Fiche de révision : Calculs et modélisation géométrique

📋 Plan du Cours

1. Calcul d'aires de rectangles et panneaux solaires
2. Résolution d'équations liées aux aires et expressions littérales
3. Calculs d'aires de figures géométriques composées
4. Expressions algébriques et factorisation dans les programmes de calcul
5. Calculs d'aires de disques et couronnes circulaires
6. La conductivité thermique de la laine de bois utilisée pour l’isolation est ,c 0 038= , calcule la résistance ther- mique R pour
7. Utilisation de formules et fonctions dans un tableur
8. Calculs d'échelles, réductions et pourcentages
9. Modélisation et représentation graphique de fonctions

📖 1. Calcul d'aires de rectangles et panneaux solaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemple : Pour un nombre donné, le multiplier par deux puis ajouter 5 permet de définir une fonction.
• Pour x : Expression utilisée pour indiquer que la variable x représente une dimension ou une valeur à déterminer dans un calcul.
• Si tu saisis : =A1+B1 dans la cellule C1, après validation, la cellule C1 affichera la somme des valeurs contenues dans A1 et dans B1.

📝 Points essentiels

• L'aire d'un rectangle se calcule en multipliant sa longueur par sa largeur.
• Le calcul de la surface des panneaux solaires permet d'estimer leur capacité d'absorption d'énergie.
• Pour des calculs astucieux, on peut décomposer des rectangles en parties plus simples pour faciliter le calcul d'aire.
• Exercice 1 Durant l’élaboration du projet de maison écologique, une attention particulière est portée aux fenêtres. Pour une meilleure isolation, ces dernières seront en double vitrage. Mais elles seront alors plus lourdes que des fenêtres usuelles en simple vitrage. Ainsi, le type de verre utilisé pour notre construction entraîne une masse de fenêtre de 25 kg/m2 (structure com- prise). Il faut de plus rajouter 0,8 kg pour le système de fermeture indépendant de la taille des fenêtres. 1. Au rez-de-chaussée, on projette de faire des portes-fenêtres rectangulaires de dimensions 2,2 m de long pour 1,2 m de large. Quelle est l’aire de ces fenêtres ? Entoure la bonne réponse. 3,4 m 2 2,64 m2 6,8 m2 5,28 m2 2. Quelle est la masse d’une telle fenêtre ? Entoure la bonne réponse. 66 kg 66,8 kg 132 kg 132,8 kg 3. On projette de faire à l’étage des fenêtres plus petites. De forme rectangulaire également, elles devront faire 1,2 m de long sur x mètres de large (la largeur x restant donc non fixée pour le moment). Quelle formule permet de donner la masse en kg d’une telle fenêtre à l’étage ? Entoure la bonne réponse. 30x 1,2x 1,2x + 0,8 30x + 0,8 Le processus qui à toute largeur x en mètres permet d’associer la masse de la fenêtre considérée s’appelle une fonction. JE RETIENS On peut définir une fonction comme un processus qui a un nombre fait correspondre un autre nombre, unique. Exemple : Pour un nombre donné, le multiplier par deux puis ajouter 5 permet de définir une fonction. On peut utiliser une formule pour définir une fonction, auquel cas on va lui donner un nom (comme f , g, h ou toute autre lettre) et utiliser une lettre (souvent x mais pas seulement...), appelée variable. 172 CNED – Collège 3e – MATHÉMATIQUeS -
• Exercice 9 On souhaite construire un bassin naturel proche de la maison pour se baigner. Un tel bassin n’utilise pas de produit chimique pour purifier l’eau mais un système de filtration pouvant mêler plantes aqua- tiques ou minéraux, l’eau y est en permanence en circulation. Le plan ci-contre indique les dimensions et les positions des différents éléments. On veut réaliser un plan à l’échelle 1 200 . Coche la seule bonne réponse. proposition réponse A réponse B réponse C u La longueur de la zone de baignade sur le plan est : 600 cm 6 m 6 cm o o o v La largeur de la zone de filtrage sur le plan est : 1 cm 3 cm 6 cm o o o w L’aire réelle totale des deux zones sur le ter- rain est : 48 m 2 72 m2 96 m2 o o o x La diagonale de la zone de baignade sur le plan est d’environ : 45 cm 6,7 cm 24 cm o o o y Plus l’échelle d'un plan est grande, plus le plan est : grand petit adapté o o o CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUeS -

💡 À retenir

Comprendre comment calculer précisément l'aire des rectangles est fondamental pour évaluer des surfaces utiles comme celles des panneaux solaires.

📖 2. Résolution d'équations liées aux aires et expressions littérales

🔑 Notions clés & Définitions

• L’équation ( ) ( )+ × − : Forme d'équation algébrique obtenue en développant ou factorisant une expression littérale, souvent utilisée pour modéliser des problèmes concrets comme ceux liés aux aires.
• Écriture littérale : 176 ANCE 1 J’utilise une écriture littérale Objectifs :
  • J’utilise des écritures littérales en lien avec des grandeurs mesurables.

