Fiche de révision : Cinématique et dynamique du point

📋 Plan du Cours

1. Référentiels, cinématique et accélération de Frenet
2. Mouvements rectilignes uniforme et uniformément varié
3. Dépassement de mobiles et trajectoire paramétrée circulaire
4. Dynamique et forces
5. Lois fondamentales de la dynamique
6. Applications des lois dynamiques
7. Pendule simple oscillant
8. Interaction gravitationnelle, champ et satellites
9. Lois de Kepler
10. Projectile dans un champ de pesanteur
11. Particule chargée en champ électrostatique
12. Dynamique du solide en rotation
13. Oscillations mécaniques, pendule élastique et énergie
14. Sources, caractéristiques et configurations du champ magnétique
15. Champ magnétique dans un solénoïde
16. Force de Lorentz, trajectoires et spectrographe de masse
17. Force de Laplace, flux magnétique et applications
18. Équilibre de la balance de Cotton
19. Principes de l’induction électromagnétique
20. Tension électrique algébrique et loi de Lenz
21. Loi de Faraday et applications
22. Auto-induction, énergie magnétique et oscillations LC
23. Oscillations amorties en circuit RLC
24. Courant alternatif sinusoïdal, impédance et Fresnel

📖 1. Référentiels, cinématique et accélération de Frenet

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique du point : Étude du mouvement d’un point au cours du temps indépendamment des causes qui le produisent.
• Référentiel : Objet par rapport auquel on étudie un mouvement.
• Vecteur position : Vecteur qui repère la position d’un point M par rapport à l’origine du repère.
• Vecteur vitesse : Dérivée première du vecteur position par rapport au temps.
• Vecteur accélération : Le vecteur accélération instantanée indique la rapidité de variation du vecteur vitesse et est défini par la dérivée de celui-ci par rapport au temps.
• Repère de Frenet : Repère mobile d’origine M, avec un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens positif, et un vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la courbure.
• Repère cartésien : Repère associé à un référentiel comprenant une origine et trois vecteurs unitaires deux à deux perpendiculaires ; il se réduit à deux vecteurs unitaires pour un mouvement plan et à un seul pour un mouvement rectiligne.
• Équations horaires : Coordonnées x(t), y(t) et z(t) d’un point en mouvement.

★ À maîtriser

• Le référentiel géocentrique a pour solide de référence le centre de la Terre et ses axes sont dirigés vers trois étoiles fixes ; il convient à l’étude des satellites en orbite autour de la Terre.

• Le référentiel héliocentrique a pour solide de référence le centre du Soleil et convient à l’étude des astres en orbite autour du Soleil.

📐 Formule - Dans la base de Frenet, l’accélération tangentielle vérifie $\vec a_T=\frac{dv_T}{dt}\vec T$.

📐 Formule - Dans la base de Frenet, l’accélération normale vérifie $\vec a_N=\frac{v^2}{R}\vec N$, où R est le rayon de courbure de la trajectoire.

Compléments

• Le référentiel terrestre, défini par un objet fixe à la surface de la Terre, convient aux mouvements de faible amplitude et de courte durée à sa surface, comme ceux étudiés en laboratoire.

• Le référentiel géocentrique suit la révolution de la Terre autour du Soleil, mais pas sa rotation autour de l’axe des pôles.

• Dans un repère orthonormé, les coordonnées du point M sont ses coordonnées cartésiennes.

• Pour obtenir l’équation cartésienne de la trajectoire, on élimine le temps entre les coordonnées du point.

💡 Astuce mémo

Géocentrique pour les satellites terrestres, héliocentrique pour les astres autour du Soleil

📖 2. Mouvements rectilignes uniforme et uniformément varié

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne uniforme : Mouvement dont la trajectoire est droite et le vecteur vitesse constant.
• Mouvement rectiligne uniformément varié : Mouvement dont la trajectoire est droite et le vecteur accélération constant.

★ À maîtriser

📌 Dans un mouvement rectiligne uniformément varié, le mouvement est accéléré si vitesse et accélération sont de même sens, et retardé si elles sont de sens contraires.

📐 Formule - Pour une accélération constante a, la vitesse est une fonction linéaire du temps et la position vérifie $x=\frac{1}{2}at^2+v_0t+x_0$.

Compléments

• Dans un mouvement rectiligne uniforme, le diagramme des espaces est une fonction linéaire du temps.

• Dans un mouvement rectiligne uniforme, le diagramme des vitesses est une droite parallèle à l’axe des temps, d’ordonnée à l’origine v₀.

📐 Formule - La relation indépendante du temps, attribuée à Galilée, est $v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$.

• Dans un mouvement rectiligne uniformément varié, le diagramme des espaces est une parabole tournée vers le haut si l’accélération est positive et vers le bas si elle est négative.

• Dans un mouvement rectiligne uniformément varié, le diagramme des vitesses est une droite dont la pente est l’accélération et dont l’ordonnée à l’origine est la vitesse initiale.

• Pour des intervalles de temps successifs de même durée θ, les espaces parcourus dans un mouvement rectiligne uniformément varié forment une progression arithmétique de raison $a\theta^2$.

💡 Astuce mémo

Accélération constante → vitesse linéaire en temps et position parabolique

📖 3. Dépassement de mobiles et trajectoire paramétrée circulaire

★ À maîtriser

• L’automobile démarre au feu vert avec une accélération de 2,5 m·s⁻² pendant 7,0 s, puis poursuit son mouvement à vitesse constante.

• Au passage au vert, le camion se trouve à 20 m du feu et roule à vitesse constante de 45 km/h.

📐 Formule - Le point mobile est décrit par $x=\cos(\pi+t)-\sin(\pi+t)$ et $y=\cos(\pi+t)+\sin(\pi+t)$.

