QCM : Cours de Modélisation et Probabilités — 16 questions

Explication

Chaque jour correspond à un exercice précis du document, à faire dans l’ordre de 1 à 14. Le planning organise donc le travail sujet par sujet, et non par semaines ou par chapitre.

Explication

Le planning indique qu’au bout des 14 jours, 37 exercices sur 43 auront été faits. Les exercices restants sont ensuite à terminer ou à refaire avant le sujet complet.

Explication

Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, on a bien u_n = u_0 q^n lorsque q est différent de 1. Les autres expressions correspondent à des formes non géométriques.

Explication

Lorsque -1 < q < 1, les puissances q^n convergent vers 0. En revanche, si q ≤ -1, la suite n’a pas de limite.

Explication

Une preuve par récurrence commence par montrer que la propriété est vraie au rang initial. On établit ensuite l’hérédité pour passer de n à n+1.

Explication

Quand la suite converge vers ℓ et que f est continue, on peut passer à la limite dans la relation de récurrence, ce qui donne ℓ = f(ℓ). C’est la recherche du point fixe.

Explication

La probabilité conditionnelle se calcule par P_A(B)=P(A∩B)/P(A) lorsque P(A)≠0. On peut donc aussi écrire P(A∩B)=P(A)×P_A(B).

Explication

La probabilité d’un chemin dans un arbre pondéré est le produit des probabilités portées par les branches successives. La somme intervient plutôt pour obtenir la probabilité d’une issue à partir de plusieurs chemins.

Explication

Pour une loi binomiale, la probabilité de k succès parmi n épreuves indépendantes est P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}. Le coefficient binomial compte le nombre de façons d’obtenir ces k succès.

Explication

Le coefficient binomial C(n,k) compte le nombre de chemins correspondant à exactement k succès parmi n épreuves. Ce n’est pas une probabilité, mais un nombre d’arrangements possibles.

Explication

Le triplet (a,b,c) définit un vecteur normal au plan dans l’équation ax+by+cz+d=0. Ce n’est pas un vecteur directeur, car celui-ci sert plutôt à décrire une droite.

Explication

Une droite de l’espace se décrit par un point et un vecteur directeur, ce qui donne des égalités du type x=x0+ka, y=y0+kb, z=z0+kc. La forme ax+by+cz+d=0 décrit un plan, pas une droite.

Explication

Le théorème des valeurs intermédiaires assure qu’une fonction continue prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b) sur l’intervalle. Il ne dit ni qu’elle est dérivable partout, ni qu’elle est monotone.

Explication

Quand f''(x) est positive sur un intervalle, la fonction est convexe sur cet intervalle. Si f''(x) est négative, on obtient au contraire une fonction concave.

Explication

Pour établir qu’une fonction est une primitive, il faut dériver F et retrouver exactement f. La continuité seule ne suffit pas, car une primitive doit vérifier F'(x)=f(x).

Explication

Toutes les primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante : si F est une primitive, alors F(x)+C l’est aussi. C’est pourquoi la constante d’intégration apparaît dans la famille des primitives.