Fiche de révision : Estimation et tests statistiques

📋 Plan du Cours

1. Comparaison de proportions et tests d’indépendance
2. Analyser les observations appariées
3. Recueil, vérification et structuration des données
4. Décrire une variable statistique
5. Estimation ponctuelle des indicateurs
6. Intervalles de confiance et hypothèses statistiques
7. Familles de tests statistiques
8. Statistique prédictive et exemples
9. Échantillonnage et inférence statistique
10. Estimateurs et intervalles de confiance
11. Tests d’hypothèses et erreurs
12. Biais et puissance des tests
13. Variables explicatives, confusion et types d’études
14. Témoins et aveugle expérimental
15. Plans expérimentaux et unités d’observation
16. Indépendance des observations et réplication
17. Méthodes probabilistes d’échantillonnage
18. Échantillonnage de volontaires

📖 1. Comparaison de proportions et tests d’indépendance

★ À maîtriser

• La proportion de dispersants est de 25/67 = 0,373 chez les femelles et de 10/61 = 0,164 chez les mâles.

• Pour deux variables binaires, l’hypothèse nulle d’indépendance équivaut à l’égalité des proportions dans les deux groupes, tandis que l’hypothèse alternative correspond à des proportions différentes et à une absence d’indépendance.

• Pour deux variables binaires et des observations indépendantes, le test du χ² avec correction de Yates s’applique lorsque les effectifs théoriques de chaque combinaison sont au moins égaux à 2,5; le test de Fisher peut également être utilisé.

• Pour des variables non binaires et des observations indépendantes, le test du χ² de Pearson requiert des effectifs théoriques strictement supérieurs à 5 dans toutes les cases, tandis que le test de Fisher est utilisable quels que soient les effectifs.

Compléments

• Le tableau de contingence des données de dispersion comporte 25 femelles et 10 mâles dispersants, ainsi que 42 femelles et 51 mâles philopatriques, pour un total de 128 oiseaux.

📌 Dans cette étude, la dispersion désigne un changement d’habitat entre deux épisodes de reproduction, et non le degré de variabilité statistique des valeurs d’une variable.

• Dans R, le test du χ² s’effectue notamment avec chisq.test(table(x,y)), le test de Fisher avec fisher.test(table(x,y)) et le test du χ² avec correction de Yates avec prop.test(table(x,y)).

📖 2. Analyser les observations appariées

★ À maîtriser

• Pour deux échantillons appariés, le test de McNemar s’applique au tableau des combinaisons par paire d’observations, plutôt qu’au tableau des combinaisons par observation.

📌 Pour comparer une variable binaire entre plus de deux échantillons appariés, le test Q de Cochran est utilisé.

Compléments

• Le test de McNemar avec correction de Yates est utilisé pour des observations appariées lorsque les effectifs théoriques dans chaque case du tableau par paires sont au moins égaux à 2,5.

• Pour comparer une variable de plus de deux modalités entre deux échantillons appariés, le test de McNemar peut être utilisé.

• Lorsque des individus ne sont pas mesurés à toutes les reprises dans une comparaison d’au moins deux échantillons appariés pour une variable binaire, un modèle linéaire généralisé avec un effet aléatoire correspondant au groupe non indépendant, tel que l’individu ou le couple, est utilisé.

• Dans R, le test de McNemar se lance avec mcnemar.test() et le test Q de Cochran avec cochran.qtest(y~x|z), après chargement de la bibliothèque RVAideMemoire.

📖 3. Recueil, vérification et structuration des données

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de données brutes : Tableau à double entrée où les colonnes représentent les variables et les lignes les observations.

★ À maîtriser

• Le recueil des données pour chaque unité statistique peut se faire par questionnaire, observation directe ou appareil de mesure ; les données peuvent être saisies manuellement ou enregistrées automatiquement, puis compilées dans un tableau ou un fichier.

