Fiche de révision : Des ondes lumineuses à l’optique géométrique

📋 Plan du Cours

1. Histoire et nature de la lumière
2. Ondes et spectre électromagnétiques
3. Sources et récepteurs lumineux
4. Propagation et milieux matériels
5. Rayon lumineux et diffraction
6. Lois de Snell-Descartes
7. Réflexion totale et fibre optique
8. Dispersion dans les fibres optiques
9. Prismes et milieux non homogènes
10. Mirages et gradients d’indice
11. Miroir plan et catadioptre
12. Miroirs tournants
13. Dioptre plan

📅 Repères chronologiques

1. 1621Snell découvre les lois de la réfraction, puis Descartes les retrouve et les publie indépendamment en 1637.
2. 1621Snell établit les lois, puis Descartes les retrouve indépendamment en 1637.
3. 1657Fermat retrouve les lois de la réfraction à partir du principe du temps minimal.

📖 1. Histoire et nature de la lumière

★ À maîtriser

📌 La lumière possède une double nature : elle est ondulatoire, comme le proposent Hooke, Huygens, Young et Fresnel, et corpusculaire, comme le défend Newton puis le réintroduit Einstein.

📐 Formule — Maxwell identifie la lumière à une onde électromagnétique transversale qui se propage dans le vide à la vitesse $c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\simeq 3{,}00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.

📐 Formule — L’énergie d’un photon est donnée par $E=h\nu$, où h est la constante de Planck et ν la fréquence de l’onde électromagnétique. — EINSTEIN, 1905

Compléments

• Au Ier siècle, les Grecs connaissaient les lois de la réflexion par un miroir, et Héron d’Alexandrie formulait l’idée que le rayon lumineux suit le plus court chemin entre la source, le miroir et le point d’arrivée. — HERO d’ALEXANDRIE

💡 Astuce mémo

Réflexion, réfraction, onde, photon : quatre étapes historiques vers la dualité.

📖 2. Ondes et spectre électromagnétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde électromagnétique : Propagation couplée d’un champ électrique E et d’un champ magnétique B, sans support matériel, ces champs étant transverses et perpendiculaires à la direction de propagation.
• Spectre électromagnétique : Représentation, sur un axe gradué en longueur d’onde ou en fréquence, de la répartition des ondes électromagnétiques.

★ À maîtriser

📐 Formule — La longueur d’onde dans le vide et la période sont liées par $\lambda_0=cT$, tandis que dans un milieu la relation devient $\lambda=vT$.

• Le domaine visible correspond approximativement à $400\ \mathrm{nm}<\lambda_0<800\ \mathrm{nm}$, soit environ une fréquence de l’ordre de $10^{14}\ \mathrm{Hz}$.

Compléments

• La lumière comprend les ondes électromagnétiques dont la longueur d’onde dans le vide appartient à l’ensemble ultraviolet, visible et infrarouge.

💡 Astuce mémo

Onde mécanique = support matériel ; onde électromagnétique = champs E et B.

📖 3. Sources et récepteurs lumineux

🔑 Notions clés & Définitions

• Source primaire : Produit elle-même la lumière qu’elle émet, comme le Soleil, le feu ou une ampoule.
• Corps noir : Absorbe sans réfléchir ni diffuser toute l’énergie électromagnétique reçue et réémet une énergie électromagnétique qui dépend de sa température.

★ À maîtriser

📌 Une source ponctuelle émet dans toutes les directions mais paraît provenir d’un seul point, tandis qu’une source étendue émet depuis une surface plus grande qu’un point.

📌 La loi de Wien indique que tout corps incandescent maintenu à une température T émet un spectre continu dont le maximum d’énergie correspond à une longueur d’onde λmax telle que $\lambda_{max}T=\mathrm{constante}$.

• Dans une lampe spectrale, une décharge électrique excite les atomes du gaz, puis leur retour vers des niveaux d’énergie inférieurs produit des photons de longueurs d’onde déterminées.

📐 Formule — Lorsqu’un électron passe du niveau E2 au niveau E1, le photon émis possède l’énergie $E=E_2-E_1$ et la longueur d’onde $\lambda=\frac{hc}{E_2-E_1}$.

• Un laser He-Ne fonctionne par émission stimulée et produit un rayonnement monochromatique de longueur d’onde λ=632,8 nm, avec un faisceau très directif et une puissance de l’ordre de 1 mW.

Compléments

• Les trois types principaux de sources lumineuses du laboratoire sont:
  • les lampes à incandescence
  • les lampes à décharge
  • les lasers

💡 Astuce mémo

Source primaire produit la lumière ; source secondaire la réfléchit ou la diffuse.

