Fiche de révision : Cours de Modélisation et Probabilités

📋 Plan du Cours

1. Planning de révision
2. Suites géométriques et limites
3. Suites par récurrence
4. Probabilités conditionnelles et arbres
5. Loi binomiale et coefficients binomiaux
6. Vecteurs, droites et plans
7. Étude de fonctions
8. Primitives et programmation Python

📖 1. Planning de révision

🔑 Notions clés & Définitions

• Planning de 14 jours : Organisation de révision sur 14 jours répartissant le travail jusqu’au bac Spécialité mathématiques.
• Jour n : Chaque journée correspond à un exercice précis du document, à faire dans l’ordre de 1 à 14.
• Exercices type Bac : Sujets composés de 2 ou 3 exercices à traiter pour s’entraîner comme le jour J.

📝 Points essentiels

• Le planning se base sur 2 semaines avec 2 ou 3 heures de travail par jour, en plus du travail au lycée.
• Chaque jour, tu attaques le “jour n°1” puis tu continues jusqu’au “jour n°14”, pour traiter 14 sujets au total.
• Au terme des 14 jours, tu auras fait 37 exercices sur 43 proposés dans le document.
• Après ces 14 jours, tu peux faire les exercices restants puis refaire certains exercices déjà faits.
• Enfin, tu t’entraînes sur le sujet complet proposé.

💡 Astuce mémo

De 1 à 14 : 14 sujets, 37 ex faits, puis finition + sujet complet.

📖 2. Suites géométriques et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite dont chaque terme s’obtient à partir du précédent en multipliant par une constante appelée raison.
• Raison : La raison $q$ est le facteur multiplicatif qui relie deux termes consécutifs d’une suite géométrique.
• Somme partielle : La somme partielle $S_n$ est la somme des termes d’une suite sur un intervalle d’indices donné, par exemple $S_n=u_0+u_1+\dots+u_n$.
• Limites de référence : Les limites de référence sont des résultats standard qui permettent de déterminer rapidement les comportements de suites classiques quand $n\to+\infty$.

📝 Points essentiels

• Pour une suite géométrique de raison $q\neq 1$ et de premier terme $u_0$, on a $u_n=u_0q^n$ et $S_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
• Pour une suite géométrique de raison $q\neq 1$ et de premier terme $u_{n_0}$, on a $u_n=u_{n_0}q^{n-n_0}$ et $S_n=u_{n_0}\frac{1-q^{n-n_0+1}}{1-q}$.
• Si $q>1$ alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty$ et si $-1<q<1$ alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=0$.
• Si $q\le -1$, la suite $(q^n)_n$ n’a pas de limite.
• On a $\lim_{n\to+\infty}n=+\infty$, $\lim_{n\to+\infty}\frac1n=0$, $\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{}=+$? (à mémoriser: $\lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty$ et $\lim_{n\to+\infty}\frac1{\sqrt n}=0$).
• Si $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell$ et $u_n\le w_n\le v_n$ avec $\lim_{n\to+\infty}v_n=\ell$, alors $\lim_{n\to+\infty}w_n=\ell$ (théorème des gendarmes).

💡 Astuce mémo

q comme pente: $|q|<1$ vers 0, $q>1$ vers $+\infty$, $q\le-1$ pas de limite.

📖 3. Suites par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de récurrence : Méthode de preuve où l’on montre qu’une propriété est vraie au rang initial, puis qu’elle reste vraie d’un rang au suivant, ce qui donne sa validité pour tous les rangs.
• Suite définie par récurrence : Suite dont chaque terme se calcule à partir du précédent grâce à une relation du type $u_{n+1}=f(u_n)$.
• Point fixe d’une fonction : Nombre  tel que l’égalité f()= soit vérifiée, ce qui correspond souvent à la limite d’une suite $u_{n+1}=f(u_n)$.

