Fiche de révision : Hauteurs caractéristiques en hydraulique

📋 Plan du Cours

1. Écoulements surface libre
2. Vocabulaire canaux rivières
3. Charge hydraulique
4. Lois de frottement
5. Hauteurs caractéristiques
6. Régimes d'écoulement
7. Courbes de remous
8. Ressaut hydraulique
9. Charge spécifique
10. Régime critique Froude
11. Lois empiriques frottement
12. Hauteur normale et critique

📖 1. Écoulements surface libre

🔑 Notions clés & Définitions

• Surface libre : Surface en contact avec l’air à pression atmosphérique, séparant le fluide de l’atmosphère. La pression en cette surface est égale à la pression atmosphérique, ce qui distingue ces écoulements des écoulements en charge (source : C. Ancey).

• Hydraulique à surface libre : Type d’écoulement où la surface du fluide est en contact avec l’air, avec une pression atmosphérique constante. La surface libre peut varier en hauteur et forme selon le régime d’écoulement (source : Vazquez et Dufresne).

• Hydraulique en charge : Écoulement où la pression diffère de la pression atmosphérique, souvent dans des conduites fermées ou pressurisées. La surface du fluide n’est pas en contact direct avec l’atmosphère (source : C. Ancey).

• Exemples d’écoulements à surface libre : Canaux naturels (rivières, fleuves) et artificiels (canaux d’irrigation, navigables), où la surface d’eau est visible et en contact avec l’air (source : Vazquez et Dufresne).

• Caractéristique des écoulements à surface libre dans conduites : Peut se produire dans des canaux ouverts ou dans des conduites où la surface est en contact avec l’air, notamment lors de débordements ou de pertes de charge, avec des variations de hauteur et de vitesse (source : Degoutte).

📝 Points essentiels

• La surface libre est une caractéristique fondamentale des écoulements en canaux ouverts, permettant la présence d’une interface visible entre le fluide et l’atmosphère, à pression atmosphérique.

• La différence principale entre hydraulique à surface libre et hydraulique en charge réside dans la nature de la pression à la surface du fluide : constante et égale à la pression atmosphérique pour la surface libre, variable pour l’écoulement en charge.

• La majorité des écoulements dans les canaux naturels et artificiels sont à surface libre, ce qui influence la modélisation, la détermination des lois de frottement, et la classification des régimes d’écoulement.

• Dans les conduites, la surface libre peut apparaître lors de débordements ou dans des sections où la pression est proche de la pression atmosphérique, notamment dans les canaux à ciel ouvert ou lors de phénomènes de vagues et remous.

• La présence d’une surface libre implique que l’écoulement peut être soumis à des régimes variés (permanent, graduellement ou rapidement varié), influençant la forme des courbes de remous et la dynamique des ressauts.

💡 À retenir

Les écoulements à surface libre se caractérisent par une interface en contact avec l’air à pression atmosphérique, ce qui distingue ces écoulements des écoulements en charge. Leur étude est essentielle pour comprendre la dynamique des canaux naturels et artificiels, notamment en ce qui concerne la variation de la hauteur d’eau, la formation de courbes de remous et la gestion des phénomènes de ressaut hydraulique.

📖 2. Vocabulaire canaux rivières

🔑 Notions clés & Définitions

• Bief : Tronçon homogène en pente et section, caractérisé par une pente de fond moyenne et une section d’écoulement constante. (Source : C. Ancey)
• Classification des cours d’eau selon pente longitudinale :
  • Rivières de plaine : pente I < 3 %
  • Rivières torrentielles : 3 % < I < 6 %
  • Torrents : I > 6 %
    (Source : C. Ancey)
• Types d’écoulements à surface libre : Selon la variabilité spatiale et temporelle des caractéristiques hydrauliques (hauteur d’eau, vitesse) :
  • Régime permanent (stationnaire) : caractéristiques constantes dans le temps
  • Régime uniforme : caractéristiques constantes le long du bief
  • Régime graduellement varié : variation faible de hauteur d’eau
  • Régime rapidement varié : variation importante, souvent lors de singularités (ex : ressaut)
    (Source : Vazquez et Dufresne)
• Largeur au miroir (B) : La largeur de la section d’écoulement au niveau de la surface libre, mesurée en mètres. (Source : Vazquez et Dufresne)
• Profondeur hydraulique (Dh) : Hauteur moyenne d’eau dans la section d’écoulement, définie par Dh = S / B, où S est la surface mouillée. (Source : Vazquez et Dufresne)
• Rayon hydraulique (Rh) : Longueur caractéristique du conduit, définie par Rh = S / P, avec P le périmètre mouillé. (Source : Vazquez et Dufresne)

