Suites numériques : récurrence et limites : fiche de révision
Raisonnement par récurrence, limites de suites, théorèmes de comparaison et de convergence monotone : la fiche complète avec méthode rédigée et exemple corrigé.
1Le raisonnement par récurrence
Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀, la récurrence se rédige en trois étapes obligatoires. Initialisation : on vérifie que P(n₀) est vraie. Hérédité : on suppose P(n) vraie pour un entier n ≥ n₀ fixé (hypothèse de récurrence), et on démontre qu'alors P(n+1) est vraie. Conclusion : par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
La phrase d'hérédité doit dire « pour UN entier n fixé », pas « pour tout n » : supposer la propriété pour tout n reviendrait à supposer ce qu'on veut démontrer. Usage typique au bac : montrer qu'une suite est majorée (uₙ ≤ 2), monotone (uₙ₊₁ ≥ uₙ), ou établir une formule explicite.
2Limites de suites : définitions et opérations
Une suite (uₙ) converge vers L si tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes uₙ à partir d'un certain rang. Elle tend vers +∞ si tout intervalle ]A ; +∞[ contient tous les termes à partir d'un certain rang.
Limites de référence : lim 1/n = 0, lim √n = +∞, lim nᵏ = +∞ (k entier ≥ 1). Suites géométriques (qⁿ) : si −1 < q < 1, lim qⁿ = 0 ; si q > 1, lim qⁿ = +∞ ; si q ≤ −1, pas de limite ; si q = 1, limite 1.
Les opérations sur les limites suivent les règles intuitives, avec quatre formes indéterminées à connaître : « +∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞/∞ » et « 0/0 ». On lève l'indétermination en factorisant par le terme dominant (pour les polynômes en n, on factorise par la plus grande puissance).
3Théorèmes de comparaison et de convergence
Théorème de comparaison : si uₙ ≤ vₙ à partir d'un certain rang et lim uₙ = +∞, alors lim vₙ = +∞ (et symétriquement vers −∞). Théorème des gendarmes : si uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ à partir d'un certain rang et si (uₙ) et (wₙ) convergent vers la MÊME limite L, alors (vₙ) converge vers L.
Théorème de la limite monotone : toute suite croissante ET majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Attention : le théorème garantit l'existence d'une limite, pas sa valeur. La limite n'est pas nécessairement le majorant. Une suite croissante non majorée tend vers +∞.
Pour une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ) avec f continue, si (uₙ) converge vers L, alors L vérifie f(L) = L : on trouve les limites candidates en résolvant le point fixe.
4Méthode type du bac : exemple corrigé
Énoncé classique : u₀ = 0 et uₙ₊₁ = (uₙ + 2)/2. Montrer que (uₙ) converge et donner sa limite.
1) Récurrence : montrons que 0 ≤ uₙ ≤ 2. Initialisation : u₀ = 0, vrai. Hérédité : si 0 ≤ uₙ ≤ 2, alors 2 ≤ uₙ + 2 ≤ 4, donc 1 ≤ uₙ₊₁ ≤ 2 : la propriété est vraie au rang n+1. Conclusion : (uₙ) est majorée par 2.
2) Monotonie : uₙ₊₁ − uₙ = (uₙ + 2)/2 − uₙ = (2 − uₙ)/2 ≥ 0 puisque uₙ ≤ 2 : la suite est croissante.
3) Croissante et majorée, (uₙ) converge vers L. Comme f : x ↦ (x+2)/2 est continue, L = (L+2)/2, d'où 2L = L + 2 et L = 2.
Pièges classiques : oublier l'initialisation ; rédiger l'hérédité avec « pour tout n » ; conclure que la limite est le majorant sans résoudre f(L) = L ; appliquer les gendarmes avec deux limites différentes.
Définitions à connaître par cœur
Quiz : teste-toi sur suites numériques : récurrence et limites
8 questions corrigées. Réponds avant d'ouvrir la correction !
