Fiche de révision : Fonction Inverse : Analyse et Dérivées

📋 Plan du Cours

1. Définition et dérivée de la fonction inverse
2. Variations et décroissance sur ℝ*
3. Hyperbole et symétrie par rapport à l’origine
4. Dérivée de la composition avec une fonction inverse
5. Dérivée du quotient de deux fonctions
6. Limites à l’infini et asymptote horizontale
7. Limites en zéro et asymptotes verticales

📖 1. Définition et dérivée de la fonction inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse : La fonction inverse associe à tout réel x non nul son inverse, soit f(x)=1/x.
• Ensemble de définition ℝ* : L’ensemble de définition de la fonction inverse est ℝ privé de 0, noté ℝ*.
• Dérivabilité sur ℝ* : La fonction inverse est dérivable pour tout x appartenant à ℝ*.
• Dérivée de 1/x : La dérivée de la fonction inverse vaut f'(x)=-1/x² pour tout x non nul.

📝 Points essentiels

• La fonction inverse est définie sur ]-∞;0[ ∪ ]0;+∞[.
• La formule de la fonction inverse est f(x)=1/x.
• La fonction inverse n’est pas linéaire.
• Pour tout x≠0, on a x²>0 donc f'(x)<0.
• La dérivée de h(x)=-1/(2x) se calcule en réécrivant h(x)=-(1/2)·(1/x) puis en utilisant la dérivée de 1/x.

💡 Astuce mémo

Inverse = “1 sur x” : quand x grandit, 1/x rapetisse ; quand x approche 0, 1/x explose.

📖 2. Variations et décroissance sur ℝ*

🔑 Notions clés & Définitions

• Décroissance sur ]0;+∞[ : Sur l’intervalle des x positifs, la fonction inverse décroît car sa dérivée est négative.
• Décroissance sur ]-∞;0[ : Sur l’intervalle des x négatifs, la fonction inverse décroît aussi car sa dérivée reste négative.
• Tableau de variations : Le tableau de variations résume le signe de la dérivée et donc les sens de variation sur chaque intervalle de ℝ*.
• Signe de la dérivée : Le signe de f'(x)=-1/x² détermine les variations de la fonction inverse sur ℝ*.

📝 Points essentiels

• La fonction inverse est décroissante sur ]0;+∞[.
• La fonction inverse est décroissante sur ]-∞;0[.
• Le tableau de variations se lit en séparant les deux intervalles de ℝ*.
• Comme x²>0 pour tout x≠0, on a toujours f'(x)<0.
• Le sens de variation ne change pas entre les deux côtés de 0 : c’est toujours décroissant.

💡 Astuce mémo

Même signe de dérivée des deux côtés : f'(x)=-1/x² <0 partout sur ℝ* ⇒ décroissante des deux côtés.

📖 3. Hyperbole et symétrie par rapport à l’origine

🔑 Notions clés & Définitions

• Hyperbole : L’hyperbole est la courbe représentant la fonction inverse dans un repère.
• Symétrie par rapport à l’origine : La courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport au point O du repère.
• Fonction impaire : Une fonction est dite impaire si sa courbe admet une symétrie centrale par rapport à l’origine.
• Points M(x,1/x) et M'(-x,-1/x) : Pour x≠0, les points de la courbe associés à x et à -x sont symétriques par rapport à l’origine.

📝 Points essentiels

• La courbe de f(x)=1/x s’appelle une hyperbole.
• Dans un repère orthogonal, l’hyperbole est symétrique par rapport au point O.
• La symétrie centrale correspond à une fonction impaire.
• On a 1/(-x)=-1/x, ce qui justifie la symétrie des points.
• Les points M(x,1/x) et M'(-x,-1/x) sont alignés avec O comme symétrie centrale.

💡 Astuce mémo

Impaire = “x change de signe ⇒ y change de signe” : (x,1/x) devient (-x,-1/x).

📖 4. Dérivée de la composition avec une fonction inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition f∘u : La composition f∘u est la fonction obtenue en remplaçant x par u(x) dans f.
• Fonction inverse dans une composition : Dans f∘u, la fonction inverse joue le rôle de f, donc f(t)=1/t avec t=u(x).
• Dérivée de 1/u : La dérivée de la fonction x↦1/u(x) s’exprime avec u'(x) et u(x) au carré.
• Règle de dérivation de la composition : La dérivation d’une composition combine la dérivée de l’extérieur avec celle de l’intérieur.

📝 Points essentiels

• Si u est dérivable, alors f∘u est dérivable (dans le cadre où u(x)≠0).
• La relation donnée est (f∘u)'=-(u')/u².
• La formule s’écrit aussi comme dérivée de 1/u : (1/u)'=-u'/u².
• La démonstration utilise la règle de dérivation par composition.
• Le signe “-” vient de la dérivée de la fonction inverse 1/t par rapport à t.

