Fiche de révision : Ensembles de nombres et calculs

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et relatifs
2. Nombres décimaux et rationnels
3. Parties entière et décimale
4. Inclusions et nombres non décimaux

📖 1. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre entier naturel : nombre entier positif ou nul, comme 0, 1, 2 et 3
• Nombre entier relatif : nombre entier positif, négatif ou nul, comme -3, -2, -1, 0, 1, 2 et 3

★ À maîtriser

• L’ensemble des entiers naturels est noté N et l’ensemble des entiers relatifs est noté Z.

Compléments

• Le nombre 1 appartient aux ensembles N et Z, ce qui se note 1 ∈ N et 1 ∈ Z.

💡 Astuce mémo

N contient les entiers naturels positifs ou nuls, tandis que Z ajoute les entiers négatifs.

📖 2. Nombres décimaux et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^k}$, avec a entier et k entier naturel
• Nombre rationnel : nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{p}{q}$, avec p entier et q entier non nul

★ À maîtriser

• L’ensemble des nombres décimaux est noté D et l’ensemble des nombres rationnels est noté Q.

Compléments

• Le nombre 0,4 est décimal car $0{,}4=\frac{4}{10^2}$ et il est aussi rationnel puisqu’il s’écrit comme une fraction.

• Le nombre 2 est décimal et rationnel car $2=\frac{2}{1}=\frac{2}{10^0}$.

💡 Astuce mémo

Écriture décimale finie → D ; écriture en fraction → Q.

📖 3. Parties entière et décimale

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : plus petit entier qui le borne dans l’intervalle formé par deux entiers consécutifs
• Partie décimale : différence entre ce nombre et sa partie entière, et elle est inférieure à 1

📝 Points essentiels

• Le nombre 7,14 a pour partie entière 7 et pour partie décimale 0,14.

💡 Astuce mémo

La partie entière compte les unités, tandis que la partie décimale est le reste inférieur à 1.

📖 4. Inclusions et nombres non décimaux

★ À maîtriser

📌 Tout nombre entier est décimal et tout nombre décimal est rationnel, ce qui donne les inclusions Z ⊂ D ⊂ Q.

• Le nombre 1/3 n’est pas décimal.

Compléments

• Pour montrer par l’absurde que 1/3 n’est pas décimal, on suppose qu’il s’écrit $\frac{a}{10^k}$, puis l’égalité des produits en croix donne $3a=10^k$, ce qui ferait de $10^k$ un multiple de 3, contradiction puisque la somme de ses chiffres vaut 1.

📐 Formule — Pour un entier m, on a $m=\frac{m}{1}=\frac{m}{10^0}$, donc m est un nombre décimal.

📐 Formule — Si q est décimal, il s’écrit $q=\frac{a}{10^k}$ avec a entier et k entier naturel, donc il est aussi rationnel.

💡 Astuce mémo

Entier → décimal → rationnel.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques