Calcul littéral et équations : fiche de révision
Développer, factoriser, résoudre : la fiche complète sur le calcul littéral et les équations pour le brevet — identités remarquables, équations produit et exemples corrigés.
1Le cours condensé
Développer, c'est transformer un produit en somme : k(a + b) = ka + kb, et la double distributivité (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Factoriser, c'est l'opération inverse : repérer un facteur commun et écrire ka + kb = k(a + b).
L'identité remarquable exigible au brevet est (a + b)(a − b) = a² − b². Elle sert dans les deux sens : développer (x + 3)(x − 3) = x² − 9, ou factoriser x² − 25 = (x + 5)(x − 5).
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Règle d'or : on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre (non nul pour la division). Exemple : 3x + 7 = 22 donne 3x = 15 puis x = 5.
L'équation produit repose sur la propriété : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Exemple : (x − 4)(2x + 6) = 0 donne x − 4 = 0 ou 2x + 6 = 0, soit x = 4 ou x = −3.
2Formules et règles à connaître par cœur
k(a + b) = ka + kb. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. (a + b)(a − b) = a² − b². Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Réduire une expression : regrouper les termes en x², les termes en x et les constantes, dans cet ordre. Tester une égalité : remplacer la lettre par la valeur donnée et comparer les deux membres — c'est une question quasi systématique au brevet, souvent avec un programme de calcul.
3Ce qui tombe au brevet et les pièges
Les exercices types : développer et réduire une expression, factoriser avec facteur commun, résoudre une équation du premier degré issue d'un problème concret (prix, âges, périmètres), vérifier si un nombre est solution, et les programmes de calcul (montrer que deux programmes donnent le même résultat en posant x).
Pièges classiques : oublier de distribuer le signe moins devant une parenthèse — 3 − (2x − 5) = 3 − 2x + 5 = 8 − 2x, pas 3 − 2x − 5 ; confondre 2x et x² ; diviser par x sans vérifier que x ≠ 0 (on perd une solution) ; et répondre par une valeur sans conclure par une phrase.
4Comment s'entraîner
La seule méthode qui marche : refaire des exercices corrigés en cachant la solution. Prends dix développements et dix factorisations chronométrés, puis deux problèmes de mise en équation par semaine. Après chaque erreur, note le piège dans un coin de fiche. Transforme ton chapitre en QCM avec Revizly pour vérifier que les automatismes (signes, identité remarquable, équation produit) sont vraiment acquis avant le brevet blanc.
Définitions à connaître par cœur
Quiz : teste-toi sur calcul littéral et équations
8 questions corrigées. Réponds avant d'ouvrir la correction !
1. Développer (x + 3)(x − 3) donne :
- A.x² + 9
- B.x² − 9
- C.x² − 6x + 9
- D.2x − 9
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Réponse : B. x² − 9
C'est l'identité remarquable (a + b)(a − b) = a² − b², avec a = x et b = 3.
2. Factoriser 5x + 15 donne :
- A.5(x + 3)
- B.5(x + 15)
- C.x(5 + 15)
- D.20x
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Réponse : A. 5(x + 3)
Le facteur commun est 5 : 5x + 15 = 5 × x + 5 × 3 = 5(x + 3).
3. La solution de 4x − 6 = 10 est :
- A.x = 1
- B.x = 4
- C.x = −4
- D.x = 16
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Réponse : B. x = 4
4x = 16 donc x = 4.
4. Les solutions de (x − 2)(x + 7) = 0 sont :
- A.2 et 7
- B.−2 et 7
- C.2 et −7
- D.−2 et −7
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Réponse : C. 2 et −7
Un produit est nul si l'un des facteurs est nul : x − 2 = 0 (x = 2) ou x + 7 = 0 (x = −7).
5. Réduire 3 − (2x − 5) donne :
- A.8 − 2x
- B.−2 − 2x
- C.2x − 2
- D.−2x − 8
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Réponse : A. 8 − 2x
Le signe moins distribue sur toute la parenthèse : 3 − 2x + 5 = 8 − 2x. C'est LE piège classique.
6. x² − 49 se factorise en :
- A.(x − 7)²
- B.(x + 7)²
- C.(x + 7)(x − 7)
- D.x(x − 49)
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Réponse : C. (x + 7)(x − 7)
a² − b² = (a + b)(a − b), avec a = x et b = 7.
7. 3 est-il solution de 2x + 1 = x + 4 ?
- A.Oui, car 7 = 7
- B.Non, car 7 ≠ 6
- C.Oui, car 6 = 6
- D.On ne peut pas savoir
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Réponse : A. Oui, car 7 = 7
À gauche : 2 × 3 + 1 = 7. À droite : 3 + 4 = 7. Les deux membres sont égaux.
8. Quelle expression est égale à 2x pour toute valeur de x ?
- A.x²
- B.x + x
- C.x × x
- D.2 + x
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Réponse : B. x + x
x + x = 2x ; x × x = x², qui n'est égal à 2x que pour x = 0 ou x = 2.
Questions fréquentes
Quelle identité remarquable faut-il connaître pour le brevet ?
Une seule est exigible : (a + b)(a − b) = a² − b². Il faut savoir l'utiliser dans les deux sens, pour développer comme pour factoriser.
Comment mettre un problème en équation ?
Choisis l'inconnue (« soit x le prix d'un cahier »), traduis chaque information de l'énoncé en expression, écris l'égalité, résous, puis conclus par une phrase qui répond à la question posée.
Quelle est l'erreur la plus fréquente en calcul littéral ?
La distribution du signe moins : dans 3 − (2x − 5), le moins s'applique aux deux termes de la parenthèse, ce qui donne 3 − 2x + 5 = 8 − 2x.
Comment réviser ce chapitre efficacement ?
Par la pratique répétée : une série chronométrée de développements et factorisations, puis des annales de brevet. Génère des QCM depuis ton propre cours avec Revizly pour tester tes automatismes.