Compléments

• Pour étudier le dépassement entre l’automobile et le camion, on exprime leurs positions en fonction du temps à partir de l’origine des dates au feu vert et de l’origine des espaces au feu.

• Le camion dépasse d’abord l’automobile, puis l’automobile dépasse le camion.

• L’exercice demande les dates et les abscisses des deux dépassements ainsi que les vitesses de l’automobile à ces instants.

• L’équation de la trajectoire du point se détermine en éliminant le paramètre temporel t entre ses équations de x et de y, puis en précisant la nature de la courbe obtenue.

💡 Astuce mémo

La norme de la vitesse reste constante, mais sa direction tourne.

📖 4. Dynamique et forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement circulaire uniforme : Mouvement dont la trajectoire est un cercle et dont la norme du vecteur vitesse reste constante.
• Vitesse angulaire : La vitesse angulaire est l’angle balayé par unité de temps et s’écrit $\omega=\frac{d\theta}{dt}$ ; elle s’exprime en radians par seconde.
• Période : Temps nécessaire pour effectuer un tour complet et s’exprime en secondes.
• Fréquence : La fréquence est le nombre de tours effectués par seconde et s’exprime en hertz, avec $1\,\mathrm{Hz}=1\,\mathrm{s}^{-1}$.

★ À maîtriser

• Dans un mouvement circulaire uniforme, le vecteur vitesse n’est pas constant parce que sa direction varie au cours du temps.

📐 Formule - Dans la base de Frenet, l’accélération tangentielle est nulle et l’accélération normale vaut $a_N=\frac{v^2}{R}$.

Compléments

• L’accélération d’un mouvement circulaire uniforme est centripète, donc dirigée vers le centre de la trajectoire.

📐 Formule - Les coordonnées cartésiennes d’un mobile sur un cercle de rayon R sont $x=R\cos\theta$ et $y=R\sin\theta$, avec θ exprimé en radians.

📐 Formule - Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse linéaire et la vitesse angulaire vérifient $v=R\omega$.

📐 Formule - Dans un mouvement circulaire uniforme, l’accélération normale vérifie $a_N=R\omega^2$.

📐 Formule - La période d’un mouvement circulaire uniforme vérifie $T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi}{\omega}$.

📐 Formule - La fréquence est l’inverse de la période et la vitesse angulaire vaut $f=\frac{1}{T}$ et $\omega=2\pi f$.

📖 5. Lois fondamentales de la dynamique

🔑 Notions clés & Définitions

• Dynamique : Étude des relations entre les mouvements des corps et les causes qui les provoquent, notamment entre les forces appliquées et les changements du mouvement.
• Force : Action exercée par un acteur sur un receveur et constitue une grandeur vectorielle caractérisée par sa direction, son sens, son intensité et son point d’application.

📝 Points essentiels

• L’intensité d’une force se mesure avec un dynamomètre et s’exprime en newtons (N) dans le système international.

📐 Formule - La force de pesanteur exercée sur un corps de masse m est son poids, de norme $P=mg$, dirigé verticalement vers le bas, avec $g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

📐 Formule - La force de traction d’un ressort est proportionnelle à son allongement selon $T=kx$.

• La force de frottement s’oppose au mouvement de l’objet et peut s’exercer entre deux surfaces ou dans un fluide.

📐 Formule - La réaction d’un sol avec frottement se décompose en une composante normale au sol et une composante parallèle au sol opposée au déplacement : $\vec R=\vec R_N+\vec f$.

• La tension d’un fil s’exerce au point du système en contact avec le fil, selon la direction du fil et dans le sens du système vers le fil.

📖 6. Applications des lois dynamiques

★ À maîtriser

📌 Dans un référentiel galiléen, si un système n’est soumis à aucune force ou si la résultante des forces est nulle, son centre d’inertie décrit un mouvement rectiligne uniforme ; s’il est au repos, il reste au repos.

📐 Formule - Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un système est égale à la dérivée temporelle de sa quantité de mouvement : $\sum \vec F_{\mathrm{ext}}=\frac{d\vec P}{dt}$.

📐 Formule - Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures vaut le produit de la masse du système par l’accélération de son centre d’inertie : $\sum \vec F_{\mathrm{ext}}=m\vec a_G$.

📌 Si un corps A exerce une force sur un corps B, alors B exerce simultanément sur A une force opposée : $\vec F_{A/B}=-\vec F_{B/A}$.

📐 Formule - Pour le pendule conique, l’angle d’écart vérifie $\cos\alpha=\frac{g}{\omega^2l}$.

📐 Formule - La vitesse angulaire limite au-delà de laquelle le pendule s’écarte de sa position initiale est $\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$.

Compléments

📌 Un système isolé ne subit aucune action extérieure, tandis qu’un système pseudo-isolé subit des actions extérieures dont la résultante est nulle.

• Le référentiel de Copernic est présenté comme un excellent référentiel galiléen, tandis que les référentiels géocentrique et terrestre ne le sont pas rigoureusement.

• Le référentiel géocentrique peut être considéré en première approximation comme galiléen pour un phénomène de durée très courte devant la période de révolution terrestre de 365 jours et 6 heures.

• Le référentiel terrestre peut être considéré comme assimilable à un référentiel galiléen si la durée de l’expérience est très inférieure à 24 heures ou si la précision des mesures ne révèle pas le mouvement terrestre.

📐 Formule - La quantité de mouvement d’un point matériel de masse m est $\vec P=m\vec v$.

📐 Formule - La quantité de mouvement d’un solide de masse totale M est $\vec P=M\vec v_G$, où $\vec v_G$ est la vitesse de son centre d’inertie.

📐 Formule - La somme des travaux des forces extérieures appliquées à un solide est égale à la variation de son énergie cinétique : $\sum W_{\vec F_{\mathrm{ext}}}=\Delta E_C$.