📝 Points essentiels

• L'écriture littérale permet de représenter des grandeurs mesurables par des expressions algébriques.
• Mettre en équation un problème concret d'aire facilite la résolution par calcul algébrique.
• La résolution d'équations issues de problèmes d'aire nécessite souvent de factoriser ou développer des expressions.

💡 À retenir

L'écriture littérale permet de représenter des grandeurs mesurables par des expressions algébriques.

📖 3. Calculs d'aires de figures géométriques composées

🔑 Notions clés & Définitions

• La fonction f : Relation mathématique qui associe à chaque valeur de la variable x une valeur unique calculée selon une formule donnée.

📝 Points essentiels

• L'aire d'une figure composée s'obtient en additionnant ou en soustrayant les aires des figures simples qui la composent.
• Pour un jardin potager avec un composteur carré, l'aire cultivable est l'aire totale moins l'aire du composteur.
• Exercice 9 - Une seule réponse par proposition Sur le plan ci-contre, qui n’est pas réalisé à l’échelle, on observe un jardin potager. Dans l’un des angles, on souhaite placer un composteur dont les mesures ne sont pas encore déterminées. Le jardin est un carré de côté 8 mètres et le composteur (de base carrée lui aussi), a pour côté x mètres. La zone verte est la seule sur laquelle des cultures peuvent être mises en place. Coche la bonne réponse. proposition réponse A réponse B réponse C u Quelle est l’aire totale du potager (en m2 ) ? 64 x2 8x    v Quelle est l’aire de la zone de cultures en fonction de x (en m2 )? 8 - x x2 64 - x2    w Quelle est l’expression factorisée de 64 - x2 ? ( ) ( )− −x x8 8 ( ) ( )+ −x x8 8 ( ) ( )+ +x x8 8    x Le côté du composteur est de 1,5 m, quelle est l’aire consacrée à la culture ? 61,75 m 2 6,5 m2 58 m2    y Quelle doit être la longueur du côté du composteur pour que l’aire consacrée à la culture soit égale à 57,75 m2 ? 6,25 m 2,5 m 2,25 m   

💡 À retenir

Savoir décomposer une figure complexe en parties simples est la clé pour calculer efficacement son aire totale.

📖 4. Expressions algébriques et factorisation dans les programmes de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : On écrit donc : ( ) ( )−

📝 Points essentiels

• Les égalités remarquables comme (a+b)(a-b) = a² - b² sont des outils essentiels pour factoriser.
• Le développement et la réduction d'expressions algébriques permettent de transformer des formules pour les rendre plus simples ou adaptées à un calcul.
• La factorisation peut se faire en mettant en facteur un terme commun ou en reconnaissant une égalité remarquable.
• Séance 7 JE RETIENS Geogebra est un logiciel de géométrie dynamique, qui permet de tracer des figures en deux ou trois dimensions et de les animer. Il possède également des fonctions de grapheur et de tableur. On écrit les expressions des fonctions dans la zone de saisie. On fait apparaître les axes et le quadrillage. On peut citer 3 fonctionnalités à saisir dans la zone de saisie :
  • Min[fonction,xmin,xmax] : calcule la plus petite valeur de la fonction pour la variable x qui se situe en xmin et xmax.
  • Max[fonction,xmin,xmax] : calcule la plus grande valeur de la fonction pour la variable x qui se situe en xmin et xmax.
  • Intersection[fonction1,fonction2] : trouve les coordonnées des points d’intersection entre les courbes représentatives des fonctions 1 et 2. Exemple : Tracé de la fonction f définie par f : x x x 1 2 4 52 − + . On commence par taper dans la zone de saisie 1/2x^2-4x+5 dans la zone de saisie, on obtient le résultat ci-contre à l’écran : Remarque : le carré, comme les autres puissances, se note à l’aide du symbole ^. Le point ;A 4 3( )− a été obtenu en saisissant la formule : Min[f,0,8] Entre les valeurs de x comprises entre 0 et 8, la valeur minimale de f est obtenue pour x = 4 et f 4 3( ) = − . Les points B et C sont les points d’intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses. La formule utilisée est : Intersection[f,0] CNED – Collège 3e MATHÉMATIQUeS -

💡 À retenir

Les égalités remarquables comme (a+b)(a-b) = a² - b² sont des outils essentiels pour factoriser.

📖 5. Calculs d'aires de disques et couronnes circulaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Disque : Rappel : l’aire d’un disque de rayon r est égale à p × r2.

