La fonction logarithme népérien : fiche de révision

1Définition et premières propriétés

La fonction logarithme népérien ln est définie sur ]0 ; +∞[ comme la réciproque de la fonction exponentielle : pour tout x > 0 et tout réel y, ln x = y ⟺ x = eʸ. Conséquences immédiates : ln 1 = 0, ln e = 1, e^(ln x) = x pour x > 0, ln(eˣ) = x pour tout réel x.

Les courbes de ln et exp sont symétriques par rapport à la droite y = x. La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ : ln a = ln b ⟺ a = b et ln a < ln b ⟺ a < b (pour a, b > 0) — c'est ce qui permet de résoudre équations et inéquations. Signe : ln x < 0 pour 0 < x < 1, ln x > 0 pour x > 1.

2Propriétés algébriques

Propriété fondamentale : ln(ab) = ln a + ln b pour tous a, b > 0 — le logarithme transforme les produits en sommes. Il en découle : ln(1/b) = −ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(aⁿ) = n ln a pour n entier (et plus généralement pour un exposant réel) ; ln √a = (1/2) ln a.

Application phare du bac : résoudre qⁿ ≤ 0,01 pour une suite géométrique. Exemple : 0,8ⁿ ≤ 0,01 ⟺ n ln 0,8 ≤ ln 0,01 ⟺ n ≥ ln 0,01/ln 0,8 (ATTENTION : ln 0,8 < 0, l'inégalité change de sens) ⟺ n ≥ 20,6…, donc n ≥ 21.

3Dérivées et limites

ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et (ln x)' = 1/x ; comme 1/x > 0, ln est strictement croissante, et comme (1/x)' = −1/x² < 0, ln est CONCAVE sur ]0 ; +∞[ (courbe sous ses tangentes, notamment ln x ≤ x − 1). Pour une composée : (ln u)' = u'/u, définie là où u > 0.

Limites : lim ln x = +∞ en +∞ (croissance très lente) ; lim ln x = −∞ en 0⁺ (l'axe des ordonnées est asymptote verticale). Croissances comparées : lim (ln x)/x = 0 en +∞ et lim x ln x = 0 en 0⁺ — toute puissance de x l'emporte sur ln.

4Équations, inéquations et pièges

Méthode générale : 1) déterminer l'ensemble de définition (chaque ln exige un argument STRICTEMENT positif) ; 2) transformer avec les propriétés algébriques pour obtenir ln A = ln B ou ln A = c ; 3) appliquer la bijection : ln A = ln B ⟺ A = B, ln A = c ⟺ A = eᶜ ; 4) vérifier que les solutions appartiennent à l'ensemble de définition.

Exemple corrigé : ln(x + 3) + ln(x) = ln(4). Définition : x > 0. L'équation devient ln(x² + 3x) = ln 4, soit x² + 3x − 4 = 0, d'où x = 1 ou x = −4. Seul x = 1 est dans le domaine : S = {1}.

Pièges : oublier la condition d'existence (et garder x = −4) ; diviser par ln q sans regarder son signe ; écrire ln(a + b) = ln a + ln b (FAUX — la propriété porte sur le produit).