• 🔄 La résolution générale d’un problème de mécanique suit ces étapes :
  1. Analyser la totalité de l’énoncé.
  2. Rattacher l’exercice à une partie du cours.
  3. Définir le système à étudier.
  4. Choisir un référentiel, généralement galiléen.
  5. Représenter le système dans le référentiel choisi.
  6. Inventorier les forces extérieures appliquées au système.
  7. Appliquer les lois et résoudre les équations avec rigueur mathématique.
  8. Présenter le résultat avec une unité et vérifier son ordre de grandeur.

📐 Formule - Pour un solide glissant sur un plan incliné d’angle α avec un frottement de norme f, l’accélération le long du plan vaut $a=g\sin\alpha-\frac{f}{m}$.

📐 Formule - Pour le solide du plan incliné abandonné sans vitesse initiale à l’origine, la vitesse et la position sont $v=\left(g\sin\alpha-\frac{f}{m}\right)t$ et $x=\frac12\left(g\sin\alpha-\frac{f}{m}\right)t^2$.

📖 7. Pendule simple oscillant

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un pendule simple lâché sans vitesse initiale à l’angle maximal $\theta_m$, sa vitesse à l’angle $\theta$ vérifie $v=\sqrt{2gL(\cos\theta-\cos\theta_m)}$.

📐 Formule - La tension du fil du pendule simple à l’angle $\theta$ vaut $T=mg(3\cos\theta-2\cos\theta_m)$.

Compléments

📐 Formule - Au passage par la position d’équilibre, la vitesse du pendule simple est maximale et vaut $v=\sqrt{2gL(1-\cos\theta_m)}$.

📖 8. Interaction gravitationnelle, champ et satellites

🔑 Notions clés & Définitions

• Force gravitationnelle : Newton, 1665 - Attraction réciproque entre deux corps quasi ponctuels, dirigée selon la droite joignant leurs centres, de même intensité pour les deux corps et de sens opposés.
• Champ gravitationnel : Le champ gravitationnel en un point est le vecteur égal à la force gravitationnelle subie par une masse placée en ce point divisée par cette masse, soit $\vec G=\frac{\vec F}{m}$.
• Satellite géostationnaire : Reste en permanence à la verticale d’un même point terrestre et semble immobile dans le référentiel terrestre.
• Impesanteur : Caractérisée par l’absence apparente de pesanteur, lorsque le spationaute et son véhicule spatial subissent la même accélération et que la réaction de la paroi est nulle.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’intensité de la force gravitationnelle entre deux masses $M$ et $m$ séparées par une distance $r$ vaut $F=C\frac{mM}{r^2}$.

📌 Le champ de pesanteur $\vec g$ est défini par $\vec P=m\vec g$ dans le référentiel terrestre, tandis que le champ gravitationnel $\vec G$ est défini par $\vec F=m\vec G$ dans le référentiel géocentrique.

📐 Formule - À l’altitude $h$, l’intensité du champ gravitationnel terrestre vaut $G(h)=g_0\frac{R_T^2}{(R_T+h)^2}$.

• Pour un satellite soumis à l’attraction terrestre, l’accélération est centripète, le mouvement est circulaire autour du centre de la Terre et l’accélération ne dépend pas de la masse du satellite.

📐 Formule - Un satellite en orbite circulaire autour de la Terre a une vitesse constante de valeur $v=\sqrt{\frac{CM_T}{r}}=\sqrt{\frac{g_0R_T^2}{R_T+h}}$.

Compléments

• La constante de gravitation $C$ vaut $6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,kg^{-2}\,m^2}$ dans le Système international.

• Le champ gravitationnel créé par une masse ponctuelle est dirigé vers cette masse et existe même en l’absence d’une masse placée au point considéré.

📐 Formule - À l’extérieur d’un corps à répartition sphérique de masse $M$ et de rayon $R$, le champ est celui d’une masse ponctuelle située au centre, et son intensité à l’altitude $h$ vaut $G=C\frac{M}{(R+h)^2}$.

📐 Formule - À la surface terrestre, l’intensité du champ de pesanteur vérifie $g_0=C\frac{M_T}{R_T^2}=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$, avec $M_T=5{,}98\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}$ et $R_T=6{,}38\cdot10^6\ \mathrm{m}$.

📐 Formule - La période de révolution d’un satellite en orbite circulaire vaut $T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{CM_T}}$ et dépend de l’altitude, mais pas de la masse du satellite.

📌 Un satellite géostationnaire suit une orbite circulaire dans le plan équatorial, tourne dans le même sens que la Terre et a la même période de rotation qu’elle.

• La période de rotation terrestre utilisée pour un satellite géostationnaire est de 23 h 56 min 04 s, soit 86 164 s.

💡 Astuce mémo

Un spationaute et sa cabine chutent ensemble autour de la Terre, donnant l’impression de flotter.

📖 9. Lois de Kepler

★ À maîtriser

• La première loi de Kepler (1609) stipule que les planètes décrivent des orbites elliptiques dont le Soleil occupe l’un des foyers.

• La deuxième loi de Kepler (1609) stipule que le rayon vecteur reliant le Soleil à une planète balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux.

• La troisième loi de Kepler (1618) stipule que le carré de la période de révolution d’une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite.

Compléments

• Tycho Brahé et ses assistants, parmi lesquels se trouvait Kepler, consignèrent des positions planétaires précises, à partir desquelles Kepler établit expérimentalement trois lois du mouvement planétaire.

📐 Formule - Pour une planète, le rapport entre le carré de sa période de révolution et le cube du demi-grand axe de son orbite est constant : $\frac{T^2}{a^3}=\text{constante}$.

• Pour deux planètes orbitant autour du Soleil, $\frac{T_1^2}{a_1^3}=\frac{T_2^2}{a_2^3}$, et ce rapport dépend uniquement des caractéristiques du Soleil.