📝 Points essentiels

• La classification des cours d’eau repose sur la pente longitudinale du lit, permettant de distinguer les rivières de plaine, torrentielles et torrents, ce qui influence leur régime d’écoulement.
• Les écoulements à surface libre se caractérisent par une surface en contact avec l’air à pression atmosphérique, contrairement aux écoulements en charge où la pression diffère de la pression atmosphérique. La majorité des cours d’eau naturels et artificiels sont à surface libre.
• La section d’écoulement est définie par la largeur au miroir (B), la surface mouillée (S), la profondeur hydraulique (Dh), et le périmètre mouillé (P). Ces notions sont cruciales pour le calcul du débit et des vitesses.
• La classification des écoulements selon leur variabilité spatiale et temporelle permet d’identifier leur régime : permanent, uniforme, graduellement ou rapidement varié, ce qui est essentiel pour l’analyse hydraulique.
• La pente du lit influence directement la nature de l’écoulement, notamment en relation avec la pente critique et la hauteur critique, qui déterminent si l’écoulement est fluvial ou torrentiel.

💡 À retenir

Les caractéristiques géométriques et la pente du lit déterminent le régime d’écoulement d’un cours d’eau, influençant la variabilité de la hauteur d’eau, la vitesse, et la classification en rivière de plaine, torrent ou torrentiel.

📖 3. Charge hydraulique

🔑 Notions clés & Définitions

• Charge hydraulique (H) : Énergie par unité de poids en un point d’un écoulement, comprenant la hauteur de la ligne de charge, la hauteur d’eau, et l’énergie cinétique.
  Formule :
  $H = z_f + h + \frac{V^2}{2g}$
  où $z_f$ est la cote du fond, $h$ la hauteur d’eau, $V$ la vitesse, et $g$ la gravité.
  (Source : Degoutte)

• Charge spécifique (Hs) : Énergie par unité de poids associée à une section donnée, intégrant la hauteur d’eau et l’énergie cinétique.
  Définition :
  $H_s = h + \frac{Q^2}{2gS^2}$
  où $Q$ est le débit, $S$ la surface mouillée.
  (Source : Degoutte)

• Variation de la charge spécifique : Elle dépend de la hauteur d’eau $h$ et du nombre de Froude $F$. Elle peut être constante (régime uniforme), croissante ou décroissante selon le régime d’écoulement.
  Lien avec le régime d’écoulement :

  • Régime uniforme : $H_s$ constant
  • Régime croissant/décroissant : $H_s$ varie avec $h$
    (Source : Degoutte)

• Lien entre charge spécifique et régime d’écoulement : La charge spécifique atteint un minimum en régime critique où $F=1$, correspondant à la hauteur critique $h_c$.
  (Source : Degoutte)

• Charge hydraulique et pente de frottement (J) : La pente de la ligne de charge $J$ est donnée par :
  $J = - \frac{dH}{dx}$
  Elle représente la perte d’énergie par unité de longueur dans l’écoulement.
  (Source : Degoutte)

📝 Points essentiels

• La charge hydraulique $H$ combine l’énergie potentielle (hauteur du fond $z_f$), la hauteur d’eau $h$, et l’énergie cinétique ($V^2/2g$).
• La charge spécifique $H_s$ est une version simplifiée, utile pour analyser la variation d’énergie dans un canal.
• La variation de $H_s$ avec $h$ permet de caractériser le régime d’écoulement :
  • $H_s$ constant dans un régime uniforme,
  • $H_s$ croissant ou décroissant dans un régime non uniforme.
• La hauteur critique $h_c$ correspond au minimum de $H_s$ et au régime critique où $F=1$.
• La pente de la ligne de charge $J$ est liée aux pertes par frottement et à la variation d’énergie le long du canal.

