Fiche de révision : Géométrie analytique : droites et cercles

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs directeurs et colinéarité
2. Distances et milieux
3. Équations de droite
4. Projection orthogonale sur une droite
5. Équations et caractéristiques du cercle

📖 1. Vecteurs directeurs et colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Un vecteur directeur est un vecteur non nul porté par une droite, qui permet de décrire sa direction.
• Colinéarité de vecteurs : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction, donc l’un peut s’obtenir à partir de l’autre par multiplication par un réel.
• Parallélisme de droites : Deux droites parallèles ont des directions identiques, ce qui se traduit par des vecteurs directeurs colinéaires.

📝 Points essentiels

• Si une droite a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$, alors un vecteur directeur est $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$.
• Deux vecteurs $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si $xy'-yx'=0$.
• Dire que deux droites sont parallèles revient à dire que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

💡 Astuce mémo

Colinéarité : fais le “produit croisé” $xy'-yx'$ et cherche si ça vaut $0$.

📖 2. Distances et milieux

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance entre deux points : La distance entre $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ est la norme de $\overrightarrow{AB}$ donnée par une formule à partir de $|x_B-x_A|$ et $|y_B-y_A|$.
• Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est sa longueur, calculée avec un théorème de Pythagore sur les composantes.
• Milieu d’un segment : Le milieu de $[AB]$ est le point dont les coordonnées sont la moyenne des coordonnées de $A$ et de $B$.

📝 Points essentiels

• Pour $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$, on a $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
• Les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ sont $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

📖 3. Équations de droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne d’une droite : Une droite peut s’écrire sous la forme cartésienne $ax+by+c=0$, avec $(a,b)\neq(0{,}0)$.
• Vecteur directeur d’une droite : Le vecteur directeur fixe la direction de la droite et sert à construire son équation à partir d’un point.
• Vecteur normal à une droite : Un vecteur normal est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de la droite, donc perpendiculaire à la droite.

📝 Points essentiels

• Si une droite $d$ admet pour équation cartésienne $ax+by+c=0$, alors un vecteur normal est $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
• Méthode : trouver une équation à partir d’un point et d’un vecteur directeur consiste à utiliser ce point et la direction du vecteur directeur.
• Méthode : trouver une équation à partir d’un point et d’un vecteur normal consiste à écrire une équation cartésienne dont le membre $(a,b)$ correspond au vecteur normal.

📖 4. Projection orthogonale sur une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Projeté orthogonal : Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le point de la droite tel que la droite joignant ces deux points soit perpendiculaire à la droite.
• Droite $d:x+3y-4=0$ : Une droite écrite sous la forme $ax+by+c=0$ a un vecteur normal $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$, utile pour imposer la perpendicularité.
• Droite perpendiculaire : Une droite perpendiculaire à une droite a un vecteur directeur colinéaire au vecteur normal de la droite donnée.

📝 Points essentiels

• Pour déterminer le projeté orthogonal $H$ de $A(2{,}4)$ sur la droite $d:x+3y-4=0$, on cherche le point de $d$ tel que $AH$ soit perpendiculaire à $d$.
• Le texte donne un cadre de méthode pour calculer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite $d$.

📖 5. Équations et caractéristiques du cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du cercle : Une équation de cercle de centre $A(x_A,y_A)$ et de rayon $r$ s’écrit sous la forme $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$.
• Caractéristiques d’un cercle : Les caractéristiques d’un cercle sont son centre et son rayon, déductibles de l’équation lorsqu’elle est une équation de cercle.
• Centre du cercle : Le centre du cercle est le point $A(x_A,y_A)$ par rapport auquel on mesure les distances au rayon $r$.

📝 Points essentiels

• Une équation du cercle de centre $A(x_A,y_A)$ et de rayon $r$ est $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$.
• Méthode : pour un cercle passant par $B(3{,}5)$ et de centre $A(4,-1)$, on utilise la forme $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$ avec $r=AB$.
• Méthode : si l’équation est $x^2+y^2-2x-10y+17=0$, alors on cherche si elle est bien de cercle, puis on détermine son centre et son rayon.

💡 Astuce mémo

Cercle : $x$ et $y$ apparaissent avec des carrés, puis on regroupe pour obtenir $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre vecteur directeur et vecteur normal : le normal est orthogonal au directeur, pas parallèle.
2. Oublier que la colinéarité se teste par $xy'-yx'=0$ avec les composantes $(x,y)$ et $(x',y')$.
3. Se tromper sur le signe d’un vecteur directeur extrait de $ax+by+c=0$ : il faut bien $(-b,a)$.
4. Prendre une distance au carré sans racine : la formule de $AB$ contient bien la racine carrée.
5. Mélanger les moyennes pour le milieu : le milieu utilise $\frac{x_A+x_B}{2}$ et $\frac{y_A+y_B}{2}$.
6. Croire qu’une équation $x^2+y^2+\dots$ est toujours un cercle sans vérifier la structure permettant d’atteindre $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$.
7. Oublier que le projeté orthogonal impose une perpendicularité : le segment $AH$ doit être perpendiculaire à la droite cible.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner un vecteur directeur à partir de l’équation $ax+by+c=0$ sous la forme $(-b,a)$.
2. Savoir tester la colinéarité de $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ avec $xy'-yx'=0$.
3. Savoir relier parallélisme des droites et colinéarité de leurs vecteurs directeurs.
4. Savoir calculer une distance $AB$ avec $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
5. Savoir calculer le milieu $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.
6. Savoir construire une équation de droite à partir d’un point et d’un vecteur directeur (méthode annoncée).
7. Savoir construire une équation cartésienne à partir d’un point et d’un vecteur normal (méthode annoncée).
8. Savoir identifier qu’un vecteur normal d’une droite $ax+by+c=0$ est $(a,b)$.
9. Savoir définir le projeté orthogonal : le point sur la droite tel que la droite entre le point initial et le projeté soit perpendiculaire.
10. Savoir appliquer la méthode du projeté orthogonal sur une droite $d:x+3y-4=0$ à partir de $A(2{,}4)$.
11. Savoir écrire l’équation d’un cercle $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$.
12. Savoir déterminer un rayon $r$ pour un cercle passant par un point $B$ à partir de la donnée du centre $A$ (avec $r=AB$).
13. Savoir traiter $x^2+y^2-2x-10y+17=0$ : vérifier que c’est une équation de cercle, puis trouver centre et rayon.