Fiche de révision : Équations et inéquations

📋 Plan du Cours

1. Inéquations du premier degré
2. Équations polynomiales
3. Modélisation par équations
4. Valeur absolue et encadrements
5. Inéquations polynomiales
6. Inéquations et domaines
7. Systèmes et optimisation
8. Exponentielles et irrationalité

📖 1. Inéquations du premier degré

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation du premier degré, on isole x en tenant compte du changement de sens de l’inégalité lors d’une multiplication ou division par un nombre négatif.

Compléments

• L’inéquation $3x+7\geq 0$ a pour ensemble solution $[-\frac{7}{3},+\infty[\,.$

📖 2. Équations polynomiales

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Valeur de x qui annule le polynôme.

📝 Points essentiels

• L’équation $x^2-2x+1=0$ s’écrit $(x-1)^2=0$ et admet la solution $x=1$.

📐 Formule — Le polynôme cubique vérifie $x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)^2(x+2)$.

📖 3. Modélisation par équations

★ À maîtriser

📐 Formule — La distance verticale parcourue par un caillou en chute libre vérifie $h=\frac{1}{2}gt^2$ avec $g=9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$. — Newton, fin du XVIIème

• Pour une durée totale de 7 secondes, la hauteur du gouffre est obtenue en résolvant $7=\sqrt{\frac{2h}{9{,}81}}+\frac{h}{340}$.

Compléments

• Le son se déplace dans l’air à la vitesse de $340\ \mathrm{m/s}$.

💡 Astuce mémo

Données physiques → équation → valeur recherchée

📖 4. Valeur absolue et encadrements

★ À maîtriser

• Pour supprimer les valeurs absolues de $2|x-1|-3|x+2|$, on distingue les intervalles déterminés par les points $-2$ et $1$.

📐 Formule — Le volume d’un cylindre de hauteur 5 cm et de rayon x est $V_{cylindre}=5\pi x^2$, tandis que celui d’une boule de rayon x est $V_{sphère}=\frac{4}{3}\pi x^3$.

Compléments

📌 Pour x∈[2,5[ et y∈]−3,−1[, la multiplication par un nombre négatif inverse l’ordre des bornes.

💡 Astuce mémo

Valeur absolue : expression selon x−a positif ou négatif

📖 5. Inéquations polynomiales

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation polynomiale, on factorise si possible, on repère les racines, puis on étudie le signe sur les intervalles délimités par ces racines.

Compléments

• L’inéquation $1-x^2\leq 0$ équivaut à $x^2\geq 1$ et a pour solution $]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\,.$

• L’inéquation $x^2-x+1<0$ n’a aucune solution réelle car le trinôme est toujours strictement positif.

💡 Astuce mémo

Racines → signes → intervalles solutions

📖 6. Inéquations et domaines

★ À maîtriser

📌 Dans une inéquation rationnelle, les valeurs qui annulent le dénominateur sont exclues du domaine de validité, même si elles annulent aussi le numérateur.

📌 Pour résoudre une inéquation avec une racine carrée, il faut respecter le domaine où le radicand est positif ou nul avant toute transformation.

• Pour représenter un domaine de $\mathbb R^2$, on trace les frontières des contraintes puis on conserve leur intersection.

Compléments

• L’inéquation $|x+3|-2<0$ équivaut à $|x+3|<2$, donc sa solution est $]-5,-1[\,.$

📖 7. Systèmes et optimisation

📝 Points essentiels

• Le système $\begin{cases}2x+3y=3\\3x-2y=2\end{cases}$ se résout par combinaisons linéaires des deux équations.

• En optimisation linéaire, on représente les contraintes, on détermine la région admissible, puis on recherche le maximum de la fonction bénéfice sur cette région.

• La qualité A contient 60 % de laine et 40 % d’acrylique, tandis que la qualité B contient 30 % de laine et 70 % d’acrylique.

📖 8. Exponentielles et irrationalité

★ À maîtriser

• Pour démontrer qu’entre deux rationnels distincts il existe un irrationnel, on peut construire un nombre de la forme rationnelle plus rationnelle multipliée par $\sqrt2$.

Compléments

📐 Formule — L’équation exponentielle proposée est $e^x+e^{-x}=4$.

📊 Tableaux de synthèse

Types de problèmes et méthode