• La vérification des données recherche :

  • les valeurs manquantes
  • les erreurs lexicales
  • les irrégularités
  • les erreurs de formatage
  • les doublons
  • les contradictions
  • les valeurs atypiques ou aberrantes

• Les erreurs se préviennent lors de la conception de la saisie par : un dictionnaire de valeurs autorisées contre les erreurs lexicales, des bornes minimales et maximales contre les valeurs irrégulières ou aberrantes, l’imposition d’un format contre les erreurs de formatage

• Le modèle dominant de structuration des données est celui des bases de données relationnelles.

Compléments

• Dans un tableau de données brutes, les lignes peuvent contenir des données de types et d’unités de mesure différents, contrairement aux colonnes.

• Après la saisie, les erreurs d’irrégularité se traitent en corrigeant les valeurs, les doublons en regroupant les lignes sans perdre d’information, et les contradictions en calculant une moyenne ou en supprimant la valeur concernée.

• Pour traiter une valeur atypique ou aberrante, il faut la vérifier si possible et la supprimer si elle ne peut pas être vérifiée.

• Pour traiter les valeurs manquantes, on peut retrouver la valeur, poursuivre l’analyse avec des valeurs manquantes, ou supprimer une variable ou un individu.

• La présentation des modèles de structuration des données est attribuée à Picard et Gourlet-Fleury (2008), COMIFAC.

💡 Astuce mémo

Prévenir à la saisie → corriger après la saisie

📖 4. Décrire une variable statistique

★ À maîtriser

• Pour une variable qualitative nominale, le tri à plat présente les catégories selon leurs effectifs ou leurs fréquences.

• Pour une variable qualitative ordinale, le tableau de distribution est ordonné selon les valeurs et peut présenter les fréquences cumulées.

• Pour une variable quantitative, une description correcte donne au minimum un indicateur de position, un indicateur de dispersion correspondant et un graphique représentant la distribution.

📌 La moyenne est associée à l’écart-type comme indicateur de dispersion, tandis que la médiane est associée à l’écart interquartile ou aux premier et troisième quartiles.

Compléments

📐 Formule - Pour des classes d’amplitudes inégales, la densité est égale à $\frac{\text{fréquence}}{\text{largeur}}$.

• Pour une variable quantitative continue, le nombre de classes peut être choisi avec la règle de Sturges, donnée sous la forme $k=1+\frac{10}{3}\log(n)$.

• L’étendue, ou le minimum et le maximum, est souvent donnée en complément des indicateurs de position et de dispersion.

• Pour une variable qualitative nominale, les indicateurs mentionnés sont le mode et les valeurs rares ; pour une variable ordinale, ce sont le mode, les valeurs rares et les quantiles, notamment la médiane et les quartiles.

💡 Astuce mémo

Nominale : catégories sans ordre ; ordinale : catégories ordonnées

📖 5. Estimation ponctuelle des indicateurs

★ À maîtriser

📌 Les minuscules désignent les valeurs connues mesurées dans l’échantillon, tandis que les lettres grecques désignent les paramètres inconnus de la population.

• La moyenne de l’échantillon est notée x̄ ou m, tandis que la moyenne de la population est μ = E(Xᵢ).

📌 L’écart-type mesuré dans l’échantillon est s′ et sa variance est s′², tandis que les estimations corrigées de l’écart-type et de la variance sont s et s².

Compléments

• L’effectif de la population est noté N et celui de l’échantillon n.

• Le caractère mesuré sur l’individu i est noté xᵢ dans l’échantillon et Xᵢ dans la population.

📐 Formule - La variance corrigée de l’échantillon vérifie $s^2=s'^2\frac{n}{n-1}$.

• La proportion dans l’échantillon est notée p ou f, et la proportion dans la population est notée π.

📌 VAR() dans les tableurs et var() dans R calculent la variance corrigée s², tandis que VARP() calcule la variance d’échantillon s′².

💡 Astuce mémo

Minuscules mesurées dans l’échantillon, grecques inconnues dans la population

📖 6. Intervalles de confiance et hypothèses statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur p : Probabilité, si H₀ est vraie, d’observer des valeurs encore plus éloignées de H₀ que celles observées lors de l’expérience.

★ À maîtriser

• Pour une moyenne quantitative, le cours propose un intervalle de confiance approximé par la loi de Student ou, dans certaines conditions, par la loi normale.

• Les méthodes présentées sont : l’approximation normale, l’intervalle de Wilson avec correction de Yates, l’intervalle binomial de Clopper-Pearson

📌 L’hypothèse nulle H₀ attribue la différence observée au hasard des fluctuations d’échantillonnage, tandis que l’hypothèse alternative H₁ l’interprète comme une vraie différence.

📌 L’erreur de type I consiste à rejeter H₀ alors qu’elle est vraie et sa probabilité est α, tandis que l’erreur de type II consiste à accepter H₀ alors que H₁ est vraie et sa probabilité est β.

Compléments

📌 Pour une moyenne quantitative, le choix présenté dépend notamment du grand échantillon (n > 30) ou de la normalité de la variable.

• Le cours présente aussi des intervalles de confiance par rééchantillonnage pour une moyenne ou une médiane.

• Une variable qui ne peut pas être résumée par une seule valeur ne se prête pas à un intervalle de confiance portant sur un indicateur unique.

• Pour comparer une valeur observée à une valeur théorique, on peut calculer un intervalle de confiance pour un risque fixé et vérifier si la valeur théorique lui appartient.

• Quand H₀ est vraie, la probabilité de ne pas la rejeter est 1 − α ; quand H₁ est vraie, la probabilité de la rejeter est 1 − β, appelée puissance du test.

• La probabilité de se tromper en acceptant H₀ est inconnue sans connaître la distribution de la statistique de test lorsque H₁ est vraie.

💡 Astuce mémo

H₀ : hasard ; H₁ : vraie différence

📖 7. Familles de tests statistiques

★ À maîtriser

📌 Un test paramétrique suppose une distribution décrite par un nombre fixé de paramètres et calcule la statistique de test à partir de ces paramètres, tandis qu’un test non paramétrique la calcule directement à partir des valeurs observées.

📌 Une méthode approximée repose sur une distribution approximative de la statistique de test, souvent valable seulement à partir d’un effectif suffisant, tandis qu’une méthode exacte n’utilise pas d’approximation et convient à toute taille d’échantillon, mais demande davantage de calculs et peut être moins puissante.

Compléments

• Pour un test paramétrique portant sur une moyenne, les hypothèses présentées sont H₀ : μ = μ₀ et H₁ : μ ≠ μ₀.

• Pour un test non paramétrique portant sur une valeur centrale μ₀, H₀ affirme que les valeurs sont réparties équitablement de part et d’autre de μ₀, et H₁ qu’elles ne le sont pas.

• Pour tester une proportion, les hypothèses présentées sont H₀ : π = π₀ et H₁ : π ≠ π₀.

• Pour une variable quantitative, le cours présente le test t de Student univarié si n > 30 ou si la variable est normale, et le test des rangs signés de Wilcoxon dans les autres situations indiquées.

• Pour une variable qualitative binaire, le cours présente un test de comparaison de proportion approximé par la loi normale si au moins 5 observations figurent dans chaque modalité, et un test binomial sinon.

• Pour une variable qualitative, le test du χ² d’ajustement s’utilise lorsque l’effectif théorique de chaque modalité est au moins égal à 5.

📖 8. Statistique prédictive et exemples

★ À maîtriser

• La statistique prédictive évalue la capacité d’un modèle à prédire les caractéristiques d’un nouvel échantillon.

Compléments

• Elorri conclut à un effet toxique de la cyanocobalamine sur les prunelliers à partir d’un graphique de rendement, mais le contenu du graphique n’est pas précisé ici.

• Ibai conclut qu’une manœuvre destinée à réduire les remous favorise le passage des poissons migrateurs à partir d’un graphique comparant les poissons comptés dans la passe durant et hors manœuvres.

📖 9. Échantillonnage et inférence statistique

★ À maîtriser

• La statistique peut étudier un caractère variable d’une population ou la relation entre plusieurs caractères, auquel cas on parle de statistique bivariée ou multivariée.