💡 À retenir

La charge hydraulique représente l’énergie totale par unité de poids en un point, et sa variation selon la hauteur d’eau et le régime d’écoulement permet de caractériser la nature de l’écoulement (uniforme, croissant, décroissant). La charge spécifique est un indicateur clé pour analyser ces variations et identifier le régime critique.

📖 4. Lois de frottement

🔑 Notions clés & Définitions

• Lois empiriques de frottement : relations expérimentales reliant la pente d’énergie (J) aux variables d’écoulement (V, h), permettant d’évaluer les pertes de charge dues aux frottements et à la turbulence.
• Manning-Strickler (1889) : formule exprimant la vitesse d’écoulement V en fonction du rayon hydraulique Rh, de la pente J et du coefficient de rugosité K :
  $V = K \, Rh^{2/3} \, J$
• Chézy (1855) : relation liant la vitesse V, le rayon hydraulique Rh, la pente J et le coefficient de Chézy C :
  $V = C \, Rh^{1/2} \, J$
• Darcy-Weisbach (1857) : formule intégrant le facteur de frottement f pour déterminer la vitesse V :
  $V = \sqrt{\frac{8g \, R_h \, J}{f}}$
• Coefficient de rugosité K (ou de Strickler n) : paramètre caractérisant la rugosité des parois du lit, relié au coefficient de Manning par $K = 1/n$.
• Coefficient de Chézy C : dépend de la nature des parois et du rayon hydraulique, souvent déterminé empiriquement.

📝 Points essentiels

• Les lois de frottement expriment les pertes régulières d’énergie dues aux frottements sur le lit et à la turbulence, en reliant la pente d’énergie J à la vitesse V et à la hauteur d’eau h.
• La formule de Manning-Strickler, la plus couramment utilisée, relie la vitesse à la rayon hydraulique et à la pente :
  $V = K \, Rh^{2/3} \, J$ où $K = 1/n$ avec n coefficient de Manning.
• La formule de Chézy est une version simplifiée, dépendant du coefficient C :
  $V = C \, Rh^{1/2} \, J$
• La formule de Darcy-Weisbach introduit le facteur de frottement f, souvent déterminé par la formule de Colebrook-White, pour calculer la vitesse dans des écoulements turbulents.
• La pente d’énergie J est généralement égale à la pente longitudinale du lit I dans un écoulement uniforme, ce qui relie directement la topographie à la dynamique de l’écoulement.

💡 À retenir

Les lois de frottement permettent de modéliser les pertes d’énergie dans un écoulement en reliant la pente d’énergie aux variables d’écoulement, avec des formules empiriques telles que Manning-Strickler, Chézy, et Darcy-Weisbach, essentielles pour l’analyse hydraulique des canaux et rivières.

📖 5. Hauteurs caractéristiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Hauteur normale (hn) : hauteur d’écoulement en régime permanent uniforme, correspondant à la hauteur d’eau lorsque l’écoulement est stationnaire et stable, calculée par la formule de Manning-Strickler dans un canal large (B >> h). (Degoutte)
• Hauteur critique (hc) : hauteur d’écoulement pour laquelle le nombre de Froude F = 1, indiquant le régime limite entre écoulement subcritique et supercritique. Elle correspond à la hauteur où la charge spécifique est minimale. (Degoutte)
• Pente critique (Ic) : pente du canal pour un débit donné, qui permet d’établir le régime critique (F=1). Dans un canal large, elle se calcule par la formule Ic = Q / (K B hc^{5/3}) (avec K un coefficient lié à la formule de Manning). (Degoutte)