📝 Points essentiels

• L'aire d'un disque se calcule avec la formule π × rayon².
• L'aire d'une couronne circulaire est la différence entre l'aire du grand disque et celle du petit disque intérieur.
• Ces calculs sont essentiels pour modéliser des isolations ou des couches autour d'objets circulaires.

💡 À retenir

Comprendre comment calculer les aires des disques et couronnes circulaires est crucial pour résoudre des problèmes d'isolation et d'enrobage.

📖 6. La conductivité thermique de la laine de bois utilisée pour l’isolation est ,c 0 038= , calcule la résistance ther- mique R pour

🔑 Notions clés & Définitions

• Pour x : Variable ou inconnue dans une formule ou une équation, dont on cherche la valeur.
• Conductivité thermique : DOCUMENT 1 La résistance thermique permettant de mesurer la capacité d’isolation d’une paroi est donnée par la formule : R e c

📝 Points essentiels

• La résistance thermique R se calcule par la formule R = épaisseur / conductivité thermique.
• La conductivité thermique c de la laine de bois est 0,038 W/(m·K).
• Pour une paroi composée de plusieurs couches, la résistance thermique totale est la somme des résistances de chaque couche.
• L'épaisseur doit être exprimée en mètres pour le calcul de R.
• La résistance thermique permet d'évaluer la capacité d'isolation thermique d'un matériau.

💡 À retenir

Savoir calculer la résistance thermique à partir de la conductivité et de l'épaisseur est fondamental pour évaluer l'efficacité d'une isolation.

📖 7. Utilisation de formules et fonctions dans un tableur

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

• Une formule saisie dans une cellule peut être étirée pour appliquer le même calcul à plusieurs cellules adjacentes, facilitant ainsi la répétition automatique des calculs.
• La fonction NB.SI permet de compter le nombre de cellules dans une plage qui répondent à un critère spécifique, automatisant ainsi le dénombrement conditionnel.
• Les références relatives dans une formule changent automatiquement lors de la recopie ou de l'étirement de la formule, tandis que les références absolues restent fixes, ce qui permet de contrôler le comportement des calculs.
• Le tableur facilite le traitement de données répétitives et la modélisation de situations aléatoires en automatisant les calculs et en permettant des analyses rapides.
• Exercice 1 Durant l’élaboration du projet de maison écologique, une attention particulière est portée aux fenêtres. Pour une meilleure isolation, ces dernières seront en double vitrage. Mais elles seront alors plus lourdes que des fenêtres usuelles en simple vitrage. Ainsi, le type de verre utilisé pour notre construction entraîne une masse de fenêtre de 25 kg/m2 (structure com- prise). Il faut de plus rajouter 0,8 kg pour le système de fermeture indépendant de la taille des fenêtres. 1. Au rez-de-chaussée, on projette de faire des portes-fenêtres rectangulaires de dimensions 2,2 m de long pour 1,2 m de large. Quelle est l’aire de ces fenêtres ? Entoure la bonne réponse. 3,4 m 2 2,64 m2 6,8 m2 5,28 m2 2. Quelle est la masse d’une telle fenêtre ? Entoure la bonne réponse. 66 kg 66,8 kg 132 kg 132,8 kg 3. On projette de faire à l’étage des fenêtres plus petites. De forme rectangulaire également, elles devront faire 1,2 m de long sur x mètres de large (la largeur x restant donc non fixée pour le moment). Quelle formule permet de donner la masse en kg d’une telle fenêtre à l’étage ? Entoure la bonne réponse. 30x 1,2x 1,2x + 0,8 30x + 0,8 Le processus qui à toute largeur x en mètres permet d’associer la masse de la fenêtre considérée s’appelle une fonction. JE RETIENS On peut définir une fonction comme un processus qui a un nombre fait correspondre un autre nombre, unique. Exemple : Pour un nombre donné, le multiplier par deux puis ajouter 5 permet de définir une fonction. On peut utiliser une formule pour définir une fonction, auquel cas on va lui donner un nom (comme f , g, h ou toute autre lettre) et utiliser une lettre (souvent x mais pas seulement...), appelée variable. 172 CNED – Collège 3e – MATHÉMATIQUeS -

💡 À retenir

Maîtriser les formules et fonctions dans un tableur est essentiel pour automatiser les calculs et analyser efficacement des données, ce qui optimise le traitement d'informations complexes ou répétitives.

📖 8. Calculs d'échelles, réductions et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Échelle : On veut réaliser un plan à l’échelle 1 200 .