• Pour obtenir des informations sur un caractère d’une population, on peut observer chaque individu ou étudier une partie de la population appelée échantillon.

• Chaque échantillon diffère des autres, ce qui produit des fluctuations d’échantillonnage.

Compléments

• L’effectif de la population est noté N et l’effectif de l’échantillon est noté n.

💡 Astuce mémo

Échantillonner → fluctuations d’échantillonnage

📖 10. Estimateurs et intervalles de confiance

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de confiance : Intervalle dont la probabilité de contenir la vraie valeur inconnue du paramètre est supérieure ou égale à 1 − α.

★ À maîtriser

• Dans l’échantillon, le caractère mesuré de l’individu i est noté xᵢ, la moyenne x̄ ou m, l’écart-type s′, l’écart-type corrigé s, la variance s′², la variance corrigée s² = s′² n/(n − 1) et la proportion ou fréquence p ou f.

📌 Un estimateur biaisé présente une erreur systématique, tandis qu’un estimateur peu précis présente une erreur aléatoire.

• Une estimation par intervalle vise à apporter de l’information tout en maîtrisant le risque et l’incertitude.

Compléments

• Un estimateur efficace est à la fois juste et précis.

• Pour une variable continue, une estimation ponctuelle a un risque maximal de 100 %, tandis qu’un risque nul n’apporte aucune information.

📌 Dans un intervalle de confiance, les bornes sont des variables aléatoires qui dépendent de l’échantillon, tandis que le paramètre possède une valeur fixée.

💡 Astuce mémo

Biais = erreur systématique ; manque de précision = erreur aléatoire

📖 11. Tests d’hypothèses et erreurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Erreur de type 1 : Faux positif : on rejette H₀ alors qu’elle est vraie; sa probabilité est α.
• Erreur de type 2 : Faux négatif : on accepte H₀ alors que H₁ est vraie; sa probabilité β est inconnue.

★ À maîtriser

• Un test d’hypothèses commence par deux hypothèses contradictoires : la différence observée reflète un effet réel ou elle est due au hasard des fluctuations d’échantillonnage.

• La probabilité d’observer par hasard une différence aussi marquée sert à décider si l’on rejette H₀ et accepte H₁ ou si l’on accepte H₀.

• Si H₁ est vraie et qu’on rejette H₀, il n’y a pas d’erreur et la probabilité de cette conclusion est 1 − β, qui correspond à la puissance du test.

Compléments

• Si H₀ est vraie et qu’on accepte H₀, il n’y a pas d’erreur et la probabilité de cette conclusion est 1 − α.

• Un effet biologiquement significatif peut ne pas être détecté si l’échantillon est trop petit, si la variabilité de la population est trop élevée par rapport au signal ou par hasard d’échantillonnage.

💡 Astuce mémo

Faux positif : rejeter H₀ vraie ; faux négatif : garder H₀ fausse

📖 12. Biais et puissance des tests

★ À maîtriser

• Une différence biologiquement insignifiante peut conduire au rejet de H0 lorsque l’échantillon est très grand, que le seuil de significativité est trop élevé ou que l’échantillonnage est défavorable.

📌 Pour interpréter un résultat statistiquement significatif, il faut aussi donner une idée de la taille de l’effet, par exemple au moyen d’un intervalle de confiance ou d’un graphique, car la valeur P ne suffit pas.

• L’analyse de puissance consiste à définir au préalable l’effet biologiquement significatif, puis à en déduire la taille d’échantillon nécessaire et suffisante pour le détecter.

Compléments

📌 Lorsque la taille d’échantillon est déjà élevée parce que les données ont été récoltées, le seuil de significativité peut être diminué pour éviter les faux positifs.

💡 Astuce mémo

Échantillon immense → un effet minime peut devenir significatif sans être biologiquement important.

