Fiche de révision : Électrostatique et gravitation

📋 Plan du Cours

1. Champ et potentiel électrostatiques
2. Loi de Coulomb et superposition
3. Distributions continues de charges
4. Symétries et invariances
5. Lignes de champ et équipotentielles
6. Circulation et équations locales
7. Flux et théorème de Gauss
8. Équations de Poisson et Laplace
9. Calculs par symétrie
10. Énergie électrostatique
11. Interaction gravitationnelle

📖 1. Champ et potentiel électrostatiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ électrostatique : Indépendant du temps, il modélise la modification des propriétés de l’espace engendrée par une distribution de charges immobiles.
• Potentiel électrostatique : Une grandeur créée par les charges sources et reliée au champ par $\vec E=-\operatorname{grad}V$.

★ À maîtriser

📌 Une charge test q' placée en M dans un champ électrostatique E(M) subit la force de Lorentz $\vec F_L=q'\vec E(M)$.

Compléments

• Le potentiel s’exprime en volts et le champ électrostatique s’exprime en volts par mètre.

💡 Astuce mémo

Le champ agit par une force, le potentiel mesure une énergie par charge

📖 2. Loi de Coulomb et superposition

📝 Points essentiels

• En 1785, Charles Augustin Coulomb énonce la loi donnant la force d’interaction entre deux charges ponctuelles.

📐 Formule — La force exercée par une charge ponctuelle q sur une charge test q' séparée par la distance r vaut $\vec F_{P\to M}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qq'}{r^2}\vec u_{P\to M}$.

📐 Formule — Le champ créé par une charge ponctuelle q située en P vaut $\vec E_P(M)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\vec u_r$.

📌 Le théorème de superposition impose que le champ total soit la somme vectorielle des champs individuels et que le potentiel total soit la somme des potentiels individuels.

💡 Astuce mémo

Charge source → champ → force sur la charge test

📖 3. Distributions continues de charges

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité volumique : Définie par $\rho=\frac{dq}{d\tau}$ et s’exprime en C m−3.
• Densité superficielle : Définie par $\sigma_S=\frac{dq}{dS}$ et s’exprime en C m−2.
• Densité linéique : Définie par $\lambda=\frac{dq}{dl}$ et s’exprime en C m−1.

📝 Points essentiels

📌 Pour une distribution continue, la charge élémentaire s’écrit $dq=\rho\,d\tau=\sigma_S\,dS=\lambda\,dl$ selon le type de distribution.

💡 Astuce mémo

VSL : volumique, superficielle, linéique

📖 4. Symétries et invariances

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan de symétrie : Associe à tout point P un point P' symétrique portant la même charge élémentaire, $dq(P')=dq(P)$.
• Plan d’antisymétrie : Associe à tout point P un point P' symétrique portant une charge élémentaire opposée, $dq(P')=-dq(P)$.

📝 Points essentiels

📌 Si une distribution est invariante par translation ou rotation, le champ possède la même invariance correspondante.

💡 Astuce mémo

Symétrie : champ réfléchi ; antisymétrie : champ opposé

📖 5. Lignes de champ et équipotentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ligne de champ : Une ligne de champ est une courbe dont la tangente en chaque point M est parallèle au vecteur champ électrostatique E(M).

• Équipotentielle : Une équipotentielle est l’ensemble des points où le potentiel électrostatique est constant.

★ À maîtriser

📌 Les lignes de champ électrostatique et les équipotentielles sont perpendiculaires à leurs points d’intersection.

Compléments

• Le long d’un tube de champ, le flux se conserve : lorsque le tube se resserre, la norme du champ augmente, et lorsqu’il s’évase, elle diminue.

💡 Astuce mémo

Le champ suit les potentiels décroissants, les équipotentielles les coupent à angle droit

📖 6. Circulation et équations locales

★ À maîtriser

📐 Formule — Le champ électrostatique vérifie localement $\operatorname{rot}\vec E=0$.

📌 La circulation du champ électrostatique sur tout contour fermé est nulle.