📝 Points essentiels

• La hauteur normale hn est déterminée par la formule :
  $h_n = \left( \frac{Q}{K B I^{2/3}} \right)^{3/5}$
  où Q est le débit, B la largeur, I la pente, et K un coefficient de Manning-Strickler.
• La hauteur critique hc s’obtient en posant F = 1, ce qui donne :
  $h_c = \left( \frac{Q^2}{g B^2} \right)^{1/3}$
  pour un canal large (B >> h).
• La pente critique Ic est la pente pour laquelle un débit Q s’écoule en régime critique, calculée par :
  $I_c = \frac{Q}{K B h_c^{5/3}}$
• La relation entre hn, hc, et le régime d’écoulement est essentielle :
  • Si $h > h_c$, l’écoulement est subcritique (F < 1).
  • Si $h < h_c$, l’écoulement est supercritique (F > 1).
• La hauteur normale est généralement supérieure ou égale à la hauteur critique dans un régime fluvial. La hauteur critique définit le régime limite entre écoulement calme et écoulement rapide.
• La pente critique Ic est liée à la hauteur critique hc et au débit Q, permettant d’identifier le régime d’écoulement dans un canal.

💡 À retenir

Les hauteurs normales et critiques sont des paramètres fondamentaux pour caractériser l’état d’un écoulement dans un canal : la hauteur normale correspond à un régime stable et permanent, tandis que la hauteur critique marque le seuil entre écoulement subcritique et supercritique, influençant la dynamique et la stabilité de l’écoulement.

📖 6. Régimes d'écoulement

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime fluvial (subcritique) : écoulement caractérisé par un nombre de Froude F < 1, associé à une faible vitesse et une hauteur d’eau élevée, typique des rivières de plaine. AUTEUR (date) : défini par la condition F < 1, régime où l’énergie est principalement dissipée par la gravité.
• Régime torrentiel (supercritique) : écoulement où F > 1, avec une forte vitesse et une faible hauteur d’eau, souvent rencontré dans les torrents ou zones de pente forte. AUTEUR (date) : caractérisé par F > 1, régime où l’énergie cinétique prédomine.
• Régime critique : situation où F = 1, régime limite entre fluvial et torrentiel, associé à une hauteur d’eau spécifique appelée hauteur critique hc. AUTEUR (date) : F = 1, correspondant à un état d’équilibre dynamique entre énergie potentielle et cinétique.

📝 Points essentiels

• Le nombre de Froude F est défini par F = V / (g h)^0.5, où V est la vitesse moyenne, g la gravité, et h la hauteur d’eau.
• La pente critique Ic correspond à la pente pour laquelle le débit s’écoule en régime critique, c’est-à-dire F = 1. Elle se calcule en fonction du débit Q, de la largeur B, et de la hauteur critique hc (pour un canal large, hc = (Q^2 / (g B^2))^{1/3} selon Vazquez et Dufresne).
• La distinction entre régimes est essentielle pour la modélisation hydraulique, la conception de canaux, et la gestion des crues.
• La courbe de remous décrit la variation de hauteur d’eau dans un canal en régime graduellement varié, en tenant compte des pertes par frottement. Elle permet de visualiser la transition entre différents régimes.
• Le ressaut hydraulique correspond à une variation brutale de hauteur d’eau lors du passage d’un régime torrentiel à un régime fluvial, généralement associé à un phénomène de conjugaison entre deux hauteurs h1 et h2.

💡 À retenir

Les régimes d’écoulement, définis par le nombre de Froude, déterminent la dynamique de l’eau dans un canal ou une rivière, influençant la conception hydraulique, la stabilité du lit, et la gestion des phénomènes extrêmes comme les crues ou les ressauts.

📖 7. Courbes de remous

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe de remous : courbe décrivant la variation de la hauteur d’eau dans un canal en régime permanent et graduellement varié, obtenue par un bilan énergétique intégrant les pertes par frottement (Vazquez et Dufresne).
• Équation de la courbe de remous : relation mathématique non-linéaire du premier ordre pour h(x), dérivée d’un bilan énergétique avec pertes, spécifique aux canaux larges. Elle inclut la pente de frottement J, la pente du lit I, et le nombre de Froude F (Vazquez et Dufresne).
• Classification des profils : profils M (mild) pour hn > hc (régime fluvial) et profils S (steep) pour hn < hc (régime torrentiel), selon la relation entre hauteur normale hn et hauteur critique hc (Vazquez et Dufresne).
• Pente de frottement J : pente d’énergie ou pente de la ligne de charge, définie par le bilan énergétique avec pertes par frottement, reliée à la pente du lit I, au nombre de Froude F, et aux variables d’écoulement (Degoutte).
• Lien entre Froude, hn, et hc : Froude F = 1 correspond au régime critique, avec hc comme hauteur critique, hn comme hauteur normale ; F > 1 indique un écoulement torrentiel, F < 1 un écoulement fluvial (Degoutte).

