QCM : Fonction exponentielle et ses propriétés — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractérisation définit la fonction exponentielle ?

La seule fonction continue sur ℝ telle que f(x+y)=f(x)+f(y)
Une fonction polynôme qui s’annule en 0 et en 1
La seule fonction dérivable sur ℝ telle que f’ = f et f(0) = 1
La fonction dérivée est constante et vaut 1 en tout point

La seule fonction dérivable sur ℝ telle que f’ = f et f(0) = 1

Explication

La fonction exponentielle est définie comme l’unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f’ = f et f(0)=1. Les autres propositions décrivent des propriétés qui ne correspondent pas à cette définition.

2. Quelle relation vérifie la fonction exponentielle pour tout réel x ?

exp’(x) = 0
exp’(x) = x·exp(x)
exp’(x) = exp(x) + 1
exp’(x) = exp(x)

exp’(x) = exp(x)

Explication

La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même en tout réel. C’est une propriété centrale de sa définition et de ses variations.

3. Quelle identité algébrique est vraie pour tous réels x et y ?

exp(x−y) = exp(y)/exp(x)
exp(xy) = exp(x)+exp(y)
exp(x+y) = exp(x)+exp(y)
exp(x+y) = exp(x)·exp(y)

exp(x+y) = exp(x)·exp(y)

Explication

L’exponentielle transforme une somme en produit : exp(x+y)=exp(x)·exp(y). Le quotient concerne exp(x−y), pas exp(y−x).

4. Comment peut-on écrire exp(−x) pour tout réel x ?

1/exp(x)
exp(x^2)
exp(x)
−exp(x)

1/exp(x)

Explication

On a exp(−x)=1/exp(x) pour tout réel x. Cela découle aussi du fait que exp(x) n’est jamais nul.

5. Comment est défini le nombre e ?

e = exp(−1)
e = exp(1)
e = exp(0)
e = 1/exp(1)

e = exp(1)

Explication

Le nombre e est l’image de 1 par la fonction exponentielle : e=exp(1). On a donc aussi exp(1)=e, avec e≈2,718.

6. Que désigne la notation e^x pour tout réel x ?

Le carré de e multiplié par x
L’écriture de exp(x+1)
L’écriture de exp(x)
La valeur de exp(1) élevée à x seulement si x est entier

L’écriture de exp(x)

Explication

Par convention, e^x est simplement une autre écriture de exp(x). Cette notation permet d’utiliser les mêmes règles de calcul pour les exponentielles.

7. La suite définie par u_n = e^(na) est de quel type ?

Une suite géométrique de raison a
Une suite géométrique de raison e^a
Une suite constante de raison 1
Une suite arithmétique de raison a

Une suite géométrique de raison e^a

Explication

Pour tout réel a, la suite (e^(na)) est géométrique et sa raison est e^a. Le rapport entre deux termes consécutifs est donc constant.

8. Quel est le rapport entre deux termes consécutifs de la suite e^(na) ?

e^(n+a)
a^e
e^a
e^(a−n)

e^a

Explication

Dans la suite (e^(na)), on passe de e^(na) à e^((n+1)a) en multipliant par e^a. C’est précisément la raison de la suite géométrique.

9. Quel est le signe de e^x pour tout réel x ?

Strictement négatif
Positif seulement si x est positif
Strictement positif
Nul pour au moins une valeur de x

Strictement positif

Explication

La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ, donc e^x>0 pour tout réel x. Elle ne s’annule jamais.

10. Quelle affirmation décrit correctement la courbe de y = e^x ?

Elle passe par les points (0;1) et (1;e)
Elle est décroissante sur ℝ
Elle coupe l’axe des abscisses
Elle passe par les points (0;0) et (1;1)

Elle passe par les points (0;1) et (1;e)

Explication

Comme e^0=1 et e^1=e, la courbe passe par (0;1) et (1;e). De plus, elle ne coupe pas l’axe des abscisses car e^x est toujours strictement positif.

11. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=e^(ax+b) lorsque a et b sont des réels ?

(ax+b)·e^(ax+b)
a·(ax+b)·e^(ax+b)
a·e^(ax+b)
e^(ax+b)

a·e^(ax+b)

Explication

On dérive une exponentielle composée en conservant l’expression exponentielle et en multipliant par la dérivée de l’exposant, ici a. Les autres propositions oublient le facteur de la dérivée intérieure ou ajoutent un facteur incorrect.

12. Si f(x)=e^(3x-2), quelle est l’expression de f’(x) ?

3x·e^(3x-2)
e^(3x-2)
3·e^(3x-2)
(3x-2)·e^(3x-2)

3·e^(3x-2)

Explication

Ici, l’exposant est 3x−2, dont la dérivée vaut 3, donc f’(x)=3·e^(3x-2). La réponse e^(3x-2) oublie le facteur 3 issu de la dérivation de l’exposant.

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Mémorisez les réponses avec 12 flashcards sur Fonction exponentielle et ses propriétés.

Fonction exponentielle — définition ?

Unique fonction dérivable avec f’=f et f(0)=1.

exp(x+y) — propriété ?

exp(x+y)=exp(x)·exp(y).

Nombre e — définition ?

e=exp(1), environ 2,718.

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