📖 13. Variables explicatives, confusion et types d’études

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable réponse : La variable que l’on cherche à expliquer ou à prédire.
• Variable explicative : La variable explicative, ou facteur explicatif, est utilisée pour expliquer ou prédire la variable réponse.
• Facteur confondant : Une variable susceptible de masquer la relation entre la variable explicative et la variable réponse, ou de donner l’impression d’une relation alors qu’il n’y en a pas.
• Variable contrôlée : Un facteur confondant pris en compte dans le plan d’expérience et/ou dans l’analyse des données.

★ À maîtriser

📌 Dans une étude corrélative, la variable explicative est observée sans être activement modifiée, tandis qu’une étude expérimentale comparative applique activement différents traitements aux sujets.

📌 Une étude corrélative ne permet pas d’établir un lien de causalité, car d’autres facteurs confondants que la variable explicative peuvent expliquer les différences entre groupes.

Compléments

• Une étude corrélative est réservée aux situations où une expérience n’est pas possible.

• Dans une étude expérimentale comparative, les groupes peuvent être constitués aléatoirement et la variable explicative peut être isolée d’autres facteurs confondants.

💡 Astuce mémo

Variable explicative : relation étudiée ; facteur confondant : relation masquée ou apparente.

📖 14. Témoins et aveugle expérimental

★ À maîtriser

📌 Le témoin négatif, indispensable, montre le résultat obtenu en cas de test négatif et vérifie qu’une condition attendue comme négative l’est bien.

📌 Le témoin positif, utilisé si possible, montre le résultat obtenu en cas de test positif et vérifie qu’une condition attendue comme positive l’est bien.

Compléments

• Pour tester un médicament, un placebo peut servir de témoin négatif et un médicament existant de témoin positif.

• Dans un test ELISA de détection d’anticorps, une solution sans l’anticorps recherché sert de témoin négatif et une solution avec cet anticorps sert de témoin positif.

• L’effet placebo et l’effet expérimentateur sont des facteurs confondants qu’une étude expérimentale peut elle-même créer.

📌 Dans une expérience en aveugle, les sujets ne savent pas quel traitement ils reçoivent ; si possible, les expérimentateurs ne le savent pas non plus avant l’analyse des données, ce qui constitue le double aveugle.

💡 Astuce mémo

Le témoin négatif valide un résultat négatif ; le positif valide un résultat positif.

📖 15. Plans expérimentaux et unités d’observation

★ À maîtriser

📌 L’unité d’observation correspond à l’élément observé dans les données, tandis que l’unité expérimentale ou de réplication est l’élément auquel s’applique le traitement ou la réplication expérimentale.

Compléments

• Un protocole sur l’hypertension propose de comparer un nouveau médicament, un médicament de référence et un placebo, avec des mesures de tension avant le traitement puis 12 h et 24 h après.

• Des mesures répétées de tension avant le traitement, puis 12 h et 24 h après, constituent des mesures longitudinales.

• Dans le protocole décrit, des groupes de deux frères et sœurs ou plus par famille sont répartis entre les traitements pour tester si la réponse dépend de facteurs génétiques.

• Dans l’exemple du gâteau, l’épaisseur est mesurée sur chaque gâteau, tandis que la pâte constitue l’unité expérimentale ; une pâte peut produire un ou plusieurs gâteaux.

• Dans l’étude de la croissance des pins maritimes selon le type de gestion forestière, l’arbre est l’unité d’observation et la parcelle l’unité expérimentale ou de réplication.

💡 Astuce mémo

Unité d’observation : ce qui est mesuré ; unité expérimentale : ce qui reçoit le traitement.

📖 16. Indépendance des observations et réplication

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance des observations : Observations indépendantes si l’information fournie par la première ne donne aucune information sur la seconde.
• Réplicats : Mesures qui devraient avoir la même valeur si toute la variabilité était due à la variable explicative.
• Pseudo-réplication : Répliquer les unités d’observation sans répliquer les unités expérimentales ou de réplication.

★ À maîtriser

• Les méthodes statistiques les plus courantes supposent des observations indépendantes, tandis que des données non indépendantes nécessitent des méthodes spécifiques, comme les méthodes pour données appariées, les modèles à facteurs aléatoires ou les méthodes tenant compte de l’autocorrélation spatiale ou temporelle.