📝 Points essentiels

• La courbe de remous est obtenue par un bilan énergétique intégrant les pertes par frottement, en supposant une vitesse uniforme dans la section et une pression hydrostatique (Vazquez et Dufresne).
• Dans un canal large, l’équation de la courbe de remous s’écrit sous une forme spécifique reliant la variation de hauteur h(x) à la position x, en fonction de F, B, I, et J. La relation est non-linéaire et dépend du régime d’écoulement.
• La classification en profils M ou S dépend de la relation entre hn et hc :
  • Profil M (mild) : hn > hc, régime fluvial, pente douce.
  • Profil S (steep) : hn < hc, régime torrentiel, pente abrupte.
• La pente de frottement J est liée à la pente du lit I, au nombre de Froude F, et à la vitesse d’écoulement, permettant d’établir l’évolution de h(x).
• La relation entre hn, hc, et F permet de déterminer le régime d’écoulement et la stabilité de la section, en particulier dans le contexte de variations graduelles de la hauteur d’eau.

💡 À retenir

Les courbes de remous modélisent la variation de la hauteur d’eau dans un canal en régime graduellement varié, en reliant la pente d’énergie, la vitesse, et la régime d’écoulement, avec une classification en profils M ou S selon la relation entre hauteur normale et critique.

📖 8. Ressaut hydraulique

🔑 Notions clés & Définitions

• Ressaut hydraulique : Variation brutale de la hauteur d’eau lors du passage d’un régime torrentiel à un régime fluvial, caractérisée par une discontinuité dans la surface d’eau.
• Relation de conjugaison : Relation mathématique entre les hauteurs amont (h1) et aval (h2) du ressaut, sous hypothèses (section rectangulaire, frottement négligeable, pression hydrostatique, écoulement permanent, ressaut immobile, profil de vitesse uniforme, pertes de charge). Selon Ancey (date), cette relation permet de déterminer h2 en fonction de h1.
• Longueur du ressaut (L) : Distance entre la zone amont et la zone où toute l’énergie est pratiquement dissipée, incluant différentes définitions telles que la longueur du rouleau (Lr), la longueur du ressaut hydraulique (Lj), et la longueur nécessaire pour que la vitesse près du fond soit identique à la vitesse moyenne (Lf).
• Influence du nombre de Froude (F) : Le nombre de Froude détermine la forme du ressaut hydraulique ; F > 1 (supercritique) favorise un ressaut abrupt, F < 1 (subcritique) un ressaut plus doux. La forme et la longueur du ressaut dépendent de cette grandeur, comme le montrent Degoutte (date).
• Abaques pour estimation : Outils graphiques permettant d’évaluer la longueur du ressaut L en fonction de paramètres tels que le Froude, la hauteur d’eau, et la pente du lit, simplifiant ainsi la conception et l’analyse pratique.

📝 Points essentiels

• Le ressaut hydraulique se produit lors du passage d’un régime torrentiel (F > 1) à un régime fluvial (F < 1), avec une discontinuité brutale de la surface d’eau.
• La relation de conjugaison entre h1 et h2 repose sur des hypothèses simplificatrices : section rectangulaire, absence de frottement, pression hydrostatique, écoulement permanent, profil de vitesse uniforme, et ressaut immobile, permettant une modélisation analytique.
• La longueur du ressaut (L) est difficile à définir précisément, mais plusieurs longueurs caractéristiques existent : la longueur du rouleau (Lr), la longueur du ressaut hydraulique (Lj), et la longueur pour vitesse uniforme (Lf). Ces longueurs sont estimées à l’aide d’abaques ou de relations empiriques.
• Le nombre de Froude (F) influence fortement la forme du ressaut : F > 1 induit un ressaut abrupt et instable, F < 1 un ressaut plus progressif. La forme du ressaut est également liée à la dissipation d’énergie et aux pertes par frottement, qui sont négligeables sous certaines hypothèses.
• La longueur du ressaut est généralement estimée à partir d’abaques ou de relations empiriques, facilitant la conception des ouvrages hydrauliques et la prévision des phénomènes de surverse ou d’érosion.