📖 4. Propagation et milieux matériels

🔑 Notions clés & Définitions

• Dispersion : Milieu dans lequel l’indice de réfraction n dépend de la longueur d’onde dans le vide λ0.
• Milieu LHTI : Transparent, linéaire, homogène et isotrope, ce milieu laisse la lumière se propager en ligne droite dans toutes les directions avec la vitesse $v=\frac{c}{n}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un milieu matériel, la vitesse de propagation vérifie $v=\frac{c}{n}$ et la longueur d’onde vérifie $\lambda=\frac{\lambda_0}{n}$.

Compléments

📐 Formule — La relation de dispersion de Cauchy s’écrit $n=A+\frac{B}{\lambda_0^2}$.

• L’indice de l’air sec dans les conditions normales vaut 1,000293 et est considéré comme quasi invariant pour toutes les longueurs d’onde.

💡 Astuce mémo

Dans un milieu LHTI, la propagation est Linéaire, Homogène, Transparente et Isotrope.

📖 5. Rayon lumineux et diffraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Rayon lumineux : Droite idéalisée représentant la trajectoire de l’énergie lumineuse lorsque la diffraction est négligée.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une onde de longueur d’onde λ traversant une fente de largeur a, la tache centrale de diffraction est déviée dans un cône de demi-angle θ vérifiant $\sin\theta=\frac{\lambda}{a}$.

📌 La propagation rectiligne est une bonne approximation dans un milieu homogène et isotrope lorsque la longueur d’onde dans le vide λ0 est suffisamment faible devant la dimension caractéristique a des obstacles.

Compléments

• Pour a=0,1 mm, λ=500 nm et L=1 m, l’approximation des petits angles donne θ≈5×10^-3 rad et une tache de diffraction de diamètre d≈1 cm.

📌 Le trajet suivi par la lumière est indépendant du sens de propagation, conformément au principe du retour inverse de la lumière.

💡 Astuce mémo

Ouverture réduite → diffraction accrue ; grande longueur d’onde devant l’obstacle → propagation non rectiligne.

📖 6. Lois de Snell-Descartes

🔑 Notions clés & Définitions

• Dioptre : Surface séparant deux milieux homogènes et isotropes, sur laquelle un rayon incident peut donner un rayon réfléchi et un rayon réfracté.

★ À maîtriser

📌 Le rayon incident, le rayon réfléchi, le rayon réfracté et la normale au dioptre au point d’incidence sont dans un même plan.

📐 Formule — Pour la réflexion, les angles orientés vérifient $i'=-i$, tandis que les angles non orientés vérifient $i'=i$.

📐 Formule — Pour chaque lumière monochromatique, la réfraction obéit à la relation $n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$.

Compléments

• Une incidence rasante correspond à i1≈±π/2, tandis qu’une incidence normale correspond à i1=0 et entraîne i2=0.

💡 Astuce mémo

Plan d’incidence, réflexion, réfraction : les trois lois s’enchaînent.

📖 7. Réflexion totale et fibre optique

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle d’acceptance : Valeur maximale de l’angle d’incidence permettant au rayon réfracté de rester guidé dans le cœur.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Lors d’un passage d’un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent, avec n1<n2, l’angle limite de réfraction vaut $\ell=\arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\right)$ et l’angle réfracté vérifie |i2|≤ℓ.

📐 Formule — Lors d’un passage d’un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent, avec n1>n2, l’angle de réflexion totale vaut $\ell'=\arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$.

📌 Si n1>n2 et si l’angle d’incidence vérifie i1>ℓ′, aucun rayon réfracté n’existe et la lumière subit une réflexion totale vers le milieu 1.

• Dans une fibre optique, la propagation du signal lumineux se fait dans le cœur et repose sur la réflexion totale à l’interface entre le cœur d’indice n1 et la gaine d’indice n2 inférieur à n1.

📌 Dans une fibre à saut d’indice, l’atténuation diminue l’amplitude du signal avec la longueur de la fibre, tandis que la dispersion élargit les impulsions au cours de leur propagation.

💡 Astuce mémo

Milieu plus réfringent vers moins réfringent + incidence suffisante → réflexion totale et guidage.

📖 8. Dispersion dans les fibres optiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Dispersion intermodale : Élargissement des impulsions lumineux provoqué par la propagation de différents modes selon des trajectoires différentes dans une fibre à saut d’indice.

★ À maîtriser

• Dans une fibre à saut d’indice, l’énergie lumineuse injectée à l’entrée est répartie entre différents modes qui se propagent dans le cœur à la vitesse commune $v_m = \frac{c}{n_1}$.

• La capacité de transmission d’une fibre est limitée par l’atténuation de l’amplitude du signal et par la dispersion qui déforme le signal à transmettre.

