Fiche de révision : Filtrage analogique et conception

📋 Plan du Cours

1. Filtrage des signaux physiologiques
2. Filtres idéaux et réalisations
3. Filtres du premier ordre
4. Filtres du second ordre
5. Familles et transformations
6. Filtres de Butterworth
7. Topologie Sallen-Key
8. Conception et mise en cascade
9. Limites des filtres d’ordre élevé

📖 1. Filtrage des signaux physiologiques

★ À maîtriser

• Pour le filtrage de l’ECG, l’American Heart Association recommande une bande de fréquences comprise entre 0,05 et 100 Hz.

• Les interférences apparaissent à:

  • 60 Hz
  • 120 Hz
  • 180 Hz

📌 Les signaux physiologiques nécessitent généralement des filtres d’ordre faible, typiquement d’ordre 1 ou 2 et rarement supérieur à 4, avec une bande passante uniforme en amplitude et en phase.

Compléments

📌 Le principe de superposition s’applique au filtrage des signaux physiologiques.

💡 Astuce mémo

Interférences et variabilité → bande passante adaptée

📖 2. Filtres idéaux et réalisations

★ À maîtriser

📌 Un filtre passe-bas transmet les basses fréquences, un filtre passe-haut transmet les hautes fréquences, un filtre passe-bande transmet une bande de fréquences et un filtre coupe-bande rejette une bande de fréquences.

📌 Un filtre passif utilise des résistances, des capacités et éventuellement des inductances, tandis qu’un filtre actif utilise aussi un amplificateur opérationnel et nécessite une alimentation.

• Un filtre passif a un gain inférieur à 1, tandis que le gain d’un filtre actif peut être élevé.

Compléments

📌 La mise en cascade est facilitée lorsque l’impédance de sortie d’un étage est beaucoup plus faible que l’impédance d’entrée de l’étage suivant.

💡 Astuce mémo

Passif : atténue ; actif : peut amplifier

📖 3. Filtres du premier ordre

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un filtre passif du premier ordre RC, la fréquence angulaire de coupure vaut $\omega_0=\frac{1}{RC}$.

• Le diagramme de Bode d’un filtre passe-bas du premier ordre présente une pente de −20 dB par décade après la fréquence de coupure.

• Pour un filtre passe-bas du premier ordre, le gain à basse fréquence tend vers 1 et le gain à haute fréquence tend vers 0.

Compléments

📌 Dans un passe-bas RC, le condensateur est placé en dérivation sur la sortie, tandis que dans un passe-haut RC, le condensateur est placé en série avec l’entrée.

💡 Astuce mémo

Passe-bas laisse les basses, passe-haut laisse les hautes

📖 4. Filtres du second ordre

📝 Points essentiels

📐 Formule — La fonction de transfert générale d’un filtre passe-bas du second ordre est $H(j\omega)=\frac{k}{\left(\frac{j\omega}{\omega_0}\right)^2+\frac{j\omega}{Q\omega_0}+1}$.

📐 Formule — Le facteur de qualité et le ratio d’amortissement sont liés par $Q=\frac{1}{2\zeta}$.

• Pour un filtre de Butterworth du second ordre, le ratio d’amortissement vaut environ 0,707 et le facteur de qualité vaut environ 0,707.

• À la fréquence de coupure d’un filtre de Butterworth, l’atténuation de puissance est de moitié et l’amplitude de tension est divisée par √2, soit −3 dB.

💡 Astuce mémo

Q élevé → coupure plus sélective et oscillations accrues

📖 5. Familles et transformations

📝 Points essentiels

• Une transformation de filtre part d’un passe-bas normalisé de fréquence de coupure unitaire et remplace la variable fréquentielle pour obtenir le type de filtre et les fréquences souhaités.

📐 Formule — Pour transformer un passe-bas normalisé en passe-bas de fréquence de coupure ω0, on remplace chaque terme jω par $\frac{j\omega}{\omega_0}$.

📐 Formule — Pour un passe-bande de fréquences de coupure ωB et ωH, on utilise $\omega_0^2=\omega_H\omega_B$ et $B=\omega_H-\omega_B$.

💡 Astuce mémo

Normalisé → passe-bas, passe-haut, passe-bande ou rejet de bande

📖 6. Filtres de Butterworth

★ À maîtriser

• Les principales familles sont:

  • Butterworth
  • Chebyshev de type 1
  • Chebyshev de type 2
  • elliptique

• Un filtre de Butterworth présente une bande passante uniforme et une coupure douce, ce qui le rend adapté aux signaux physiologiques.

• Pour un filtre de Butterworth d’ordre n, la pente asymptotique vaut −20n dB par décade.

Compléments

• Un filtre de Butterworth d’ordre n peut être réalisé en cascadant des filtres du premier et du second ordre correspondant aux facteurs de son dénominateur.

💡 Astuce mémo

Butterworth : bande uniforme et coupure douce

📖 7. Topologie Sallen-Key

🔑 Notions clés & Définitions

• Topologie Sallen-Key : Réalisation active du second ordre caractérisée par le gain k, la fréquence de coupure ω0 et le facteur de qualité Q.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans les configurations Sallen-Key présentées, la fréquence de coupure vaut $\omega_0=\frac{1}{RC}$ et le facteur de qualité vaut $Q=\frac{1}{3-A}$.

📐 Formule — Pour un filtre Sallen-Key passe-bande, la largeur de bande vérifie $B=\omega_H-\omega_B=\frac{\omega_0}{Q}$.

Compléments

• L’impédance de sortie d’une topologie Sallen-Key tend vers zéro, ce qui facilite la mise en cascade des étages.

📖 8. Conception et mise en cascade

★ À maîtriser

📌 Lors de la conception Sallen-Key, il faut généralement privilégier l’ajustement du facteur de qualité Q, car le gain peut être corrigé par un amplificateur supplémentaire en cascade.

• Pour réaliser un passe-bas Butterworth Sallen-Key du second ordre de fréquence de coupure 5 Hz, le gain obtenu peut être k=1,586 au lieu du gain unitaire demandé, ce qui nécessite un atténuateur de gain 1/1,586 en sortie.

Compléments

📌 Lorsque les fréquences de coupure d’un passe-bande sont très éloignées, un passe-haut et un passe-bas peuvent être cascadés pour réaliser l’ensemble du filtrage.

• Un passe-bande Sallen-Key demandé entre 10 Hz et 500 Hz est irréalisable avec la solution calculée lorsque les valeurs de A, k et Rf deviennent négatives; il faut alors cascader un passe-haut et un passe-bas.

💡 Astuce mémo

Choisir la fonction → transformer → réaliser → ajuster

📖 9. Limites des filtres d’ordre élevé

★ À maîtriser

• Les filtres d’ordre élevé exigent une précision accrue des composants; une précision minimale de 5 % est indiquée pour les filtres du quatrième ordre.

📌 Les filtres servent à compenser certaines imperfections des capteurs et à éliminer des interférences.

Compléments

• Les filtres d’ordre élevé sont plus susceptibles de générer des oscillations parasites et sont plus facilement réalisés sous forme numérique après échantillonnage du signal.

💡 Astuce mémo

Ordre élevé → précision accrue et oscillations plus probables

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des filtres passifs et actifs

Familles de filtres