📝 Points essentiels

• Pour prouver un encadrement par récurrence, on vérifie d’abord l’inégalité au rang 0 puis on suppose l’encadrement vrai au rang $n$ pour l’obtenir au rang $n+1$ après application de la relation $u_{n+1}=f(u_n)$.
• Si la fonction $f$ est croissante, alors d’un encadrement $a\le u_n\le b$ on déduit un encadrement $f(a)\le u_{n+1}\le f(b)$.
• Dans l’exercice $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0=1/2$ et $f(x)=\frac{5x}{1+4x}$, l’encadrement $\frac12\le u_n\le u_{n+1}\le 2$ implique la convergence puis la limite vérifie $f(\ell)=\ell$, donnant $\ell=1$.
• Avec $u_{n+1}=0,99u_n+150$ et $u_0=10500$, la propriété $u_n\le15000$ est héréditaire car $u_n\le15000\Rightarrow u_{n+1}=0,99u_n+150\le0,99\times15000+150=15000$.
• Avec $u_{n+1}=0,8u_n(1-0,1u_n)$ et $u_0=0,7$, on utilise la croissance de $f$ sur $[0,1]$ pour montrer par récurrence que $0\le u_{n+1}\le u_n\le1$, donc la suite converge et sa limite vaut l’unique solution $f(x)=x$ dans $[0,1]$, ici $0$.
• Si $u_{n+1}=f(u_n)$ et que $u_n\to\ell$ avec $f$ continue, alors en passant à la limite on obtient $\ell=f(\ell)$.

💡 Astuce mémo

Initialiser → Hérédité → Conclure ; puis chercher la limite comme point fixe $\ell=f(\ell)$.

📖 4. Probabilités conditionnelles et arbres

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle exprime la probabilité d’un événement sachant que l’autre événement est déjà réalisé, en réajustant avec le conditionnement.
• Arbre pondéré : Un arbre pondéré organise des événements successifs avec des probabilités sur chaque branche, afin de calculer les probabilités des chemins et des issues finales.
• Probabilités totales : Les probabilités totales donnent la probabilité d’un événement en sommant les contributions de ses réalisations à travers une partition de l’univers.

📝 Points essentiels

• Si P(A)≠0, alors P_A(B)=P(A∩B)/P(A) et on peut aussi écrire P(A∩B)=P(A)×P_A(B).
• Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1 et la probabilité d’un chemin vaut le produit des probabilités des branches.
• La probabilité d’une issue correspond à la somme des probabilités des chemins qui mènent à cette issue.
• Dans l’exercice melon, on a pour n≥1 : p_{n+1}=0,5p_n+0,4 avec p_1=1, ce qui rend la suite décroissante et minorée par 0,8.
• En posant v_n=p_n−0,8, on obtient v_{n+1}=0,5v_n donc p_n=0,8+0,2×(0,5)^{n−1} et lim_{n→+∞} p_n=0,8.
• Dans l’exercice melon, p(A3)=0,85 et p_{A3}(A2)=P(A2∩A3)/P(A3)=0,9×0,9/0,85≈0,95.

💡 Astuce mémo

Point fixe : pour p_{n+1}=0,5p_n+0,4, la limite est la solution ℓ=0,5ℓ+0,4, donc ℓ=0,8.

📖 5. Loi binomiale et coefficients binomiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Une loi binomiale décrit la probabilité que $X$ prenne une valeur égale au nombre de succès obtenu lors de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques de probabilité de succès $p$.
• Coefficient binomial : Un coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est le nombre de chemins correspondant à $k$ succès lors d’un schéma de Bernoulli de $n$ épreuves.
• Schéma de Bernoulli : Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques, avec probabilité de succès $p$ à chaque épreuve.

