Coordonnées cartésiennes — définition ?
Projections orthogonales sur axes du repère.
Coordonnées polaires — rôle ?
Représenter un point par distance et angle.
Relation x=ρcosθ — dans quoi ?
Conversion cartésien-polaire.
Relation y=ρsinθ — formule ?
x=ρcosθ, y=ρsinθ.
Changement de coordonnées — principe ?
Remplacer variables par expressions en nouvelles coordonnées.
Domaine d’une fonction — définition ?
Ensemble où elle est définie et régulière.
Image d’une fonction — rôle ?
Ensemble des valeurs possibles.
Continuité — signification ?
Pas de saut ou rupture locale.
Dérivées partielles — définition ?
Limites quand une variable varie, les autres fixes.
Fonction C1 — caractéristique ?
Dérivées partielles continues.
Formule de Taylor-Young — ordre 1 ?
f(p)=f(p0)+∇f(p0)·(p−p0)+o(‖p−p0‖).
Gradient — rôle ?
Indique la direction de croissance maximale.
Dérivée directionnelle — signification ?
Taux de variation dans une direction donnée.
Différentiel total — définition ?
Approximation linéaire locale de la fonction.
Jacobienne — rôle ?
Transforme les dérivées lors du changement de variables.
Théorème de Schwarz — affirmation ?
Dérivées secondes mixtes égales si régulière.
Hessienne — définition ?
Matrice des dérivées secondes.
Laplacien — formule ?
∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² (+ ∂²f/∂z²).
Fonction harmonique — caractéristique ?
Laplacien nul : Δf=0.
Extremum local — condition ?
Gradient nul et signe de la Hessienne.
Hessienne positive — implication ?
Minimum local.
Hessienne négative — implication ?
Maximum local.
Matrice hessienne — rôle ?
Étudier la courbure locale.
Dérivées d’ordre supérieur — intérêt ?
Analyser la courbure et stabilité.
Testez vos connaissances avec un QCM de 12 questions sur Coordonnées et transformations en analyse multivariée.
1. Dans un repère orthonormé direct du plan, comment s’écrivent les coordonnées cartésiennes d’un point à partir de ses coordonnées polaires ?
2. Quelle expression décrit une boule de centre (a,b,c) et de rayon r dans l’espace ?
Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Coordonnées et transformations en analyse multivariée.
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