💡 À retenir

Le ressaut hydraulique est une discontinuité brutale de la surface d’eau lors du passage d’un régime torrentiel à fluvial, dont la forme et la longueur dépendent principalement du nombre de Froude et des hypothèses simplificatrices sur l’écoulement.

📖 9. Charge spécifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Charge spécifique (Hs) : énergie par unité de poids en un point, définie par la formule $H_s = h + \frac{Q^2}{2gS^2}$ selon Degoutte (date non précisée). Elle représente la somme de la hauteur d’eau $h$ et de l’énergie cinétique normalisée par la section mouillée $S$.

• Lien entre charge spécifique et régime d’écoulement : La charge spécifique reste constante dans un régime permanent et uniforme. Elle peut croître ou décroître dans un écoulement non uniforme, selon que le régime est croissant ou décroissant, influencé par la variation de $h$ pour un débit donné, et liée au nombre de Froude (voir aussi la notion de régime critique).

• Variation de la charge spécifique avec la hauteur d’eau : Pour un débit constant $Q$, la charge spécifique $H_s$ dépend de $h$. Elle atteint un minimum lorsque le nombre de Froude $F = 1$ (régime critique), et varie selon la relation $\frac{dH_s}{dh} = 1 - F^2$, comme indiqué par Degoutte.

• Lien entre charge spécifique et nombre de Froude : La charge spécifique $H_s$ est minimale à $F=1$ (régime critique). Si $F<1$, $H_s$ décroît avec $h$, et si $F>1$, $H_s$ croît avec $h$. La relation est donnée par $\frac{dH_s}{dh} = 1 - F^2$.

📝 Points essentiels

• La charge spécifique $H_s$ combine la hauteur d’eau $h$ et l’énergie cinétique normalisée, permettant d’évaluer l’énergie totale par unité de poids en un point.

• La variation de $H_s$ avec $h$ est directement liée au régime d’écoulement via le nombre de Froude $F$. Elle est constante en régime uniforme, croissante ou décroissante dans les écoulements non uniformes.

• La valeur minimale de $H_s$ correspond au régime critique $F=1$, où l’énergie est en équilibre entre régime subcritique et supercritique.

• La formule $H_s = h + \frac{Q^2}{2gS^2}$ permet de calculer la charge spécifique à partir des paramètres locaux de l’écoulement.

• La pente de la ligne de charge $J$ est reliée à la variation de $H$ le long de la canalisation, influençant la dynamique de l’écoulement.

💡 À retenir

La charge spécifique $H_s$ est un indicateur clé de l’énergie totale dans un écoulement, dont la variation avec la hauteur d’eau $h$ révèle le régime d’écoulement via le nombre de Froude, étant minimale en régime critique.

📖 10. Régime critique Froude

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime critique : état d’écoulement où le nombre de Froude F = 1, correspondant à un équilibre entre inertie et gravité, caractérisé par une vitesse d’écoulement précise. AUTEUR (Degoutte, 2000) : "Le régime critique est atteint lorsque F = 1, ce qui marque la limite entre écoulement subcritique et supercritique."
• Hauteur critique hc : hauteur d’eau pour laquelle Froude F = 1, représentant le point d’équilibre entre énergie potentielle et cinétique. AUTEUR (Degoutte, 2000) : "La hauteur critique hc est la hauteur d’eau associée à un écoulement en régime critique."
• Minimisation de la charge spécifique : caractéristique du régime critique où la charge hydraulique Hs atteint un minimum, indiquant un état d’écoulement limite. AUTEUR (Degoutte, 2000) : "Le régime critique correspond à la valeur de h pour laquelle la charge spécifique Hs est minimale."
• Lien entre régime critique, hc et Q : pour un débit Q donné, la hauteur critique hc est celle pour laquelle F = 1, établissant une relation directe entre débit, hauteur et régime d’écoulement. AUTEUR (Degoutte, 2000) : "La hauteur critique hc dépend du débit Q et de la section d’écoulement."
• Condition du Froude F = 1 : relation entre vitesse V, hauteur h, et gravité g, exprimée par F = V / √(g h). Elle définit le seuil entre écoulement subcritique (F < 1) et supercritique (F > 1). AUTEUR (Degoutte, 2000) : "L’état critique est atteint lorsque F = 1, c’est-à-dire lorsque V = √(g h)."

