Fiche de révision : Trigonométrie du cercle aux équations

📋 Plan du Cours

1. Repérage dans le triangle rectangle
2. Rapports trigonométriques fondamentaux
3. Enroulement de la droite graduée
4. Cercle trigonométrique et radians
5. Équations trigonométriques
6. Angles de vecteurs

📖 1. Repérage dans le triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : le côté situé en face de l’angle droit

📝 Points essentiels

📌 Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle aigu relie cet angle à l’angle droit, tandis que le côté opposé est en face de cet angle aigu.

💡 Astuce mémo

Adjacent touche l’angle, opposé lui fait face, hypoténuse fait face à l’angle droit.

📖 2. Rapports trigonométriques fondamentaux

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un triangle rectangle, $\cos(\text{angle})=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\sin(\text{angle})=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$ et $\tan(\text{angle})=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.

• Pour calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle, on identifie les données connues, on choisit le rapport trigonométrique adapté, puis on isole l’inconnue.

💡 Astuce mémo

SOH-CAH-TOA : Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent.

📖 3. Enroulement de la droite graduée

★ À maîtriser

• Le cercle utilisé pour l’enroulement est centré sur l’origine et possède un rayon égal à 1.

Compléments

📌 En parcourant le cercle de A vers B, les graduations sont positives et croissantes, tandis qu’en allant de A vers B’ elles sont négatives et décroissantes.

📐 Formule — La longueur du cercle unité est $L=2\pi R=2\pi$.

💡 Astuce mémo

Une droite graduée s’enroule indéfiniment autour d’un cercle unité.

📖 4. Cercle trigonométrique et radians

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : le cercle de centre l’origine du repère et de rayon 1
• Plan orienté : un plan dans lequel les cercles sont orientés dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, appelé sens trigonométrique ou sens direct

📝 Points essentiels

📌 Sur le cercle trigonométrique, $\cos(x)$ est l’abscisse du point associé à x et $\sin(x)$ en est l’ordonnée.

📐 Formule — Pour tout réel x, $-1\leq\cos(x)\leq 1$ et $-1\leq\sin(x)\leq 1$.

📌 Un angle possède une infinité de mesures en radians, obtenues en ajoutant ou en retranchant $k\times2\pi$ avec $k\in\mathbb Z$, et sa mesure principale appartient à l’intervalle $]-\pi;\pi]$.

📐 Formule — Un tour de cercle correspond à 360° et à $2\pi$ radians, donc $360°=2\pi$ radians.

💡 Astuce mémo

Sur le cercle, le cosinus est l’abscisse et le sinus l’ordonnée.

📖 5. Équations trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel x, la relation fondamentale de la trigonométrie est $[\cos(x)]^2+[\sin(x)]^2=1$.

📌 Pour tous réels a et b, $\cos(a)=\cos(b)$ si et seulement si $a=b\ (2\pi)$ ou $a=-b\ (2\pi)$.

Compléments

📌 La tangente vérifie $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ si $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$, et $\tan(\frac{\pi}{2}+k\pi)$ n’existe pas pour tout entier relatif k.

💡 Astuce mémo

Identifier une valeur classique, appliquer la propriété de symétrie, puis isoler x.

📖 6. Angles de vecteurs

★ À maîtriser

📌 Pour tous vecteurs non nuls u, v et w, la relation de Chasles est $({\vec u};{\vec v})+({\vec v};{\vec w})=({\vec u};{\vec w})\ (2\pi)$.

Compléments

📌 Pour tout vecteur non nul u, $({\vec u};{\vec u})=0\ (2\pi)$ et $(-{\vec u};{\vec u})=({\vec u};-{\vec u})=\pi\ (2\pi)$.

📌 Pour tous vecteurs non nuls u et v, $({\vec u};{\vec v})=-({\vec v};{\vec u})\ (2\pi)$ et $(-{\vec u};-{\vec v})=({\vec u};{\vec v})\ (2\pi)$.

💡 Astuce mémo

Même vecteur : 0 ; vecteur opposé : π ; enchaînement : relation de Chasles.

📊 Tableaux de synthèse

Valeurs trigonométriques classiques