• La non-indépendance est positive lorsque les observations d’un groupe sont plus semblables que des observations prises au hasard dans la population, et négative lorsqu’elles sont moins semblables.

• Les réplicats biologiques estiment la variabilité entre unités biologiques soumises aux mêmes facteurs, tandis que les réplicats techniques estiment la variabilité de la mesure.

• Pour étudier l’effet d’un facteur, il faut plusieurs observations indépendantes par modalité ou niveau de ce facteur.

Compléments

• Deux lancers de dés constituent des observations indépendantes, contrairement aux faces supérieure et inférieure d’un même dé.

• Les méthodes utilisant des facteurs aléatoires, notamment les modèles mixtes et l’ANOVA pour données répétées, ne prennent en compte que la non-indépendance positive.

• La satisfaction au travail d’employés d’une même entreprise et les résultats scolaires d’élèves d’une même école illustrent une non-indépendance positive, tandis que la répartition des tâches ménagères dans un couple et la consommation de nourriture de poissons d’un aquarium à quantité fixée illustrent une non-indépendance négative.

• Mesurer plusieurs arbres d’une même forêt estime la variabilité entre arbres, tandis que mesurer plusieurs forêts soumises à la même gestion estime la variabilité entre forêts.

• Mesurer plusieurs fois le même arbre dans un délai de quelques jours permet d’estimer la variabilité entre mesures.

💡 Astuce mémo

Deux lancers de dés sont indépendants ; les deux faces d’un même dé ne le sont pas.

📖 17. Méthodes probabilistes d’échantillonnage

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillonnage systématique : Méthode consistant à choisir au hasard une unité statistique, puis à sélectionner les autres à intervalles réguliers dans la population, dans le temps ou dans l’espace.
• Échantillonnage stratifié : Méthode qui subdivise la population en strates pertinentes aux caractéristiques communes, puis constitue dans ces strates des échantillons représentatifs, aléatoirement ou non.
• Échantillonnage en grappes : L’échantillonnage en grappes consiste à tirer des groupes hétérogènes.

★ À maîtriser

• L’échantillonnage aléatoire simple consiste à numéroter les individus de la population, puis à en tirer aléatoirement avec remise le nombre souhaité à l’aide d’un générateur de chiffres.

Compléments

• L’échantillonnage aléatoire simple est simple et représente bien la population, mais nécessite une liste complète, peut être long pour un grand échantillon et risque d’être fortement biaisé si l’échantillon est petit.

• L’échantillonnage systématique est rapide, ne nécessite qu’un seul tirage aléatoire et répartit bien l’échantillon, mais exige une base de sondage complète et à jour, sans répétition, et peut être biaisé par des effets de périodicité.

• L’échantillonnage stratifié peut mieux représenter les caractéristiques de la population et convient aux petits échantillons, mais coûte cher et exige de connaître les caractéristiques des strates, dont les plus rares peuvent être difficiles à constituer.

📖 18. Échantillonnage de volontaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillonnage de volontaires : Méthode qui consiste à recruter des volontaires pour constituer un échantillon.
• Échantillonnage boule de neige : Méthode où les individus déjà sélectionnés invitent à leur tour des personnes qui leur ressemblent à rejoindre l’échantillon.

📝 Points essentiels

📌 L’échantillonnage de volontaires peut produire des individus polarisés avec des valeurs extrêmes et être utile si l’échantillon correspond à toute la population ou si l’étude comporte des inconvénients importants pour les participants, mais il n’est pas aléatoire et peut relever d’un recrutement opportuniste.

📌 L’échantillonnage boule de neige est peu coûteux et utile pour atteindre des populations difficiles à rejoindre, mais il n’est pas aléatoire, produit un échantillon biaisé et ne permet pas de déterminer la taille de l’échantillon.

📊 Tableaux de synthèse

Décision du test et réalité

Étude corrélative et étude expérimentale