Compléments

📌 La dispersion chromatique s’ajoute à la dispersion intermodale parce que l’indice du cœur dépend de la longueur d’onde, selon n(λ).

📌 Pour limiter la dispersion, on utilise des fibres monomodes ou des fibres à gradient d’indice.

💡 Astuce mémo

Trajectoires différentes → impulsion élargie → transmission limitée

📖 9. Prismes et milieux non homogènes

🔑 Notions clés & Définitions

• Prisme à réflexion totale : Prisme de verre ordinaire dont la section droite est un triangle rectangle isocèle et qui dévie un rayon lumineux de $\frac{\pi}{2}$ ou de $\pi$.
• Fibre à gradient d’indice : Cœur dans lequel l’indice croît continûment lorsqu’on s’éloigne de l’axe de symétrie.

★ À maîtriser

• Dans un milieu formé de couches d’indices décroissant vers le haut, le rayon est réfracté à chaque interface, son angle d’incidence augmente, puis une réflexion totale peut le renvoyer vers les couches inférieures.

📌 Dans une fibre à gradient d’indice, la lumière est guidée dans la fibre et intégralement transmise si le rayon de courbure de celle-ci n’est pas trop petit.

Compléments

• L’utilisation de fibres pour éclairer et de fibres pour regarder permet à un médecin d’examiner l’intérieur de l’estomac, selon une technique appelée endoscopie.

💡 Astuce mémo

Indice décroissant vers le haut : réfraction puis réflexion totale

📖 10. Mirages et gradients d’indice

🔑 Notions clés & Définitions

• Mirage froid : Peut rendre visibles des bateaux ou des îles très éloignés, voire situés derrière l’horizon, lorsque les rayons suivent la courbure locale de la mer.

★ À maîtriser

📌 L’indice de l’air augmente avec sa masse volumique selon la relation $\frac{n-1}{\rho}=\text{constante}$, tandis que la masse volumique de l’air décroît lorsque sa température augmente.

• Dans un mirage chaud ou inférieur, l’air est plus chaud près du sol, l’indice augmente avec l’altitude, les rayons dirigés vers le bas peuvent subir une réflexion totale puis être renvoyés vers l’observateur.

Compléments

• Dans un mirage chaud, l’observateur reçoit la lumière selon la tangente à OA’ et peut croire voir une nappe d’eau en A’, alors que A est un coin de ciel bleu.

• Pour observer un mirage froid, la température de l’air doit généralement varier d’au moins quelques degrés sur environ un mètre au-dessus de la surface.

💡 Astuce mémo

Température → masse volumique → indice → courbure des rayons

📖 11. Miroir plan et catadioptre

🔑 Notions clés & Définitions

• Miroir plan : Dioptre dont la surface est plane et qui réfléchit totalement la lumière incidente.
• Catadioptre : Dispositif rétroréfléchissant qui renvoie les rayons lumineux vers l’émetteur, généralement pour rendre visibles un véhicule ou un obstacle dans l’obscurité.

★ À maîtriser

📌 L’image d’un point donnée par un miroir plan est le symétrique du point objet par rapport au plan du miroir et constitue une image virtuelle située là où semblent se croiser les rayons émergents.

• Pour construire un rayon émergent d’un miroir plan, on construit d’abord le point image symétrique, puis on trace un rayon incident, la droite pointillée reliant le point image au point d’impact, et enfin on prolonge cette droite comme rayon lumineux.

• Dans un catadioptre formé de trois miroirs perpendiculaires, la lumière est réfléchie successivement par le premier, le deuxième puis le troisième miroir avant de revenir vers l’émetteur parallèlement au rayon incident.

Compléments

• Le pouvoir réflecteur R est le rapport de la quantité de lumière réfléchie sur la quantité de lumière incidente et varie avec l’angle d’incidence pour certaines surfaces transparentes.

• Pour certains métaux ou alliages polis, le pouvoir réflecteur est de l’ordre de 0,9 même pour un angle d’incidence nul.

💡 Astuce mémo

Le point image se trouve derrière le miroir, par symétrie

📖 12. Miroirs tournants

📝 Points essentiels

• La réflexion sur un miroir inverse la coordonnée du vecteur rayon selon l’axe orthogonal au plan du miroir, ce qui inverse le sens de propagation selon cet axe.

📖 13. Dioptre plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Dioptre plan : Surface plane de séparation entre deux milieux transparents réfractant la lumière.

📝 Points essentiels

📌 Le cours distingue l’étude du dioptre plan en incidence quelconque de celle en incidence quasi-normale, chacune faisant l’objet de formules de conjugaison spécifiques.

📊 Tableaux de synthèse

Types de sources lumineuses

Comparaison des types de fibres