• Lorsque la trajectoire est circulaire, le demi-grand axe de l’orbite est égal au rayon de la trajectoire.

📖 10. Projectile dans un champ de pesanteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ de force constant : Champ dont le vecteur force est le même en tout point de l’espace.

★ À maîtriser

• En négligeant les frottements de l’air et la poussée d’Archimède, un projectile soumis uniquement à son poids dans un référentiel terrestre supposé galiléen a une accélération égale au champ de pesanteur, indépendante de sa masse.

📐 Formule - Pour un projectile lancé à la vitesse initiale $v_0$ sous l’angle $\alpha$ depuis l’altitude $z_0$, les équations horaires sont $x(t)=v_0\cos\alpha\,t$, $y(t)=0$ et $z(t)=-\frac12gt^2+v_0\sin\alpha\,t+z_0$.

📐 Formule - L’équation de la trajectoire du projectile est $z=-\frac{g}{2(v_0\cos\alpha)^2}x^2+x\tan\alpha+z_0$; elle décrit une parabole dans le plan Oxz, de concavité tournée vers le bas.

📐 Formule - Pour un projectile lancé et retombant à la même altitude, la portée horizontale est $d=\frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}$ et elle est maximale pour $\alpha=45^\circ$, avec $d_{\max}=\frac{v_0^2}{g}$.

Compléments

• Dans le champ de pesanteur terrestre, le vecteur champ de pesanteur est dirigé vers le centre de la Terre.

• Le mouvement du projectile est uniforme suivant Ox, nul suivant Oy et uniformément varié suivant Oz; il reste dans le plan Oxz et dépend des conditions initiales, non de la masse.

📐 Formule - Pour une altitude initiale z₀, la flèche maximale vaut $h=z_0+\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$; si z₀=0, elle vaut $h=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$.

📌 Pour atteindre une cible de coordonnées (x_A,z_A), tan α doit satisfaire une équation du second degré; si son discriminant est positif, deux réglages de tir sont possibles, correspondant au tir tendu et au tir en cloche.

• Pour une cible située à une distance horizontale inférieure à $v_0^2/g$ et à même altitude que le lancement, deux angles complémentaires donnent la même portée.

📌 Lorsqu’un projectile passe d’une altitude z_A à z_B sous l’action de son poids, son énergie mécanique se conserve.

📖 11. Particule chargée en champ électrostatique

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ électrostatique uniforme : Champ électrique dont le vecteur est constant dans la région considérée, par exemple entre les armatures d’un condensateur plan.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’accélération d’une particule de masse m et de charge q dans un champ électrostatique uniforme est $\vec a=\frac{q}{m}\vec E$.

📐 Formule - Lorsque la vitesse initiale est parallèle aux plaques, les équations horaires sont $x(t)=v_0t$ et $y(t)=\frac{qE}{2m}t^2$; la trajectoire dans le champ est parabolique.

Compléments

• Une particule de charge q dans un champ électrostatique uniforme subit la force $\vec F=q\vec E$; son poids est généralement négligeable devant cette force dans le cas étudié.

📐 Formule - Lorsque la vitesse initiale est perpendiculaire aux plaques, le mouvement est rectiligne suivant l’axe du champ, avec $x(t)=-\frac{qE}{2m}t^2+v_0t$ et y=0.

📐 Formule - Pour des plaques de longueur l séparées de d et sous une tension U, la déviation angulaire vérifie $\tan\alpha=\frac{qEl}{mv_0^2}=\frac{qUl}{dmv_0^2}$.

📐 Formule - Dans la configuration de déviation considérée, la déflexion sur l’écran vérifie $O'M=\frac{qEl}{mv_0^2}\left(L-\frac l2\right)$.

📌 Pour qu’une particule traverse le condensateur sans toucher une plaque, il faut que sa déviation à la sortie vérifie y(l)<d/2; le cours en déduit $U<\frac{md^2v_0^2}{ql^2}$ et $v_0>\frac ld\sqrt{\frac{qU}{m}}$.

📖 12. Dynamique du solide en rotation

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’inertie : Grandeur qui mesure l’opposition à la mise en rotation et dépend de la répartition de la masse par rapport à l’axe.
• Mouvement de rotation : Solide dont les points décrivent des trajectoires circulaires par rapport à un point ou un axe fixe dans un référentiel donné.

★ À maîtriser

📐 Formule - La relation fondamentale de la dynamique de rotation est $\sum M_\Delta(\vec F_{ext})=J_\Delta\ddot\theta$, où $\ddot\theta$ est l’accélération angulaire.

📐 Formule - Le théorème de Huyghens s’écrit $J_\Delta=J_{\Delta_G}+Md^2$, où Δ_G est un axe parallèle à Δ passant par le centre d’inertie et d est la distance entre les axes.

Compléments

📐 Formule - Pour un point matériel de masse m situé à la distance r de l’axe Δ, le moment d’inertie est $J_\Delta=mr^2$.

📐 Formule - Pour un solide constitué de n points matériels, le moment d’inertie autour de Δ est $J_\Delta=\sum_{i=1}^{n}m_ir_i^2$.

📐 Formule - Les moments d’inertie autour de l’axe de symétrie valent $J_\Delta=\frac12MR^2$ pour un cylindre plein ou un disque, $J_\Delta=\frac25MR^2$ pour une sphère pleine et $J_\Delta=MR^2$ pour une circonférence.

📖 13. Oscillations mécaniques, pendule élastique et énergie

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateur : Système physique dont une grandeur varie de part et d’autre d’un état d’équilibre.
• Période : Plus courte durée, exprimée en secondes (s), au bout de laquelle le phénomène oscillatoire se reproduit identique à lui-même.
• Fréquence : Nombre de fois que le phénomène oscillatoire se reproduit par seconde et s’exprime en hertz (Hz).
• Élongation : Variation de longueur du ressort par rapport à sa position d’équilibre, où le ressort n’est ni étiré ni comprimé et où x = 0.

