Limites de fonctions et asymptotes : fiche de révision
Limites en l'infini et en un point, asymptotes, croissances comparées et formes indéterminées : tout ce qu'il faut maîtriser, avec les réflexes de calcul du bac.
1Limites et asymptotes
Une fonction f a pour limite L en +∞ si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand. Si lim f(x) = L quand x → ±∞, la droite d'équation y = L est asymptote horizontale à la courbe. Si lim f(x) = ±∞ quand x → a (a réel), la droite d'équation x = a est asymptote verticale.
Limites de référence : en +∞, xⁿ → +∞, √x → +∞, 1/x → 0, eˣ → +∞, ln x → +∞ ; en −∞, eˣ → 0 ; en 0⁺, ln x → −∞ et 1/x → +∞. Les règles d'opérations (somme, produit, quotient, composée) sont les mêmes que pour les suites, avec les mêmes quatre formes indéterminées.
2Croissances comparées
En +∞, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x, qui l'emporte elle-même sur le logarithme. Formules au programme : lim eˣ/x = +∞ et plus généralement lim eˣ/xⁿ = +∞ (n entier) ; lim xⁿe⁻ˣ = 0 quand x → +∞ ; lim xeˣ = 0 quand x → −∞ ; lim (ln x)/x = 0 en +∞ ; lim x ln x = 0 en 0⁺.
Moyen mnémotechnique : « exp écrase les puissances, les puissances écrasent ln ». Ces limites lèvent la plupart des formes indéterminées mêlant exponentielle, polynôme et logarithme. On commence toujours par reconnaître laquelle s'applique, éventuellement après un changement d'écriture (par exemple e²ˣ/x = (eˣ/√x)² × … : au bac, on se ramène plutôt à la forme du cours en factorisant).
3Lever une forme indéterminée : les réflexes
Polynômes et fractions rationnelles en ±∞ : factoriser par le terme de plus haut degré. Exemple : (2x² − x)/(x² + 3) = x²(2 − 1/x)/(x²(1 + 3/x²)) → 2.
Expressions avec racines : multiplier par la quantité conjuguée. Exemple : √(x+1) − √x = 1/(√(x+1) + √x) → 0 en +∞.
Expressions avec eˣ ou ln x : factoriser par le terme dominant puis appliquer les croissances comparées. Exemple : eˣ − x² = eˣ(1 − x²/eˣ) → +∞ car x²/eˣ → 0.
Composée : si lim u(x) = b en a et lim f(y) = c en b, alors lim f(u(x)) = c en a. Poser explicitement le changement de variable rend la rédaction claire et rapporte les points de justification.
4Pièges classiques du bac
Ne jamais écrire « ∞/∞ = 1 » ni « +∞ − ∞ = 0 » : ce sont des formes indéterminées, chaque cas se traite par transformation. Vérifier le signe des limites en un point : en 0, 1/x tend vers +∞ à droite mais −∞ à gauche (préciser 0⁺ ou 0⁻). Une asymptote horizontale se justifie par une limite en l'infini, jamais en un point. Enfin, les croissances comparées ne s'invoquent que dans les cas du cours : cite la formule exacte utilisée (« par croissances comparées, lim (ln x)/x = 0 en +∞ »).
Définitions à connaître par cœur
Quiz : teste-toi sur limites de fonctions et asymptotes
8 questions corrigées. Réponds avant d'ouvrir la correction !
1. lim (ln x)/x quand x → +∞ vaut :
- A.+∞
- B.1
- C.0
- D.−∞
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Réponse : C. 0
Croissances comparées : toute puissance de x l'emporte sur le logarithme.
2. lim eˣ quand x → −∞ vaut :
- A.−∞
- B.0
- C.1
- D.+∞
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Réponse : B. 0
L'exponentielle tend vers 0 en −∞ : l'axe des abscisses est asymptote.
3. Si lim f(x) = 3 en +∞, la courbe de f admet…
- A.une asymptote verticale x = 3
- B.une asymptote horizontale y = 3
- C.un maximum en 3
- D.une tangente horizontale
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Réponse : B. une asymptote horizontale y = 3
Une limite finie en l'infini définit une asymptote horizontale y = L.
4. Pour lever l'indétermination de √(x+1) − √x en +∞, on…
- A.factorise par x
- B.multiplie par la quantité conjuguée
- C.applique les gendarmes
- D.dérive l'expression
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Réponse : B. multiplie par la quantité conjuguée
(√(x+1) − √x)(√(x+1) + √x) = 1, donc l'expression vaut 1/(√(x+1)+√x) → 0.
5. lim x ln x quand x → 0⁺ vaut :
- A.−∞
- B.0
- C.+∞
- D.1
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Réponse : B. 0
Croissance comparée au programme : x l'emporte sur ln x en 0⁺, la limite est 0.
6. lim (2x² − x)/(x² + 3) en +∞ vaut :
- A.0
- B.2
- C.+∞
- D.−1
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Réponse : B. 2
On factorise numérateur et dénominateur par x² : le quotient tend vers 2/1 = 2.
7. En 0⁻, 1/x tend vers :
- A.+∞
- B.0
- C.−∞
- D.1
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Réponse : C. −∞
Pour x négatif proche de 0, 1/x est négatif et très grand en valeur absolue.
8. lim x²e⁻ˣ quand x → +∞ vaut :
- A.+∞
- B.1
- C.0
- D.e
Voir la réponse
Réponse : C. 0
Croissances comparées : l'exponentielle e⁻ˣ écrase la puissance x².
Questions fréquentes
Comment déterminer les asymptotes d'une fonction ?
Calcule les limites aux bornes de l'ensemble de définition : une limite finie L en ±∞ donne l'asymptote horizontale y = L ; une limite infinie en un réel a donne l'asymptote verticale x = a.
Quelles croissances comparées faut-il connaître par cœur ?
Quatre résultats : lim eˣ/x = +∞ (et eˣ/xⁿ → +∞) en +∞ ; lim xⁿe⁻ˣ = 0 en +∞ (et xeˣ → 0 en −∞) ; lim (ln x)/x = 0 en +∞ ; lim x ln x = 0 en 0⁺. Cite toujours la formule exacte dans la copie.
Comment traiter une limite de fonction composée ?
Pose le changement de variable : si u(x) tend vers b quand x tend vers a, et f(y) tend vers c quand y tend vers b, alors f(u(x)) tend vers c. Écris explicitement « en posant X = u(x)… » : la rédaction compte.
Pourquoi préciser 0⁺ ou 0⁻ ?
Parce que les limites à droite et à gauche peuvent différer : 1/x tend vers +∞ en 0⁺ mais vers −∞ en 0⁻. Sans cette précision, la réponse est fausse ou incomplète.