Fiche de révision : Grandeurs physiques et analyse dimensionnelle

📋 Plan du Cours

1. Notion de grandeur physique
2. Unités fondamentales du SI
3. Unités dérivées et grandeurs mécaniques
4. Écriture et cohérence des unités
5. Erreurs de conversion et unités anglo-saxonnes
6. Dimensions et analyse dimensionnelle
7. Logarithmes et exponentielles
8. Dérivées et dérivées partielles

📖 1. Notion de grandeur physique

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeur : Attribut d’un phénomène, d’un corps ou d’une substance, susceptible d’être distingué qualitativement et déterminé quantitativement.

★ À maîtriser

📌 Une grandeur mesurable est additive, car sa valeur peut être déterminée par observation et sa somme ou son produit possède une signification, contrairement à une grandeur repérable, dont la somme et le produit n’ont pas de sens.

Compléments

• Les exemples de grandeurs mesurables et repérables sont:
  • la longueur
  • la masse
  • le temps
  • la force
  • l’intensité électrique
  • la température
  • la date
  • le potentiel électrique

💡 Astuce mémo

Mesurable = addition possible ; repérable = addition sans sens

📖 2. Unités fondamentales du SI

🔑 Notions clés & Définitions

• Unité : Expression de la dimension qui permet de quantifier une grandeur.

★ À maîtriser

• Le Système international repose sur sept grandeurs fondamentales indépendantes, à partir desquelles toutes les grandeurs physiques, chimiques ou biologiques peuvent être exprimées.

• Les sept unités fondamentales du SI sont:

  • le mètre (m)
  • le kilogramme (kg)
  • la seconde (s)
  • l’ampère (A)
  • le kelvin (K)
  • la mole (mol)
  • la candela (cd)

Compléments

• Le kelvin est défini à partir de la constante de Boltzmann et 0 K correspond à −273,15 °C. — Conférence générale des poids et mesures, 2018

• Une mole correspond à une quantité de matière contenant autant d’unités élémentaires qu’il y a d’atomes dans 0,012 kg de carbone 12, avec une constante d’Avogadro égale à 6,022×10^23 mol−1.

💡 Astuce mémo

m-kg-s-A-K-mol-cd : les sept unités de base

📖 3. Unités dérivées et grandeurs mécaniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Force : Interaction d’un corps sur un autre pouvant provoquer la mise en mouvement, la modification d’un mouvement préexistant ou la déformation du corps.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le travail et l’énergie s’expriment en joules et le travail d’une force est le produit de la force par la distance de déplacement : $W = Fd$.

📐 Formule — La puissance correspond à une énergie transférée par unité de temps : $P = \frac{E}{t}$, soit $1\,W = 1\,J.s^{-1} = 1\,kg.m^2.s^{-3}$.

📐 Formule — La pression est une force exercée sur une surface : $p = \frac{F}{S}$, et son unité est le pascal, avec $1\,Pa = 1\,kg.m^{-1}.s^{-2}$.

Compléments

• Un tour correspond à 2π radians et le volume total d’une sphère correspond à 4π stéradians.

💡 Astuce mémo

Force → déplacement → travail ; énergie par unité de temps → puissance

📖 4. Écriture et cohérence des unités

★ À maîtriser

📌 Des grandeurs différentes ne peuvent pas être additionnées, mais elles peuvent être multipliées ou divisées ; ainsi 1 kg + 1 s est dépourvu de sens, tandis que 0,06 m3 + 5 L est possible.

• Les fonctions mathématiques ont des arguments sans dimension, comme dans cos(2πft) ou dans N(t) = N0e−λt, où λ s’exprime en s−1.

Compléments

📌 Dans une phrase, les noms d’unités s’écrivent en minuscules et peuvent prendre le pluriel, tandis que les symboles issus d’un nom propre prennent une majuscule.

📌 Les unités composées s’écrivent avec des puissances positives ou négatives, comme km.h−1, Pa.s et J.kg−1.

💡 Astuce mémo

Le nom s’écrit en minuscule ; le symbole issu d’un nom propre peut prendre une majuscule

📖 5. Erreurs de conversion et unités anglo-saxonnes

★ À maîtriser

• La mission Mars Climate Orbiter s’est écrasée en 1998 à cause d’une confusion entre les unités du SI N.m et l’unité anglo-saxonne livre-force, avec un facteur d’erreur d’environ 4,5.

Compléments

• En 1628, le navire suédois Wasa a chaviré, notamment en raison d’une asymétrie liée à l’emploi du pied suédois de 30,5 cm et du pied amstellodamois de 28 cm.

• L’unité de pression psi signifie « livre par pouce carré » ; avec 1 livre anglaise ≈ 454 g, 1 pouce = 2,54 cm et g ≈ 9,8 m.s−2, elle correspond à une force divisée par une surface.

💡 Astuce mémo

Confusion d’unités → erreur de calcul → conséquence expérimentale

📖 6. Dimensions et analyse dimensionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Dimension : Caractérise la nature d’une grandeur et définit les unités utilisables.

📝 Points essentiels

• L’analyse dimensionnelle ramène les grandeurs intervenant dans une formule aux grandeurs fondamentales du SI en les combinant par produits, quotients et puissances.

💡 Astuce mémo

Grandeur → unités fondamentales → équation aux dimensions

📖 7. Logarithmes et exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme : Fonction définie sur les réels strictement positifs, à valeurs réelles, qui transforme un produit en somme.
• Fonction exponentielle : Fonction continue des réels vers les réels strictement positifs qui transforme une somme en produit.

★ À maîtriser

• Le logarithme népérien, noté ln, est le logarithme de base e, avec e ≈ 2,718.

📌 Pour tout réel y et tout réel strictement positif x, y = ln(x) est équivalent à x = exp(y), également noté e^y.

Compléments

• Toute fonction logarithme vérifie log(1) = 0.

• La vitesse de la lumière dans le vide vaut approximativement 3×10^8 m.s−1, soit 3×10^5 km.s−1, et la constante de Planck vaut 6,62×10−34 J.s.

💡 Astuce mémo

Logarithme : produit → somme ; exponentielle : somme → produit

📖 8. Dérivées et dérivées partielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée partielle : Dérivée par rapport à une variable, les autres variables étant maintenues constantes.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction y = f(x,z,t), la dérivée partielle par rapport à x s’écrit ∂y/∂x et z ainsi que t sont considérées comme constantes.

📊 Tableaux de synthèse

Grandeurs mesurables et repérables