★ À maîtriser

📌 Les oscillations sont libres lorsque le système, écarté de sa position d’équilibre, est abandonné à lui-même ; un oscillateur libre évolue selon ses propres caractéristiques.

• Le pendule élastique horizontal est constitué d’un solide de masse m attaché à un ressort de raideur k, qui se déplace sans frottement sur un support horizontal.

📐 Formule - L’équation différentielle du pendule élastique horizontal est $\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$.

📐 Formule - Le mouvement du pendule élastique horizontal s’écrit $x(t)=x_m\cos(\omega_0t+\varphi)$, avec $\omega_0^2=\frac{k}{m}$.

📐 Formule - Pour le pendule élastique, l’énergie cinétique est $E_C=\frac12m\dot{x}^{2}$, l’énergie potentielle élastique est $E_P=\frac12kx^{2}$ et l’énergie mécanique est leur somme.

• Sans frottement, l’énergie mécanique du pendule élastique reste constante et vaut $E=\frac12kx_m^2=\frac12m\omega_0^2x_m^2=\frac12mv_{\max}^2$, avec $v_{\max}=x_m\omega_0$.

📌 Avec un faible amortissement, le mouvement reste oscillatoire et pseudo-périodique, tandis qu’au-delà d’une force de frottement critique il devient apériodique et le système revient lentement à l’équilibre sans osciller.

Compléments

📐 Formule - La pulsation propre, la période propre et la fréquence propre du pendule élastique sont respectivement $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, $T_0=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ et $N_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$.

📐 Formule - Pour les conditions initiales x(0) = x₀ et ẋ(0) = v₀, l’amplitude vaut $x_m=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega_0}\right)^2}$.

📌 Dans le mouvement harmonique, la vitesse est en avance de π/2 sur l’élongation, tandis que l’accélération est en opposition de phase avec l’élongation.

• Lorsque l’élongation est $x=x_m\cos(\omega_0t)$, les énergies cinétique et potentielle varient avec une période égale à $T_0/2$.

• Pour un faible amortissement, la pseudo-période est légèrement supérieure à la période propre et reste constante durant le mouvement.

💡 Astuce mémo

Les frottements dissipent l’énergie → l’amplitude diminue.

📖 14. Sources, caractéristiques et configurations du champ magnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ magnétique : Présent dans l’espace environnant un aimant ou une bobine parcourue par un courant ; en un point P, il est caractérisé par le vecteur $\vec{B}(P)$, mesuré en teslas (T).
• Ligne de champ : Courbe tangente en chacun de ses points au vecteur champ magnétique et orientée dans le sens de ce vecteur.
• Déclinaison : Angle formé par le plan du méridien géographique et le plan du méridien magnétique.
• Inclinaison : Angle que fait le champ magnétique terrestre avec l’horizontale du point considéré.
• Solénoïde : Bobine dont la longueur dépasse dix fois son rayon.

★ À maîtriser

• Une aiguille aimantée dévie au voisinage d’un fil parcouru par un courant, et le sens de sa déviation s’inverse lorsque le sens du courant est inversé.

• Près des pôles d’un aimant droit, les lignes de champ sont resserrées et le champ est plus intense ; elles quittent le pôle nord et convergent vers le pôle sud.

• Dans l’entrefer d’un aimant en U, les lignes de champ sont parallèles entre elles et perpendiculaires aux branches, et le champ y est uniforme.

• Le champ magnétique terrestre est approximativement celui d’un aimant droit dont le pôle nord magnétique pointe vers le sud géographique.

Compléments

• En un point P, le vecteur champ magnétique a pour direction celle d’une aiguille aimantée placée en P et pour sens celui allant du pôle sud vers le pôle nord de l’aiguille.

• Dans une matière non aimantée, les vecteurs associés aux boucles de courant atomiques sont orientés pêle-mêle et l’aimantation macroscopique est nulle ; dans une matière aimantée, leur orientation préférentielle produit une aimantation permanente ou temporaire.

• Deux lignes de champ magnétique ne se coupent jamais, car le champ magnétique n’a qu’un seul vecteur en chaque point.

• Les lignes du champ créé par un fil rectiligne parcouru par un courant sont des cercles ayant pour axe le fil, et l’intensité du champ est proportionnelle au courant.

• Une bobine plate parcourue par un courant crée un champ magnétique dirigé selon son axe.

• Deux bobines de Helmholtz identiques, séparées d’une distance égale à leur rayon et parcourues par des courants de même intensité et de même sens, créent un champ relativement uniforme au centre du dispositif.

• À Paris, l’inclinaison est d’environ 65° et le champ magnétique terrestre vaut approximativement $4\times10^{-5}\,\mathrm{T}$, avec une composante horizontale d’environ $2\times10^{-5}\,\mathrm{T}$ et une composante verticale d’environ $3{,}5\times10^{-5}\,\mathrm{T}$.

💡 Astuce mémo

Autour du fil, des cercles ; dans l’entrefer de l’aimant en U, des lignes parallèles.

📖 15. Champ magnétique dans un solénoïde

🔑 Notions clés & Définitions

• Solénoïde : Bobine dont la longueur est supérieure à dix fois son rayon.

★ À maîtriser

• À l’extérieur, le spectre magnétique d’un solénoïde a la même allure que celui d’un aimant droit, tandis qu’à l’intérieur et loin des extrémités, les lignes de champ sont parallèles à son axe.

• Un solénoïde parcouru par un courant crée à l’intérieur un champ magnétique uniforme, dirigé selon son axe, dont le sens va de la face sud vers la face nord.