1. Quelles sont les trois étapes d'un raisonnement par récurrence ?
- A.Hypothèse, calcul, vérification
- B.Initialisation, hérédité, conclusion
- C.Initialisation, dérivation, limite
- D.Base, comparaison, encadrement
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Réponse : B. Initialisation, hérédité, conclusion
On vérifie P(n₀), on montre que P(n) ⇒ P(n+1) pour un n fixé, puis on conclut pour tout n ≥ n₀.
2. Si −1 < q < 1, alors lim qⁿ = ?
- A.+∞
- B.1
- C.0
- D.q
Voir la réponse
Réponse : C. 0
Une suite géométrique de raison strictement comprise entre −1 et 1 tend vers 0.
3. Une suite croissante et majorée…
- A.tend vers son majorant
- B.converge vers une limite finie
- C.tend vers +∞
- D.n'a pas nécessairement de limite
Voir la réponse
Réponse : B. converge vers une limite finie
C'est le théorème de la limite monotone. Attention : la limite existe mais n'est pas forcément égale au majorant choisi.
4. Le théorème des gendarmes exige que…
- A.les deux suites encadrantes soient croissantes
- B.les deux suites encadrantes aient la même limite
- C.la suite encadrée soit positive
- D.les trois suites soient géométriques
Voir la réponse
Réponse : B. les deux suites encadrantes aient la même limite
Sans limites égales pour les gendarmes, on ne peut pas conclure sur la suite encadrée.
5. « +∞ − ∞ » est…
- A.égal à 0
- B.égal à −∞
- C.une forme indéterminée
- D.égal à +∞
Voir la réponse
Réponse : C. une forme indéterminée
On ne peut pas conclure sans transformation : on factorise en général par le terme dominant.
6. Si uₙ₊₁ = f(uₙ), f continue, et (uₙ) converge vers L, alors…
- A.f(L) = 0
- B.f(L) = L
- C.f'(L) = 0
- D.L = u₀
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Réponse : B. f(L) = L
Par passage à la limite dans la relation de récurrence, la limite est un point fixe de f.
7. Si uₙ ≥ n² pour tout n, alors…
- A.(uₙ) converge
- B.lim uₙ = +∞
- C.(uₙ) est majorée
- D.on ne peut rien dire
Voir la réponse
Réponse : B. lim uₙ = +∞
Théorème de comparaison : n² tend vers +∞ et minore uₙ, donc uₙ tend vers +∞.
8. Dans l'hérédité, on suppose la propriété vraie…
- A.pour tout entier n
- B.pour un entier n fixé
- C.pour n = 0 uniquement
- D.pour n et n+1
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Réponse : B. pour un entier n fixé
Supposer la propriété « pour tout n » serait supposer la conclusion : l'hypothèse porte sur UN rang fixé.
Questions fréquentes
Comment rédiger une récurrence au bac ?
Nomme la propriété P(n), vérifie l'initialisation au premier rang, rédige l'hérédité en supposant P(n) pour un entier n fixé et en démontrant P(n+1), puis conclus explicitement « par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀ ». Les trois étapes doivent apparaître clairement.
Comment lever une forme indéterminée sur une suite ?
Le réflexe principal est la factorisation par le terme dominant : pour uₙ = n² − 3n + 1, factorise par n² pour obtenir n²(1 − 3/n + 1/n²) → +∞. Pour les quotients, factorise numérateur et dénominateur par leurs termes dominants respectifs.
Une suite croissante et majorée converge-t-elle vers son majorant ?
Pas nécessairement. Le théorème garantit l'existence d'une limite finie, mais sa valeur se détermine autrement, par exemple en résolvant f(L) = L pour une suite récurrente. Le majorant n'est qu'une borne, pas la limite.
Quelle est la différence entre théorème de comparaison et théorème des gendarmes ?
Le théorème de comparaison sert pour les limites infinies (une seule inégalité suffit) ; le théorème des gendarmes sert pour les limites finies (il faut un encadrement par deux suites de même limite).