Un vecteur directeur
Explication
Une droite de l’espace est déterminée par un point et un vecteur directeur, qui fixe sa direction. Un vecteur normal sert plutôt pour les plans.
Les coordonnées d’un point de la droite exprimées en fonction d’un paramètre réel
Explication
Les coordonnées d’un point de la droite s’écrivent en fonction d’un paramètre réel t. La forme est x=xA+at, y=yA+bt, z=zA+ct.
Lorsque leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
Explication
Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. L’égalité des normes ou des paramètres ne suffit pas.
Le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs
Explication
Deux droites sont orthogonales lorsque le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul. Les autres calculs ne donnent pas directement cette information.
Un vecteur normal au plan
Explication
Les coefficients a, b et c forment un vecteur normal au plan. Ce vecteur est orthogonal à toutes les directions contenues dans le plan.
ax+by+cz=0
Explication
Dans cette représentation, un plan s’écrit sous la forme ax+by+cz=0. Cette écriture permet d’identifier directement son vecteur normal.
Lorsque leurs vecteurs normaux sont colinéaires
Explication
Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Cela signifie qu’ils ont la même orientation.
Une droite d’intersection
Explication
Deux plans sécants ont une infinité de points communs alignés, ce qui forme une droite d’intersection. On l’obtient en résolvant le système des deux équations.
Son vecteur directeur n’est pas orthogonal au vecteur normal du plan
Explication
Si le produit scalaire entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan est non nul, la droite coupe le plan en un point unique. Si ce produit était nul, la droite serait parallèle au plan.
En substituant l’expression paramétrique de la droite dans l’équation du plan
Explication
On remplace les coordonnées paramétriques de la droite dans l’équation du plan, puis on résout le paramètre. Cela donne le point d’intersection unique lorsqu’il existe.
Son produit scalaire avec le vecteur normal du plan est non nul
Explication
Si le vecteur directeur de la droite n’est pas orthogonal au vecteur normal du plan, la droite n’est pas parallèle au plan et le coupe en un point unique. Un produit scalaire nul indiquerait au contraire une direction parallèle au plan.
On remplace la paramétrisation de la droite dans l’équation du plan pour trouver le paramètre
Explication
On écrit la droite sous forme paramétrique, puis on impose que ses coordonnées vérifient l’équation du plan afin d’obtenir la valeur du paramètre. La substitution donne ensuite directement le point d’intersection.
Mémorisez les réponses avec 12 flashcards sur Géométrie dans l'espace.
Représentation paramétrique — définition ?
Coordonnées en fonction d’un paramètre t.
Droite — point et vecteur ?
Point de passage + vecteur directeur.
Vecteur directeur — rôle ?
Indique la direction de la droite.
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