• Dans un solénoïde, l’intensité du champ magnétique est proportionnelle à l’intensité $I$ du courant et au nombre de spires par unité de longueur $n$.

Compléments

• L’orientation de l’aiguille aimantée s’inverse lorsque le sens du courant dans le solénoïde est inversé.

• 🔄 La règle du bonhomme d’Ampère s’applique ainsi :

  1. Le bonhomme est placé sur les fils du solénoïde.
  2. Le courant entre par ses pieds et sort par sa tête.
  3. Il regarde le centre du solénoïde.
  4. Son bras gauche indique le sens du champ.

📐 Formule - Le nombre de spires par unité de longueur d’un solénoïde de longueur $L$ comprenant $N$ spires est $n = \frac{N}{L}$.

• La perméabilité magnétique du vide vaut $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ en unités SI.

📖 16. Force de Lorentz, trajectoires et spectrographe de masse

🔑 Notions clés & Définitions

• Force de Lorentz : Force magnétique exercée sur une charge $q$ se déplaçant à la vitesse $\vec v$ dans un champ magnétique $\vec B$, et elle vérifie $\vec f_m = q\vec v \wedge \vec B$.

★ À maîtriser

• Quand le champ magnétique est perpendiculaire à leur vitesse, les électrons suivent une trajectoire circulaire ; un champ plus intense réduit le rayon, tandis qu’une vitesse plus grande l’augmente.

📐 Formule - La norme de la force de Lorentz vaut $f_m = |qvB\sin\alpha|$, où $\alpha$ est l’angle entre $q\vec v$ et $\vec B$.

• Pour une particule entrant perpendiculairement dans un champ magnétique uniforme, la force de Lorentz reste perpendiculaire à la vitesse et ne travaille pas ; la vitesse reste donc constante.

📐 Formule - Le rayon de la trajectoire circulaire d’une particule de masse $m$ et de vitesse initiale $v_0$ vaut $R = \frac{mv_0}{|q|B}$.

📐 Formule - La période de révolution vaut $T = \frac{2\pi m}{|q|B}$ et ne dépend pas de la vitesse de la particule.

• Un spectrographe de masse sépare des ions de masses différentes et permet d’analyser la composition atomique et isotopique de la matière.

Compléments

• Sans champ magnétique, les électrons du faisceau suivent une trajectoire rectiligne et uniforme, le poids étant négligeable.

• Quand le champ magnétique est parallèle à la vitesse des électrons, leur trajectoire est rectiligne.

• Quand le champ magnétique forme un angle quelconque avec la vitesse des électrons, leur trajectoire est hélicoïdale.

• La force de Lorentz s’applique à la particule considérée comme ponctuelle, est perpendiculaire à $q\vec v$ et à $\vec B$, et son sens se détermine par la règle des trois doigts de la main droite.

• La force de Lorentz est nulle si la charge est au repos ou si sa vitesse est parallèle au champ magnétique.

📐 Formule - La quantité de mouvement de la particule vérifie $P = mv = R|q|B$.

📐 Formule - La vitesse angulaire de la particule vérifie $\omega = \frac{v}{R} = \frac{|q|B}{m}$.

📐 Formule - Pour un champ magnétique agissant sur une longueur $l$, la déviation angulaire vérifie $\alpha_m = \frac{|q|Bl}{mv_0}$.

📐 Formule - Dans l’approximation des petits angles et pour $l \ll L$, la déflexion sur l’écran vérifie $D = \frac{|q|BlL}{mv_0}$.

💡 Astuce mémo

Force perpendiculaire à la vitesse → trajectoire courbe, sans changement de vitesse.

📖 17. Force de Laplace, flux magnétique et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Force de Laplace : Force électromagnétique exercée sur un conducteur rectiligne de longueur $l$ parcouru par un courant $I$ et placé dans un champ magnétique uniforme ; elle vérifie $\vec F = I\vec l \wedge \vec B$.
• Flux magnétique : Nombre de lignes de champ qui traversent un contour délimité par une surface $S$ dans un champ uniforme ; il s’exprime par $\Phi = BS\cos\theta$, où $\theta$ est l’angle entre $\vec B$ et le vecteur surface.

★ À maîtriser

📐 Formule - La norme de la force de Laplace vaut $F = IlB|\sin\alpha|$, où $\alpha$ est l’angle entre $\vec l$ et $\vec B$.

• Le flux est maximal lorsque $\theta=0°$, soit $\Phi_{\max}=NBS$, et un circuit libre tend à s’orienter pour rendre le flux maximal.

Compléments

• Dans l’expérience des rails de Laplace, le conducteur mobile se déplace parallèlement aux rails quand un courant est établi dans le champ magnétique.

• Le déplacement du conducteur change de sens si le sens du courant est inversé ou si les pôles de l’aimant sont permutés.

• Dans la loi de Laplace, le vecteur $\vec l$ est parallèle au conducteur, de longueur $l$, et orienté dans le sens du courant.

• La force de Laplace s’applique au milieu de la portion de conducteur soumise au champ et sa direction est perpendiculaire au conducteur et au champ magnétique.

• Le sens de la force de Laplace se détermine par la règle des trois doigts de la main droite : le pouce indique le sens de $I\vec l$, l’index celui de $\vec B$ et le majeur celui de $\vec F$.

• Une bobine suspendue librement dans un champ magnétique uniforme tourne jusqu’à ce que son vecteur axial, orienté de S vers N, soit colinéaire et de même sens que le champ.

• Le vecteur surface est perpendiculaire au plan du contour, orienté de la face sud vers la face nord, de norme égale à la surface en mètres carrés et d’origine au centre du contour.

• L’unité du flux magnétique est le weber, avec $1\,\mathrm{Wb}=1\,\mathrm{T\,m^2}$.

📐 Formule - Pour une bobine de $N$ spires, le flux total vaut $\Phi_T = N\Phi = NB S\cos\theta$.

