞ (les limites sont formalisées en terminale). La suite uₙ = e^(an) est géométrique de raison eᵃ.

2Un exemple entièrement corrigé

Soit f(x) = (x − 1)eˣ. Dérivée (produit) : f'(x) = 1 × eˣ + (x − 1)eˣ = x eˣ. Comme eˣ > 0, f'(x) est du signe de x : f décroît sur ]−∞ ; 0] et croît sur [0 ; +∞[, minimum f(0) = −1. Tangente en 0 : y = f'(0)(x − 0) + f(0) = −1, horizontale.

Équation : résoudre e^(2x) − 3eˣ + 2 = 0. On pose X = eˣ > 0 : X² − 3X + 2 = 0, Δ = 1, X = 1 ou X = 2. Donc eˣ = 1 ⇔ x = 0, ou eˣ = 2 (x = ln 2, noté ainsi en terminale ; en première on dit « l'unique réel x tel que eˣ = 2 », valeur approchée 0,69 à la calculatrice).

Inéquation : e^(3x−1) > e^(x+5) ⇔ 3x − 1 > x + 5 (croissance stricte) ⇔ x > 3.

3Méthodes types et pièges

Méthodes : simplifier des expressions avec les règles algébriques ; dériver des produits et des composées e^(ax+b) ; étudier le signe d'une dérivée contenant eˣ en factorisant et en utilisant eˣ > 0 ; résoudre des équations par changement de variable X = eˣ ; modéliser une croissance ou une décroissance continue (population, radioactivité) avec f(t) = k e^(at) et relier à une suite géométrique.

Pièges : écrire (eˣ)' = x e^(x−1) (faux : c'est eˣ) ; oublier le facteur a dans (e^(ax+b))' ; croire que eˣ peut être nul ou négatif ; additionner des exposants lors d'une somme (eᵃ + eᵇ ne se simplifie pas) ; oublier de vérifier X > 0 après un changement de variable ; confondre e^(2x) et 2eˣ.

4Comment s'entraîner

Commence par vingt simplifications algébriques, puis vingt dérivées avec exponentielle (produits, composées). Enchaîne avec cinq études de signe de dérivée du type (ax + b)eˣ et trois équations par changement de variable. Termine par un problème de modélisation (décroissance radioactive, croissance bactérienne) qui relie eᵃ à la raison d'une suite géométrique. Génère des flashcards Revizly « propriété → formule » : les règles algébriques doivent être instantanées.