📝 Points essentiels

• L'échelle est le rapport entre une dimension mesurée sur un plan et la dimension réelle correspondante.
• Un agrandissement correspond à une échelle supérieure à 1, tandis qu'une réduction correspond à une échelle inférieure à 1.
• Les calculs de pourcentages permettent d'exprimer des variations proportionnelles liées aux changements d'échelle.
• L'utilisation des échelles est essentielle pour interpréter correctement les dimensions sur des plans et maquettes.
• Séance 5 167 3. Ce rapport a une écriture fractionnaire simplifiée égale à 1 200 , c’est aussi l’échelle du plan. Complète le tableau suivant afin de trouver les autres longueurs réelles de la bâtisse. segment longueur sur le dessin (en cm) longueur réelle (en cm) longueur réelle (en m) [AB] 7 1 400 14 [AC] ........................... ........................... ........................... [DC] ........................... ........................... ........................... [BD] ........................... ........................... ........................... Pour [BD], tu utiliseras la valeur approchée trouvée au 1. 4. Recopie et complète la phrase suivante : Pour calculer les longueurs dans la réalité, il faut multiplier par ………… les longueurs mesurées sur ………………………………….., en conservant les mêmes unités de mesure (ici, le cm). JE RETIENS Lorsque tu souhaites représenter un objet trop petit ou trop grand pour pouvoir conserver ses mesures initiales sur le dessin, tu utilises un rapport d’agrandissement ou de réduction, appelé l’échelle du dessin. On appelle donc échelle d’un tel dessin le rapport : longueur sur le dessin longueur réelle . Exemple : Si un bateau de 12 mètres de long est représenté sur un plan par un segment de 3 cm de long, l’échelle d’un tel plan est égale à : 3 1 200 1 400 = .
• Exercice 9 - Une seule réponse par proposition Sur le plan ci-contre, qui n’est pas réalisé à l’échelle, on observe un jardin potager. Dans l’un des angles, on souhaite placer un composteur dont les mesures ne sont pas encore déterminées. Le jardin est un carré de côté 8 mètres et le composteur (de base carrée lui aussi), a pour côté x mètres. La zone verte est la seule sur laquelle des cultures peuvent être mises en place. Coche la bonne réponse. proposition réponse A réponse B réponse C u Quelle est l’aire totale du potager (en m2 ) ? 64 x2 8x    v Quelle est l’aire de la zone de cultures en fonction de x (en m2 )? 8 - x x2 64 - x2    w Quelle est l’expression factorisée de 64 - x2 ? ( ) ( )− −x x8 8 ( ) ( )+ −x x8 8 ( ) ( )+ +x x8 8    x Le côté du composteur est de 1,5 m, quelle est l’aire consacrée à la culture ? 61,75 m 2 6,5 m2 58 m2    y Quelle doit être la longueur du côté du composteur pour que l’aire consacrée à la culture soit égale à 57,75 m2 ? 6,25 m 2,5 m 2,25 m   

💡 À retenir

Maîtriser les notions d'échelle, d'agrandissement, de réduction et de pourcentage est fondamental pour travailler avec des représentations à différentes tailles.

📖 9. Modélisation et représentation graphique de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Relation qui associe à chaque nombre x un nombre de la forme ax + b, avec a et b des nombres réels.

📝 Points essentiels

• Une fonction constante est une droite parallèle à l'axe des abscisses.
• Les points d'intersection entre deux courbes peuvent être trouvés par résolution d'équations ou par des outils numériques.
• Tracer la courbe d'une fonction permet de visualiser son comportement et ses propriétés.
• En considérant notre exemple, la fonction f est une fonction particulière (elle est affine) donc deux points auraient suffi pour tracer sa représentation graphique, qui est une droite.
• Exercice 3 On considère la fonction f définie par f x x x 52 ( ) = + − . Représente graphiquement cette fonction sur le logiciel Geogebra. Utilise ce graphique et la fonctionnalité Intersection[f,0] pour déterminer une valeur approchée des solutions de l’équation x x 5 02 + − = . Remarque : ces solutions sont les abscisses des points d’intersection de la courbe de f avec l’axe des abscisses.

💡 À retenir

Savoir modéliser et représenter graphiquement des fonctions est fondamental pour analyser et résoudre des problèmes mathématiques concrets.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des formules d'aire

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confusion entre aire et périmètre.
2. Erreur dans l'utilisation des formules d'égalités remarquables.
3. Oublier de convertir l'épaisseur en mètres pour le calcul de résistance thermique.
4. Mélanger les unités dans les calculs d'aire ou de résistance.
5. Confusion entre formule de l'aire d'un disque et d'une couronne.
6. Erreur dans la factorisation d'expressions comme 64 - x².
7. Utilisation incorrecte des références absolues et relatives dans un tableur.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer l'aire d'un rectangle.
2. Maîtriser la formule de l'aire d'un disque.
3. Savoir factoriser une différence de carrés.
4. Calculer la résistance thermique à partir de la conductivité et de l'épaisseur.
5. Utiliser un tableur pour automatiser des calculs.
6. Représenter graphiquement une fonction affine.
7. Résoudre une équation à l'aide d'une représentation graphique.
8. Comprendre la relation entre aire et dimensions dans un problème géométrique.