• Les ampèremètres et voltmètres magnétoélectriques utilisent un cadre mobile qui tourne sous l’action des forces de Laplace.

• Dans un moteur électrique, les forces de Laplace font tourner le rotor, électroaimant placé dans le champ de l’aimant fixe appelé stator.

• Dans un haut-parleur électrodynamique, le courant dans la bobine produit des forces de Laplace qui attirent ou repoussent la membrane selon son sens ; un courant alternatif fait vibrer la membrane et produit un son de même fréquence.

💡 Astuce mémo

Une surface orientée comme une flèche traverse les lignes du champ.

📖 18. Équilibre de la balance de Cotton

📝 Points essentiels

• Dans la balance de Cotton, les conducteurs MN et PQ étant des arcs de cercle de centre O, les moments des forces F₁ et F₂ sont nuls.

• Dans la balance de Cotton, on ajuste le courant dans le conducteur MNPQ pour rétablir l’équilibre après le placement d’une surcharge dans la nacelle.

📖 19. Principes de l’induction électromagnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Induction électromagnétique : Phénomène par lequel une variation du flux magnétique à travers un circuit fermé produit un courant induit.

📝 Points essentiels

• En 1830, Joseph Henry réalise indépendamment avec Michael Faraday des expériences montrant qu’on peut produire des effets électriques à partir de champs magnétiques.

• Le courant induit apparaît dès que le flux commence à varier et disparaît dès que cette variation cesse.

💡 Astuce mémo

Variation du flux → courant induit

📖 20. Tension électrique algébrique et loi de Lenz

🔑 Notions clés & Définitions

• Force électromotrice : La force électromotrice d’un générateur est positive si le générateur tend à faire circuler le courant dans le sens positif de l’orientation choisie et négative s’il tend à le faire circuler dans le sens contraire.
• Courant induit : Courant qui apparaît dans une bobine sans générateur lorsque le flux magnétique qui la traverse varie.

★ À maîtriser

📌 Pour un dipôle orienté de A vers B, la tension algébrique vérifie $u_{AB}=-u_{BA}=V_A-V_B$ et sa flèche est orientée vers A.

📐 Formule - Pour un conducteur ohmique de résistance R, la tension algébrique vérifie $u_{AB}=Ri$.

• Dans une bobine fixe, approcher un aimant fait apparaître un courant qui cesse lorsque le déplacement s’arrête ; éloigner l’aimant inverse le sens du courant.

📌 Selon la loi de Lenz, les effets du phénomène d’induction s’opposent à la cause qui leur donne naissance.

Compléments

📌 En convention récepteur, l’intensité algébrique est positive si le courant circule dans le sens positif de l’orientation choisie et négative s’il circule en sens contraire.

• L’intensité du courant induit augmente lorsque le déplacement relatif de l’aimant et de la bobine est plus rapide.

📌 La bobine dans laquelle circule le courant induit est l’induit, tandis que la source du champ magnétique est l’inducteur.

• Lorsqu’on approche le pôle Nord d’un aimant d’une bobine, le courant induit crée une face Nord qui tend à repousser l’aimant.

• Lorsqu’on éloigne le pôle Nord d’un aimant d’une bobine, le courant induit crée une face Sud qui tend à attirer l’aimant.

💡 Astuce mémo

Sens positif : grandeur positive ; sens opposé : grandeur négative

📖 21. Loi de Faraday et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformateur : Un transformateur est constitué de deux bobines enroulées sur un même cadre en fer, le primaire étant relié à une source de tension alternative et le secondaire à un récepteur.
• Alternateur : Machine rotative qui convertit l’énergie mécanique fournie au rotor en énergie électrique.
• Courants de Foucault : Les courants de Foucault sont des courants induits qui apparaissent au sein d’un conducteur lorsqu’un aimant s’en approche ou le traverse.

★ À maîtriser

📐 Formule - La loi de Faraday-Lenz donne la f.é.m. induite par $e=-\frac{d\Phi}{dt}$, où le signe moins traduit l’opposition prévue par la loi de Lenz.

Compléments

📌 Si e est positive, le courant induit circule dans le sens positif et s’oppose à la diminution du flux ; si e est négative, il circule dans le sens négatif et s’oppose à l’augmentation du flux.

📐 Formule - Pour une tige de longueur l se déplaçant à la vitesse v sur des rails dans un champ uniforme B perpendiculaire au circuit, la valeur de la f.é.m. induite est $|e|=Blv$.

📐 Formule - Dans un circuit de résistance totale R, l’intensité induite vérifie $i=-\frac{1}{R}\frac{d\Phi}{dt}$ et sa valeur absolue est $|i|=\frac{1}{R}\left|\frac{d\Phi}{dt}\right|$.

• En circuit ouvert, la tension induite aux bornes du circuit est égale à la f.é.m. induite.

📐 Formule - Pour une variation de flux entre Φ₁ et Φ₂ dans un circuit de résistance R, la quantité d’électricité induite vaut $Q=\frac{|\Phi_2-\Phi_1|}{R}$.

• Dans un transformateur, le cadre en fer canalise les lignes de champ et forme un circuit magnétique où le flux est identique à travers toute section du cadre.

• Un transformateur peut élever ou abaisser une tension alternative selon le rapport du nombre de spires de ses bobines.

• Dans un transformateur idéal, la puissance électrique est transmise intégralement lorsque les pertes et les fuites de flux sont négligées.

• La tension produite par l’alternateur décrit une variation sinusoïdale et devient alternative.

• Augmenter la vitesse de rotation de l’aimant accroît la fréquence de variation de la tension induite ainsi que sa valeur maximale.

• Les courants de Foucault créent un champ magnétique qui s’oppose à celui de l’aimant et tend à ralentir sa chute dans un tube de cuivre.

