Continuité et théorème des valeurs intermédiaires : fiche de révision

1La continuité

Une fonction f est continue en a si lim f(x) = f(a) quand x → a ; elle est continue sur un intervalle si elle l'est en tout point de cet intervalle. Graphiquement : la courbe se trace « sans lever le crayon ».

Résultats admis : les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, exponentielle, logarithme, sinus et cosinus sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition ; sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues. Théorème du cours : toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue — la réciproque est fausse (la valeur absolue est continue en 0 mais pas dérivable en 0).

2Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème (TVI) : si f est CONTINUE sur un intervalle [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe AU MOINS un réel c ∈ [a ; b] tel que f(c) = k.

Corollaire (dit « théorème de la bijection ») : si f est continue ET STRICTEMENT MONOTONE sur [a ; b], alors pour tout k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une UNIQUE solution dans [a ; b].

Le théorème s'étend aux intervalles ouverts ou non bornés en remplaçant f(a) et f(b) par les limites aux bornes. Les deux hypothèses sont indispensables : sans continuité, la courbe peut « sauter » la valeur k ; sans stricte monotonie, l'unicité tombe.

3Méthode type du bac — exemple corrigé

Énoncé : montrer que l'équation x³ + x − 1 = 0 admet une unique solution α dans [0 ; 1], puis donner un encadrement de α d'amplitude 0,01.

Rédaction attendue : f(x) = x³ + x − 1 est dérivable sur [0 ; 1] et f'(x) = 3x² + 1 > 0, donc f est continue et strictement croissante sur [0 ; 1]. f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0 : 0 est compris entre f(0) et f(1). D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans [0 ; 1].

Encadrement : par balayage à la calculatrice, f(0,68) ≈ −0,006 < 0 et f(0,69) ≈ 0,018 > 0, donc 0,68 < α < 0,69. La méthode par dichotomie (couper l'intervalle en deux et garder la moitié où f change de signe) fait l'objet d'exercices d'algorithmique en Python.

4Pièges et points de rédaction

Les quatre mentions qui rapportent les points : continuité (souvent justifiée par la dérivabilité), stricte monotonie (signe strict de f'), valeurs ou limites aux bornes avec la position de k, et la citation du théorème (« d'après le corollaire du TVI »). Oublier « strictement » ou ne pas comparer k aux valeurs aux bornes coûte des points.

Attention : le TVI seul donne l'existence, pas l'unicité — pour l'unicité, il faut la stricte monotonie (ou découper l'intervalle selon les variations). Sur un tableau de variations, la convention veut que les flèches traduisent continuité et stricte monotonie : on peut appliquer le corollaire sur chaque flèche.