Fiche de révision : Écritures et calculs numériques

📋 Plan du Cours

1. Écriture décimale
2. Écriture fractionnaire
3. Écriture scientifique
4. Priorités de calcul

📖 1. Écriture décimale

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture décimale : Représente un nombre sous la forme d’un nombre à virgule comportant un nombre fini de chiffres après la virgule, appelés décimales.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Ajouter ou supprimer des zéros à la fin d’une écriture décimale ne change pas sa valeur, comme dans 2,5 = 2,50 = 2,5000.

📌 Le nombre π n’a pas d’écriture décimale exacte, car son développement comporte une infinité de décimales non périodiques.

Compléments

• Un entier comme 4 possède une écriture décimale, par exemple 4,0 ou 4,00.

💡 Astuce mémo

Zéros finaux = même valeur

📖 2. Écriture fractionnaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture fractionnaire : Pour deux nombres a et b tels que b ≠ 0, l’écriture a/b représente le quotient de a par b, c’est-à-dire le résultat de la division a ÷ b.
• Fraction : Une écriture a/b dans laquelle a et b sont des entiers et b ≠ 0.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Tout nombre à écriture décimale finie peut s’écrire comme une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1000 ou une autre puissance de 10.

📌 Un nombre admet une écriture fractionnaire si et seulement si son écriture décimale est finie ou illimitée périodique.

Compléments

• Pour convertir 0,75 en fraction, on écrit 0,75 = 75/100 = 3/4 en simplifiant le numérateur et le dénominateur par 25.

🔄 Processus — Si x = 0,3333…, alors 10x = 3,3333…, donc 10x − x = 3, 9x = 3 et x = 1/3.

💡 Astuce mémo

Dénominateur ≠ 0

📖 3. Écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : L’écriture scientifique d’un nombre non nul est de la forme a × 10ⁿ, où n est un entier relatif et 1 ≤ a < 10 pour un nombre positif, ou −10 < a ≤ −1 pour un nombre négatif.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Chaque nombre décimal non nul possède une écriture scientifique unique.

🔄 Processus — Dans l’écriture scientifique, un exposant n positif correspond à un déplacement de la virgule vers la droite, tandis qu’un exposant n négatif correspond à un déplacement vers la gauche.

Compléments

• 312,8 s’écrit 3,128 × 10², car la virgule est déplacée de deux rangs vers la gauche.

• −0,00056 s’écrit −5,6 × 10⁻⁴, car la virgule est déplacée de quatre rangs vers la droite.

💡 Astuce mémo

1 ≤ a < 10

📖 4. Priorités de calcul

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Pour calculer une expression, on effectue successivement les calculs entre parenthèses, les puissances, les multiplications et divisions de gauche à droite, puis les additions et soustractions de gauche à droite.

• Dans 40 ÷ 5 × 2, on calcule de gauche à droite : (40 ÷ 5) × 2 = 8 × 2 = 16.

Compléments

• 🔄 Processus :
  1. Pour A = 20 − 4 × (15 ÷ 3 + 2²), on calcule d’abord 2² = 4
  2. la parenthèse qui vaut 9
  3. 4 × 9 = 36, et enfin A = 20 − 36 = −16

💡 Astuce mémo

Parenthèses, puissances, ×÷, +−

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Une écriture approchée comme π ≈ 3,14 n’est pas une écriture décimale exacte.
2. Une écriture fractionnaire n’est pas nécessairement une fraction au sens strict.
3. Une écriture comme 27 × 10³ n’est pas scientifique, car le coefficient 27 n’est pas compris entre 1 et 10.
4. Les multiplications et divisions ont le même niveau de priorité et se calculent de gauche à droite.
5. Une approximation décimale finie de π ne constitue pas son écriture exacte.
6. Le dénominateur d’une fraction ne peut jamais être nul.
7. Le signe de l’exposant indique le sens du déplacement, et non le signe du nombre.