Fonctions linéaires et affines : fiche de révision
Images, antécédents, f(x) = ax + b : la fiche complète sur les fonctions pour le brevet, avec lecture graphique et exemples corrigés.
1Le cours condensé
Une fonction est un procédé qui, à un nombre x, associe un unique nombre noté f(x). L'image de x est f(x) ; un antécédent de y est un nombre x tel que f(x) = y. Un nombre a une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).
Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax : elle traduit une situation de proportionnalité, et sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. Le coefficient a est le coefficient directeur.
Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b : sa représentation est une droite qui coupe l'axe des ordonnées en b (l'ordonnée à l'origine). Si a > 0 la droite « monte », si a < 0 elle « descend ». La fonction linéaire est le cas particulier b = 0.
Calculer une image : remplacer x par sa valeur. Pour f(x) = 2x − 3, f(5) = 2 × 5 − 3 = 7. Trouver un antécédent : résoudre une équation. L'antécédent de 11 par f vérifie 2x − 3 = 11, donc x = 7.
2Repères et vocabulaire à connaître par cœur
f(x) = ax : linéaire, proportionnalité, droite passant par l'origine. f(x) = ax + b : affine, droite d'ordonnée à l'origine b. a = coefficient directeur : il indique de combien varie f(x) quand x augmente de 1. Lecture graphique : l'image de x se lit verticalement (de l'axe des abscisses vers la courbe puis l'axe des ordonnées), l'antécédent se lit dans l'autre sens. Notation : « f : x ↦ ax + b » et « f(x) » désignent la même fonction.
3Ce qui tombe au brevet et les pièges
Exercices types : calculer une image ou un antécédent, compléter un tableau de valeurs, associer une expression à sa droite, déterminer a et b à partir d'un graphique ou de deux valeurs, et surtout les problèmes de tarifs comparés (tarif A linéaire vs tarif B affine avec abonnement : « à partir de combien d'entrées le tarif B est-il plus avantageux ? »).
Pièges : confondre image et antécédent (l'énoncé « calculer f(3) » demande l'image ; « résoudre f(x) = 3 » demande l'antécédent) ; oublier que la proportionnalité impose une droite passant par l'origine ; lire le graphique dans le mauvais sens.
4Comment s'entraîner
Fais dix allers-retours image/antécédent sur une même fonction jusqu'à ce que la distinction soit automatique, puis deux problèmes de tarifs comparés issus d'annales. Trace systématiquement les droites à la main une fois par chapitre : le brevet adore la lecture graphique. Un QCM généré depuis ta fiche permet de vérifier le vocabulaire (image, antécédent, coefficient directeur) qui fait perdre des points bêtement.
Définitions à connaître par cœur
Quiz : teste-toi sur fonctions linéaires et affines
8 questions corrigées. Réponds avant d'ouvrir la correction !
1. Pour f(x) = 3x − 1, l'image de 2 est :
- A.1
- B.5
- C.6
- D.7
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Réponse : B. 5
f(2) = 3 × 2 − 1 = 5.
2. Pour f(x) = 3x − 1, l'antécédent de 8 est :
- A.3
- B.23
- C.8/3
- D.−3
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Réponse : A. 3
On résout 3x − 1 = 8, soit 3x = 9, donc x = 3.
3. Quelle fonction est linéaire ?
- A.f(x) = 2x + 1
- B.f(x) = 5x
- C.f(x) = x²
- D.f(x) = 7
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Réponse : B. f(x) = 5x
Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax : ici a = 5, sans terme constant.
4. La droite représentant f(x) = 2x + 3 coupe l'axe des ordonnées en :
- A.2
- B.3
- C.0
- D.−3
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Réponse : B. 3
L'ordonnée à l'origine est b = 3 : la droite passe par le point (0 ; 3).
5. Une situation de proportionnalité est modélisée par :
- A.une fonction affine quelconque
- B.une fonction linéaire
- C.n'importe quelle fonction
- D.une fonction constante
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Réponse : B. une fonction linéaire
La proportionnalité correspond exactement aux fonctions linéaires f(x) = ax.
6. Si f(x) = −2x + 4, la droite :
- A.monte
- B.descend
- C.est horizontale
- D.passe par l'origine
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Réponse : B. descend
Le coefficient directeur a = −2 est négatif : la fonction est décroissante.
7. « Résoudre f(x) = 6 » revient à chercher :
- A.l'image de 6
- B.un antécédent de 6
- C.f(6)
- D.le coefficient directeur
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Réponse : B. un antécédent de 6
On cherche les x dont l'image vaut 6 — c'est la définition d'un antécédent.
8. Un cinéma propose : tarif A à 8 € la place, tarif B à 5 € la place avec abonnement de 15 €. Les fonctions associées sont :
- A.A : x ↦ 8x et B : x ↦ 5x + 15
- B.A : x ↦ 8x + 15 et B : x ↦ 5x
- C.A : x ↦ 8 + x et B : x ↦ 15x + 5
- D.A : x ↦ 8x et B : x ↦ 15x + 5
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Réponse : A. A : x ↦ 8x et B : x ↦ 5x + 15
Le tarif A est proportionnel (linéaire), le tarif B ajoute un coût fixe de 15 € (affine). B devient avantageux quand 5x + 15 < 8x, soit x > 5.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre image et antécédent ?
L'image de x est le résultat f(x) : on remplace et on calcule. L'antécédent de y est le nombre de départ : on résout l'équation f(x) = y. « Calculer f(3) » demande une image, « résoudre f(x) = 3 » demande un antécédent.
Comment reconnaître une fonction affine sur un graphique ?
Sa représentation est une droite. Si elle passe par l'origine, la fonction est linéaire (proportionnalité) ; sinon, elle coupe l'axe des ordonnées en b, l'ordonnée à l'origine.
Comment déterminer a et b à partir d'un graphique ?
b se lit à l'intersection avec l'axe des ordonnées. Pour a, on lit de combien monte (ou descend) la droite quand on avance de 1 en abscisse.
Les fonctions tombent-elles souvent au brevet ?
Oui, presque chaque année, souvent via un problème concret de tarifs ou dans l'exercice de lecture graphique. Le vocabulaire (image, antécédent) rapporte des points faciles.