💡 Astuce mémo

1/u : “moins u’ sur u²” (le carré est au dénominateur).

📖 5. Dérivée du quotient de deux fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Quotient u/v : Le quotient u/v est la fonction x↦u(x)/v(x) définie sur un intervalle où v(x)≠0.
• Dérivée d’un produit : La dérivation d’un produit sert d’étape intermédiaire pour obtenir la formule du quotient.
• Formule du quotient : La dérivée du quotient s’obtient en combinant u', v et v' avec un dénominateur v².
• Dérivation via transformation : Le quotient peut être traité en réécrivant 1/v et en appliquant les règles de dérivation.

📝 Points essentiels

• La formule donnée est (u/v)'=(u'v-uv')/v².
• La démonstration s’appuie sur la dérivée d’un produit.
• Le dénominateur de la dérivée est v².
• Le numérateur combine deux termes : u'v et -uv'.
• La formule s’applique quand u et v sont dérivables sur l’intervalle considéré.

💡 Astuce mémo

Quotient : “u’v moins uv’” sur “v²”.

📖 6. Limites à l’infini et asymptote horizontale

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite à +∞ : La limite à +∞ décrit le comportement de f(x) quand x devient très grand.
• Limite à -∞ : La limite à -∞ décrit le comportement de f(x) quand x devient très négatif.
• Asymptote horizontale : Une asymptote horizontale est une droite que la courbe approche quand x tend vers un infini.
• Axe des abscisses y=0 : La droite y=0 est l’axe des abscisses et sert d’asymptote horizontale pour la fonction inverse.

📝 Points essentiels

• On a lim x→+∞ 1/x =0.
• La droite y=0 est une asymptote horizontale à la courbe de la fonction inverse en plus l’infini.
• De manière analogue, lim x→-∞ 1/x =0.
• La droite y=0 est aussi une asymptote horizontale en moins l’infini.
• L’hyperbole se rapproche de plus en plus de l’axe des abscisses quand x tend vers ±∞.

💡 Astuce mémo

À l’infini : 1/x → 0 ⇒ la courbe colle à y=0.

📖 7. Limites en zéro et asymptotes verticales

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en 0 par valeurs positives : La limite en 0 par valeurs supérieures étudie f(x) quand x approche 0 en restant positif.
• Limite en 0 par valeurs négatives : La limite en 0 par valeurs inférieures étudie f(x) quand x approche 0 en restant négatif.
• Asymptote verticale x=0 : Une asymptote verticale est une droite que la courbe approche quand x tend vers une valeur où la fonction diverge.
• Comportement près de 0 : Près de 0, la fonction inverse prend des valeurs très grandes en valeur absolue.

📝 Points essentiels

• Quand x→0 par valeurs positives, on a lim x→0 x>0 1/x =+∞.
• La droite x=0 est une asymptote verticale en plus l’infini.
• Quand x→0 par valeurs négatives, on a lim x→0 x<0 1/x =-∞.
• La droite x=0 est une asymptote verticale en moins l’infini.
• L’hyperbole se rapproche de plus en plus de l’axe des ordonnées quand x tend vers 0 (des deux côtés).

💡 Astuce mémo

Près de 0 : positif ⇒ +∞ ; négatif ⇒ -∞ ; et la droite x=0 est l’asymptote.

📊 Tableaux de synthèse

Variations de la fonction inverse

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’asymptote horizontale y=0 (quand x→±∞) avec l’asymptote verticale x=0 (quand x→0).
2. Oublier que la fonction inverse n’est pas définie en 0, donc les limites en 0 sont des divergences vers ±∞.
3. Se tromper de signe dans la dérivée de 1/u : le résultat est -u'/u², pas +u'/u².
4. Appliquer la formule du quotient sans vérifier que v(x)≠0 (sinon l’expression u/v n’est pas définie).
5. Penser que la fonction inverse change de sens de variation selon le signe de x : elle est décroissante des deux côtés de 0.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition de la fonction inverse et son ensemble de définition ℝ*.
2. Savoir calculer la dérivée de 1/x et l’utiliser pour dériver une forme du type a/x.
3. Savoir déterminer le sens de variation de 1/x sur ]0;+∞[ et sur ]-∞;0[ à partir du signe de f'(x).
4. Savoir décrire la représentation : hyperbole et symétrie centrale (fonction impaire).
5. Savoir dériver une composition de la forme 1/u(x) en utilisant (f∘u)'=-u'/u².
6. Savoir dériver un quotient u(x)/v(x) avec (u/v)'=(u'v-uv')/v².
7. Savoir calculer les limites à ±∞ et conclure à l’asymptote horizontale y=0.
8. Savoir calculer les limites quand x→0+ et x→0- et conclure à l’asymptote verticale x=0.