📝 Points essentiels

• Si $X\sim B(n,p)$, alors pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$, $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
• Dans un schéma de Bernoulli, le coefficient $\binom{n}{k}$ compte les arrangements menant à exactement $k$ succès parmi les $n$ épreuves.
• Avec la calculatrice, le coefficient $\binom{n}{k}$ s’obtient via la commande $nCr$.
• Exemple : pour $n=3$ et $k=2$, on a $\binom{3}{2}=3$ et donc $P(X=2)=3p^2q$ avec $q=1-p$.
• Exemple : avec $n=7$ et $p=\tfrac12$, on utilise $\binom{7}{3}=35$ pour obtenir $P(X=3)=35\times(\tfrac12)^3\times(\tfrac12)^4=\tfrac{35}{128}$.
• Exemple : pour une urne avec $p=\tfrac35$ et $q=\tfrac25$ (3 tirages avec remise), la loi de $X$ vérifie $P(X=0)=q^3=\tfrac{8}{125}$ et $P(X=3)=p^3=\tfrac{27}{125}$.

💡 Astuce mémo

Pense à $\binom{n}{k}$ comme au nombre de “façons d’aligner” $k$ succès : probabilité = façons × $p^k$ × $q^{n-k}$.

📖 6. Vecteurs, droites et plans

📖 7. Étude de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie : Une limite infinie décrit le fait qu’une fonction diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$ quand la variable tend vers une borne.
• Théorème des gendarmes : Un théorème de comparaison où deux fonctions ayant la même limite encadrent une troisième, forçant cette troisième à avoir la même limite.
• Continuité en un point : Une fonction est continue en $a$ quand la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ vaut exactement $f(a)$.
• Théorème des valeurs intermédiaires : Une propriété de continuité qui garantit que toute valeur $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte au moins une fois sur l’intervalle entre $a$ et $b$.
• Convexité via la dérivée seconde : Une fonction dérivable deux fois est convexe quand sa dérivée seconde est non négative sur l’intervalle, et concave quand elle est non positive.

📝 Points essentiels

• Si $\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ et qu’à partir d’un certain rang on a $g(x)\ge f(x)$, alors $\lim_{x\to+\infty} g(x)=+\infty$ (même logique pour $-\infty$ et aussi en $-\infty$ ou vers un réel $a$).
• Si $\lim_{x\to+\infty} f(x)=\ell$ et $\lim_{x\to+\infty} g(x)=\ell$ avec $f(x)\le h(x)\le g(x)$ pour $x$ assez grand, alors $\lim_{x\to+\infty} h(x)=\ell$ (même principe vers une autre borne).
• $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$, ce qui équivaut à continuer en tout point de l’intervalle pour être continue sur l’intervalle.
• Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$, alors pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur $[a,b]$.
• Pour $f=u\circ v$ avec $u,v$ dérivables, on a $f'(x)=v'(x)\,u'(v(x))$.
• Si $f$ est dérivable deux fois et $f''(x)\ge0$ sur $]a,b[$ alors $f$ est convexe sur $]a,b[$ (et si $f''(x)\le0$ alors $f$ est concave), et un point d’inflexion se produit quand $f''$ s’annule en changeant de signe.

📖 8. Primitives et programmation Python

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive d’une fonction : Une primitive sur un intervalle $I$ de la fonction $f$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ de $I$.
• Constante d’intégration : Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors toutes les primitives sur $I$ s’écrivent $F(x)+C$ avec $C$ réelle.
• Somme de primitives : Si $F$ et $G$ sont des primitives respectives de $f$ et $g$ sur $I$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$.
• Fonction binomiale Python : Une fonction qui calcule $P(X=k)$ pour une loi binomiale s’appuie sur la formule avec le coefficient binomial et les puissances de $p$ et $1-p$.

