Dérivation, convexité et points d'inflexion : fiche de révision

1Dérivées : formules et composée

Formules à connaître par cœur : (uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v − uv')/v² ; et pour la composée x ↦ f(u(x)) : (f∘u)' = u' × f'(u). Cas particuliers du programme : (eᵘ)' = u'eᵘ ; (ln u)' = u'/u (u > 0) ; (uⁿ)' = n u' uⁿ⁻¹ ; (√u)' = u'/(2√u) ; (cos u)' = −u' sin u ; (sin u)' = u' cos u.

Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente en a ; l'équation de la tangente est y = f'(a)(x − a) + f(a). Lien variations : si f' > 0 sur un intervalle (sauf éventuellement en des points isolés), f est strictement croissante ; si f' < 0, strictement décroissante. Un extremum local en a (intérieur à l'intervalle) impose f'(a) = 0 avec changement de signe de f'.

2Convexité : trois caractérisations

f est convexe sur I si sa courbe est entièrement située AU-DESSUS de chacune de ses tangentes (et en dessous de ses cordes) ; concave dans le cas symétrique. Pour f deux fois dérivable sur I, trois caractérisations équivalentes : f convexe ⟺ f' croissante sur I ⟺ f'' ≥ 0 sur I.

Exemples de référence : x ↦ x² et x ↦ eˣ sont convexes sur ℝ ; x ↦ ln x et x ↦ √x sont concaves sur leur domaine ; x ↦ x³ est concave sur ]−∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[.

Un point d'inflexion est un point où la courbe TRAVERSE sa tangente : il correspond à un changement de convexité, c'est-à-dire à un changement de signe de f''. Attention : f''(a) = 0 ne suffit pas (pour f(x) = x⁴, f''(0) = 0 sans inflexion) — il faut le changement de signe.

3Méthode type du bac — exemple corrigé

Étude de f(x) = xe⁻ˣ sur ℝ. Dérivée (produit) : f'(x) = e⁻ˣ + x(−e⁻ˣ) = (1 − x)e⁻ˣ. Comme e⁻ˣ > 0, f' a le signe de 1 − x : f est croissante sur ]−∞ ; 1], décroissante sur [1 ; +∞[, maximum f(1) = 1/e ≈ 0,37.

Dérivée seconde : f''(x) = −e⁻ˣ + (1 − x)(−e⁻ˣ) = (x − 2)e⁻ˣ. f'' s'annule en x = 2 en changeant de signe (négative avant, positive après) : f est concave sur ]−∞ ; 2], convexe sur [2 ; +∞[, et le point (2 ; 2e⁻²) est un point d'inflexion.

Limites : en +∞, croissances comparées, f(x) → 0 (asymptote y = 0) ; en −∞, f(x) → −∞. Ce schéma — dériver, factoriser, étudier le signe, dresser le tableau, puis passer à f'' pour la convexité — est LA trame des études de fonctions du bac.

4Pièges classiques

Oublier le facteur u' dans les dérivées composées ((e³ˣ)' = 3e³ˣ, pas e³ˣ). Conclure à un extremum sur f'(a) = 0 seul : sans changement de signe de f', pas d'extremum (x³ en 0). Confondre les rôles : f' renseigne sur les VARIATIONS, f'' sur la CONVEXITÉ — un tableau de signes de f'' ne donne pas les variations. Enfin, pour montrer une inégalité du type eˣ ≥ 1 + x, penser à la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0 : c'est une application directe de la convexité.