Limites de fonctions et asymptotes : fiche de révision
Limites en l'infini et en un point, asymptotes, croissances comparées et formes indéterminées : tout ce qu'il faut maîtriser, avec les réflexes de calcul du bac.
1Limites et asymptotes
Une fonction f a pour limite L en +∞ si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand. Si lim f(x) = L quand x → ±∞, la droite d'équation y = L est asymptote horizontale à la courbe. Si lim f(x) = ±∞ quand x → a (a réel), la droite d'équation x = a est asymptote verticale.
Limites de référence : en +∞, xⁿ → +∞, √x → +∞, 1/x → 0, eˣ → +∞, ln x → +∞ ; en −∞, eˣ → 0 ; en 0⁺, ln x → −∞ et 1/x → +∞. Les règles d'opérations (somme, produit, quotient, composée) sont les mêmes que pour les suites, avec les mêmes quatre formes indéterminées.
2Croissances comparées
En +∞, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x, qui l'emporte elle-même sur le logarithme. Formules au programme : lim eˣ/x = +∞ et plus généralement lim eˣ/xⁿ = +∞ (n entier) ; lim xⁿe⁻ˣ = 0 quand x → +∞ ; lim xeˣ = 0 quand x → −∞ ; lim (ln x)/x = 0 en +∞ ; lim x ln x = 0 en 0⁺.
Moyen mnémotechnique : « exp écrase les puissances, les puissances écrasent ln ». Ces limites lèvent la plupart des formes indéterminées mêlant exponentielle, polynôme et logarithme — on commence toujours par reconnaître laquelle s'applique, éventuellement après un changement d'écriture (par exemple e²ˣ/x = (eˣ/√x)² × … : au bac, on se ramène plutôt à la forme du cours en factorisant).
3Lever une forme indéterminée : les réflexes
Polynômes et fractions rationnelles en ±∞ : factoriser par le terme de plus haut degré. Exemple : (2x² − x)/(x² + 3) = x²(2 − 1/x)/(x²(1 + 3/x²)) → 2.
Expressions avec racines : multiplier par la quantité conjuguée. Exemple : √(x+1) − √x = 1/(√(x+1) + √x) → 0 en +∞.
Expressions avec eˣ ou ln x : factoriser par le terme dominant puis appliquer les croissances comparées. Exemple : eˣ − x² = eˣ(1 − x²/eˣ) → +∞ car x²/eˣ → 0.
Composée : si lim u(x) = b en a et lim f(y) = c en b, alors lim f(u(x)) = c en a — poser explicitement le changement de variable rend la rédaction claire et rapporte les points de justification.
4Pièges classiques du bac
Ne jamais écrire « ∞/∞ = 1 » ni « +∞ − ∞ = 0 » : ce sont des formes indéterminées, chaque cas se traite par transformation. Vérifier le signe des limites en un point : en 0, 1/x tend vers +∞ à droite mais −∞ à gauche — préciser 0⁺ ou 0⁻. Une asymptote horizontale se justifie par une limite en l'infini, jamais en un point. Enfin, les croissances comparées ne s'invoquent que dans les cas du cours : cite la formule exacte utilisée (« par croissances comparées, lim (ln x)/x = 0 en +∞ »).
Définitions à connaître par cœur
Quiz : teste-toi sur limites de fonctions et asymptotes
8 questions corrigées. Réponds avant d'ouvrir la correction !
1. lim (ln x)/x quand x → +∞ vaut :
- A.+∞
- B.1
- C.0
- D.−∞
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Réponse : C. 0
Croissances comparées : toute puissance de x l'emporte sur le logarithme.
2. lim eˣ quand x → −∞ vaut :
- A.−∞
- B.0
- C.1
- D.+∞
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Réponse : B. 0
L'exponentielle tend vers 0 en −∞ : l'axe des abscisses est asymptote.
3. Si lim f(x) = 3 en +∞, la courbe de f admet…
- A.une asymptote verticale x = 3
- B.une asymptote horizontale y = 3
- C.un maximum en 3
- D.une tangente horizontale
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Réponse : B. une asymptote horizontale y = 3
Une limite finie en l'infini définit une asymptote horizontale y = L.
4. Pour lever l'indétermination de √(x+1) − √x en +∞, on…
- A.factorise par x
- B.multiplie par la quantité conjuguée
- C.applique les gendarmes
- D.dérive l'expression
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Réponse : B. multiplie par la quantité conjuguée
(√(x+1) − √x)(√(x+1) + √x) = 1, donc l'expression vaut 1/(√(x+1)+√x) → 0.
5. lim x ln x quand x → 0⁺ vaut :
- A.−∞
- B.0
- C.+∞
- D.1
Voir la réponse
Réponse : B. 0
Croissance comparée au programme : x l'emporte sur ln x en 0⁺, la limite est 0.
6. lim (2x² − x)/(x² + 3) en +∞ vaut :
- A.0
- B.2
- C.+∞
- D.−1
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Réponse : B. 2
On factorise numérateur et dénominateur par x² : le quotient tend vers 2/1 = 2.
7. En 0⁻, 1/x tend vers :
- A.+∞
- B.0
- C.−∞
- D.1
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Réponse : C. −∞
Pour x négatif proche de 0, 1/x est négatif et très grand en valeur absolue.
8. lim x²e⁻ˣ quand x → +∞ vaut :
- A.+∞
- B.1
- C.0
- D.e
Voir la réponse
Réponse : C. 0
Croissances comparées : l'exponentielle e⁻ˣ écrase la puissance x².
Questions fréquentes
Comment déterminer les asymptotes d'une fonction ?
Calcule les limites aux bornes de l'ensemble de définition : une limite finie L en ±∞ donne l'asymptote horizontale y = L ; une limite infinie en un réel a donne l'asymptote verticale x = a.
Quelles croissances comparées faut-il connaître par cœur ?
Quatre résultats : lim eˣ/x = +∞ (et eˣ/xⁿ → +∞) en +∞ ; lim xⁿe⁻ˣ = 0 en +∞ (et xeˣ → 0 en −∞) ; lim (ln x)/x = 0 en +∞ ; lim x ln x = 0 en 0⁺. Cite toujours la formule exacte dans la copie.
Comment traiter une limite de fonction composée ?
Pose le changement de variable : si u(x) tend vers b quand x tend vers a, et f(y) tend vers c quand y tend vers b, alors f(u(x)) tend vers c. Écris explicitement « en posant X = u(x)… » — la rédaction compte.
Pourquoi préciser 0⁺ ou 0⁻ ?
Parce que les limites à droite et à gauche peuvent différer : 1/x tend vers +∞ en 0⁺ mais vers −∞ en 0⁻. Sans cette précision, la réponse est fausse ou incomplète.