Compléments

📐 Formule — Entre deux points A et B, la circulation du champ vaut $\int_A^B\vec E\cdot d\vec l=V_A-V_B$ et elle est indépendante du chemin suivi.

💡 Astuce mémo

Potentiel → gradient → rotationnel nul → circulation conservative

📖 7. Flux et théorème de Gauss

★ À maîtriser

📐 Formule — Le théorème de Gauss donne le flux du champ à travers une surface fermée par $\Phi_E=\oint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$.

📐 Formule — L’équation locale de Maxwell-Gauss est $\operatorname{div}\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$.

Compléments

• Dans le vide, où la densité volumique de charges est nulle, le champ électrique est à flux conservatif.

💡 Astuce mémo

Charge intérieure → flux électrique ; absence de charge → flux conservé

📖 8. Équations de Poisson et Laplace

★ À maîtriser

📐 Formule — Le potentiel électrostatique vérifie l’équation de Poisson $\Delta V+\frac{\rho}{\varepsilon_0}=0$.

📐 Formule — Dans le vide, le potentiel électrostatique vérifie l’équation de Laplace $\Delta V=0$.

Compléments

📌 Les équations de Poisson et de Laplace doivent être complétées par des conditions aux limites sur le potentiel.

💡 Astuce mémo

Charges présentes : Poisson ; vide : Laplace

📖 9. Calculs par symétrie

★ À maîtriser

• 🔄 Le calcul par symétrie suit trois étapes:
  1. Étudier les symétries et invariances
  2. Appliquer le théorème de Gauss avec une surface adaptée
  3. Calculer le potentiel par intégration du champ

📐 Formule — Pour un plan infini uniformément chargé de densité superficielle sigma, le champ de chaque côté vaut $\vec E=\pm\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec u_z$.

📐 Formule — La capacité d’un condensateur plan idéal de surface S et d’écartement e vaut $C=\varepsilon_0\frac{S}{e}$.

📐 Formule — Pour un fil infini de densité linéique lambda, le champ électrostatique vaut $\vec E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\vec u_r$.

Compléments

📐 Formule — À l’extérieur d’une sphère uniformément chargée en volume, le champ est celui d’une charge ponctuelle totale Q placée au centre, $\vec E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\vec u_r$.

💡 Astuce mémo

Symétries → Gauss → champ → potentiel

📖 10. Énergie électrostatique

★ À maîtriser

📐 Formule — L’énergie potentielle d’une charge q placée dans un potentiel V vaut $E_p=qV$.

📐 Formule — L’énergie électrostatique d’un condensateur vaut $W_E=\frac12 QU=\frac12 CU^2$.

📐 Formule — La densité volumique d’énergie électrostatique vaut $w_E=\frac12\varepsilon_0E^2$.

Compléments

📐 Formule — L’énergie électrostatique d’une sphère uniformément chargée en volume vaut $W_E=\frac35\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0R}$.

💡 Astuce mémo

Champ électrique → densité d’énergie → énergie totale

📖 11. Interaction gravitationnelle

★ À maîtriser

• En 1687, Isaac Newton énonce la loi de gravitation universelle.

📐 Formule — La force gravitationnelle entre deux masses ponctuelles vaut $\vec F_g=-G\frac{mm'}{r^2}\vec u_r$ et elle est toujours attractive.

📐 Formule — Le potentiel gravitationnel créé par une masse m vaut $\varphi_g=-\frac{Gm}{r}$ et le champ vérifie $\vec A_g=-\operatorname{grad}\varphi_g$.

📐 Formule — L’énergie gravitationnelle d’un astre sphérique homogène de masse M et de rayon R vaut $W_G=-\frac35\frac{GM^2}{R}$.

Compléments

📐 Formule — L’équation locale gravitationnelle analogue à Maxwell-Gauss est $\operatorname{div}\vec A_g=-4\pi G\mu$.

💡 Astuce mémo

Charges : attraction ou répulsion ; masses : attraction seulement

📊 Tableaux de synthèse

Analogies électrostatique gravitation