• Le freinage par courants de Foucault ne nécessite pas de contact, s’use très peu et peut servir de frein principal ou d’urgence dans certains trains, mais il provoque un échauffement par effet Joule.

📖 22. Auto-induction, énergie magnétique et oscillations LC

🔑 Notions clés & Définitions

• Auto-induction : L’auto-induction est le phénomène par lequel une bobine s’oppose à l’établissement et à l’annulation du courant dans le circuit où elle est placée.
• Inductance : L’inductance L d’un circuit électrique est le quotient du flux propre total à travers le circuit par le courant qui y circule.
• Flux propre : Le flux propre est le flux magnétique créé par un courant à travers son propre circuit et il est proportionnel à l’intensité du courant.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’énergie magnétique d’une bobine d’inductance L parcourue par un courant i vaut $E_L=\frac{1}{2}Li^2$.

📐 Formule - Dans un condensateur de capacité C portant une charge q, l’énergie électrique vaut $E_C=\frac{q^2}{2C}$.

📐 Formule - Dans un circuit LC sans dissipation par effet Joule, l’énergie électromagnétique totale $E=E_C+E_L$ reste constante.

📐 Formule - La charge d’un oscillateur LC idéal varie selon $q(t)=Q_m\cos(\omega_0t+\varphi)$, avec $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Compléments

• À la fermeture du circuit, le courant dans la branche contenant la bobine s’établit avec retard parce que la f.é.m. induite s’oppose à sa variation.

• À l’ouverture du circuit, la bobine produit un courant induit de même sens que le courant qui diminue, ce qui retarde son extinction.

📌 Lorsque le courant i varie, le flux propre du circuit varie et engendre une f.é.m. induite qui s’oppose à cette variation.

• L’inductance d’un circuit ne dépend que de sa géométrie.

• Lors de l’établissement du courant, la bobine emmagasine de l’énergie, ce qui retarde l’établissement du courant.

• Lors de la rupture du courant, la bobine restitue l’énergie emmagasinée, ce qui retarde l’annulation du courant.

📐 Formule - La période propre et la fréquence propre d’un circuit LC sont $T_0=2\pi\sqrt{LC}$ et $N_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.

• Dans un circuit LC, l’amplitude Qm et la phase initiale φ sont déterminées par les conditions initiales.

📌 Dans les oscillations LC décrites, la tension du condensateur et l’intensité sont déphasées de π/2, tandis que la tension de la bobine est l’opposée de celle du condensateur.

💡 Astuce mémo

Variation du courant → flux propre variable → f.é.m. opposée

📖 23. Oscillations amorties en circuit RLC

🔑 Notions clés & Définitions

• Pseudo-période : La pseudo-période est la durée qui sépare deux passages successifs de la tension du condensateur par zéro dans le même sens.

★ À maîtriser

📌 Dans un circuit RLC, une résistance faible produit une décharge oscillante amortie, tandis qu’une résistance suffisamment grande produit une décharge apériodique.

Compléments

• L’amortissement subsiste lorsque la résistance extérieure est annulée, car la bobine possède une résistance propre.

📌 L’amortissement augmente avec la résistance totale du circuit et la décharge devient apériodique au-delà de la résistance critique indiquée par la condition RC = 2√(L/C).

• Dans le régime pseudo-périodique, la diminution de l’amplitude traduit une perte d’énergie par effet Joule.

💡 Astuce mémo

Résistance accrue → amortissement accru → régime apériodique.

📖 24. Courant alternatif sinusoïdal, impédance et Fresnel

🔑 Notions clés & Définitions

• Courant alternatif : Un courant alternatif est périodique, change de sens deux fois par période et transporte alternativement des quantités d’électricité égales dans chaque sens.
• Courant sinusoïdal : Un courant sinusoïdal a une intensité qui varie selon $i(t)=I_m\cos(\omega t+\varphi)$, où Im est l’intensité maximale et ω la pulsation.
• Impédance : L’impédance Z d’un dipôle est le rapport de la tension efficace à l’intensité efficace, également égal au rapport des amplitudes, et s’exprime en ohms.
• Alternance : Une alternance est l’intervalle de temps qui sépare deux changements de sens consécutifs du courant.
• Représentation de Fresnel : La représentation de Fresnel associe à une grandeur sinusoïdale un vecteur tournant dont le module donne l’amplitude, la vitesse angulaire la pulsation et la position initiale la phase à l’origine.

★ À maîtriser

📌 Le courant est en phase avec la tension si φ = 0, en avance si φ > 0 et en retard si φ < 0.

📐 Formule - Pour un courant alternatif sinusoïdal, l’intensité efficace et la tension efficace valent respectivement $I_{eff}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}$ et $U_{eff}=\frac{U_m}{\sqrt{2}}$.

📐 Formule - Pour un résistor parcouru par un courant alternatif, $u=Ri$, les valeurs maximales vérifient $U_m=RI_m$ et l’impédance vaut $Z=R$.

Compléments

• Le courant fourni par l’EDG ainsi que les courants industriels de Kamsar et Fria sont sinusoïdaux et ont une fréquence de 50 Hz.

📐 Formule - La période T et la fréquence N d’un courant périodique vérifient $T=\frac{1}{N}$.

• En courant alternatif, l’ampèremètre et le voltmètre mesurent les valeurs efficaces, tandis que l’oscilloscope mesure les valeurs maximales.

• L’impédance dépend de la fréquence du courant alternatif.

• La somme de deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation est une grandeur sinusoïdale de cette pulsation, dont l’amplitude et la phase se déterminent par calcul ou graphiquement.

📌 Dans un résistor, la tension et le courant sont en phase, alors qu’ils peuvent être déphasés dans une portion de circuit quelconque.

💡 Astuce mémo

Résistance pure : tension et courant en phase ; en général, ils peuvent être déphasés.