Fiche de révision : Cinématique du point

📋 Plan du Cours

1. Nature de l’espace et du temps
2. Coordonnées cartésiennes
3. Coordonnées polaires
4. Vecteur position et normes
5. Opérations sur les vecteurs
6. Bases cartésienne et polaire
7. Projections des bases

📖 1. Nature de l’espace et du temps

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace classique : Fixe et ses points ne varient pas dans le temps ni dans l’espace.
• Temps classique : S’écoule de la même façon pour tout le monde, à n’importe quel instant.

📝 Points essentiels

• L’espace usuel est décrit en trois dimensions, mais cette description cesse d’être valable aux très petites échelles, notamment autour de la longueur de Planck, qui vaut environ 10^-35 m.

💡 Astuce mémo

Espace fixe, temps universel : deux hypothèses classiques distinctes

📖 2. Coordonnées cartésiennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cartésiennes : Trois nombres qui le repèrent dans un repère formé de trois axes orientés.

★ À maîtriser

• En dimension 2, les coordonnées de M sont (x_M, y_M) dans un repère constitué de deux axes orientés perpendiculaires, Ox et Oy.

Compléments

• En dimension 1, on introduit une origine O et un axe orienté, puis la coordonnée x_M de M est positive ou négative selon que le segment orienté OM suit ou s’oppose au sens de l’axe des x.

💡 Astuce mémo

Une dimension : x ; deux : (x,y) ; trois : (x,y,z)

📖 3. Coordonnées polaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées polaires : En dimension 2, elles sont données par (r, θ), où r = OM est la distance à l’origine et θ l’angle orienté entre l’axe des x et le segment OM.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes est donné par $x_M = r\cos(\theta)$ et $y_M = r\sin(\theta)$.

📐 Formule — Le passage inverse est donné par $r = \sqrt{x_M^2+y_M^2}$ et $\tan(\theta)=\frac{y_M}{x_M}$.

Compléments

• Un angle orienté est positif dans le sens trigonométrique, négatif dans le sens horaire, et les angles sont définis à 360° près, soit 2π radians près.

💡 Astuce mémo

CAH, SOH, TOA pour relier r et θ

📖 4. Vecteur position et normes

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur position : Le vecteur $\overrightarrow{OM}$.
• Vecteur : Un segment orienté caractérisé par une norme, une direction et un sens.

📝 Points essentiels

• La norme d’un vecteur v, notée ||v||, correspond à la longueur du segment représenté par ce vecteur.

💡 Astuce mémo

Une flèche partant de l’origine O et pointant vers M

📖 5. Opérations sur les vecteurs

★ À maîtriser

• Pour additionner deux vecteurs, on place le début du second vecteur à la suite de la fin du premier, puis le vecteur somme relie le début du premier à la fin du second.

📐 Formule — La soustraction de deux vecteurs vérifie $\vec v_1-\vec v_2=\vec v_1+(-\vec v_2)$.

📌 Pour $\vec w=a\vec v$, la norme de w vaut $||\vec w||=|a|\,||\vec v||$, sa direction reste celle de v, et son sens est identique si a > 0 ou opposé si a < 0.

📌 La relation de Chasles pour trois points A, B et C s’écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Compléments

📌 Deux vecteurs v et w sont colinéaires s’il existe un réel a tel que $\vec w=a\vec v$.

💡 Astuce mémo

Multiplier par un réel modifie la norme et peut inverser le sens

📖 6. Bases cartésienne et polaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Base polaire : Une base mobile qui dépend de la position du point M et tourne avec lui lorsqu’il se déplace.

★ À maîtriser

• La base cartésienne 3D est constituée des vecteurs unitaires u_x, u_y et u_z, chacun ayant une norme égale à 1, et elle reste fixe quel que soit le point M étudié.

• La base polaire 2D est constituée des vecteurs unitaires u_r et u_θ, chacun ayant une norme égale à 1.

Compléments

• Le vecteur u_r est orienté radialement selon la direction du segment OM, tandis que u_θ est obtenu en faisant tourner u_r de 90° dans le sens trigonométrique.

💡 Astuce mémo

Base cartésienne fixe, base polaire mobile

📖 7. Projections des bases

★ À maîtriser

📐 Formule — La projection du vecteur radial sur la base cartésienne s’écrit $\vec u_r=\cos(\theta)\vec u_x+\sin(\theta)\vec u_y$.

📐 Formule — La projection du vecteur orthoradial sur la base cartésienne s’écrit $\vec u_\theta=-\sin(\theta)\vec u_x+\cos(\theta)\vec u_y$.

Compléments

• Les projections des vecteurs polaires sur la base cartésienne s’obtiennent en utilisant les rapports trigonométriques dans des triangles rectangles.

💡 Astuce mémo

Projeter d’abord ur, puis uθ sur ux et uy

📊 Tableaux de synthèse

Coordonnées cartésiennes et polaires