📝 Points essentiels

• Pour prouver qu’une fonction $F$ est une primitive de $f$, on dérive $F$ et on vérifie que l’on retrouve exactement $f$ sur l’intervalle étudié.
• Toutes les primitives de $f$ sur un même intervalle $I$ diffèrent d’une constante : si $F$ est primitive, alors $F+C$ est aussi primitive pour tout $C réel.
• En Python (ex. suites), une stratégie typique consiste à calculer itérativement $u$ puis à s’arrêter dès que la condition demandée sur $u$ est vérifiée.
• Si une suite est géométrique de raison $q$, alors $u_n=u_0q^n$, ce qui permet aussi de déterminer un plus petit rang en résolvant une inéquation sur $u_n$.
• Pour une loi binomiale $X\sim\mathcal{B}(n,p)$, le calcul de $P(X\le k)$ se fait en sommant $P(X=i)$ pour $i=0$ à $k$.
• Dans l’exercice sur $f(x) = x^2$ et des termes en $e^{x^2}$, la méthode consiste à poser une fonction $u(x)$ dans l’exposant puis à dériver $u$ pour faire apparaître $u'(x)e^{u(x)}$.

💡 Astuce mémo

Primitive = antidérivée : vérifier $F'(x)=f(x)$, puis ajouter « +C » pour obtenir toutes les primitives.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Limites d’une suite géométrique (raison q)

Convergence via suites monotones

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre théorème des gendarmes (encadrement entre deux suites) et comparaison simple : il faut que les deux limites soient les mêmes.
2. Oublier que pour une suite géométrique il faut q≠1 pour utiliser u_n=u0 q^n et la formule de S_n correspondante.
3. Croire qu’un point fixe f(ℓ)=ℓ donne directement la limite : il faut d’abord prouver la convergence de (u_n).
4. Mélanger probabilités conditionnelles : P_A(B)=P(A∩B)/P(A) et donc P(A∩B)=P(A)×P_A(B).
5. Confondre incompatibilité et indépendance : incompatibles si A∩B=∅, indépendants si P(A∩B)=P(A)P(B).
6. Dans une loi binomiale, se tromper entre k succès et n−k échecs : P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n-k}.
7. En géométrie, confondre vecteur directeur d’une droite et vecteur normal d’un plan : pour un plan, on utilise ax+by+cz+d=0 et le produit scalaire avec un normal.

✅ Checklist Examen

1. Planning : savoir que le jour n correspond à l’exercice indiqué et que l’enchaînement vise 14 sujets puis finition+un sujet complet.
2. Suites géométriques : reconnaître u_n=u0 q^n (q≠1) et calculer S_n=u0(1−q^{n+1})/(1−q).
3. Limites de références : mémoriser lim n=+∞, lim 1/n=0, lim q^n selon q>1, -1<q<1, et le cas q≤-1.
4. Inégalités/ comparaison : utiliser le théorème de comparaison et le théorème des gendarmes avec deux limites égales.
5. Convergence monotone : prouver croissante+majorée ou décroissante+minorée pour conclure à la convergence.
6. Raisonnement par récurrence : appliquer Initialisation → Hérédité → Conclusion pour un encadrement ou une propriété.
7. Suites définies par récurrence : une fois la convergence obtenue, résoudre la limite comme point fixe ℓ=f(ℓ).
8. Probabilités conditionnelles/arbres : utiliser P(A∩B)=P(A)×P_A(B) et la règle somme=1 sur chaque nœud.
9. Probabilités totales : écrire P(event)=sommes sur une partition de l’univers (chemins qui mènent à l’issue).
10. Loi binomiale : identifier le couple (n,p), puis calculer P(X=k) via C(n,k)p^k(1−p)^{n-k} et interpréter avec Bernoulli.
11. Vecteurs/droites/plans : utiliser produit scalaire pour normal à un plan, et représentation paramétrique x=x0+ka, y=y0+kb, z=z0+kc.
12. Fonctions : maîtriser limites, TVI et continuité, dérivée de fonctions composées, et convexité via f''.
13. Convexité/inflexion : déterminer où f'' change de signe pour localiser le point d’inflexion et donner ses coordonnées.
14. Primitives : vérifier F'(x)=f(x) pour prouver qu’une fonction est une primitive, puis ajouter la constante +C.