📝 Points essentiels

• Le régime critique se produit lorsque le nombre de Froude F = 1, ce qui correspond à un équilibre entre inertie et gravité dans l’écoulement.
• La hauteur critique hc est celle pour laquelle la charge spécifique Hs est minimale, ce qui implique que l’écoulement est en limite entre régime subcritique (F<1) et supercritique (F>1).
• La relation F = V / √(g h) permet de déterminer si un écoulement est critique, subcritique ou supercritique.
• La hauteur critique hc dépend du débit Q, de la section d’écoulement, et peut être calculée à partir des formules spécifiques pour un canal large ou une section donnée.
• La compréhension du régime critique est essentielle pour analyser la stabilité, la propagation des ondes et la formation de phénomènes comme le ressaut hydraulique.

💡 À retenir

Le régime critique, défini par F = 1, représente le point limite entre écoulement subcritique et supercritique, caractérisé par une charge spécifique minimale et une relation précise entre vitesse, hauteur et débit.

📖 11. Lois empiriques frottement

🔑 Notions clés & Définitions

• Lois de frottement (empiriques) : Relations expérimentales établissant la connexion entre la pente d’énergie (J), la vitesse (V), la hauteur d’eau (h), et les coefficients de frottement dans un écoulement, permettant d’évaluer les pertes de charge dues aux frottements le long du lit.
• Manning-Strickler (1889) : Loi exprimant la vitesse moyenne V en fonction du rayon hydraulique Rh, de la pente J, et du coefficient de Strickler K :
  $V = K \, Rh^{2/3} \, J$
  où K est relié au coefficient de Manning n par $K = 1/n$.
• Chézy (1855) : Loi reliant la vitesse V au rayon hydraulique Rh, à la pente J, et au coefficient de Chézy C :
  $V = C \, Rh^{1/2} \, J$
  C dépend de la nature des parois et du rayon hydraulique.
• Darcy-Weisbach (1857) : Loi basée sur la dissipation d’énergie turbulente, exprimant la vitesse V en fonction du coefficient de frottement f :
  $V = \sqrt{\frac{8 g R_h J}{f}}$
  où f est le coefficient de perte de charge.
• Coefficient de rugosité (K ou n) : Paramètre empirique caractérisant la rugosité des parois du lit, influençant la résistance à l’écoulement.
• Coefficient de Chézy (C) : Paramètre dépendant de la nature des parois et du rayon hydraulique, généralement déterminé par référence ou expérimental.

📝 Points essentiels

• Les lois de frottement sont essentielles pour modéliser les pertes de charge dans les écoulements à surface libre, notamment dans les canaux et rivières.
• La loi de Manning-Strickler est la plus couramment utilisée en hydraulique fluviale, avec la relation :
  $V = K \, Rh^{2/3} \, J$
  où $K = 1/n$, n étant le coefficient de Manning, dont les valeurs varient selon la nature des parois (ex : n ≈ 0,02 pour des parois rocheuses, n ≈ 0,035 pour des canaux en béton).
• La formule de Chézy est souvent utilisée pour des canaux rectilignes, avec :
  $V = C \, Rh^{1/2} \, J$
  C dépend de la rugosité et du type de parois.
• La formule de Darcy-Weisbach relie la vitesse à un coefficient de frottement f, qui peut être calculé par la formule de Colebrook-White pour les écoulements turbulents.
• Les coefficients de rugosité K (ou n) et C sont liés à la nature des parois : valeurs indicatives disponibles selon la typologie des surfaces (ex : roche, béton, terre).

💡 À retenir

Les lois empiriques de frottement, telles que Manning-Strickler, Chézy, et Darcy-Weisbach, permettent d’évaluer les pertes de charge dans un écoulement en reliant la pente d’énergie, la vitesse, et la rugosité des parois, facilitant la modélisation hydraulique des canaux et rivières.

📖 12. Hauteur normale et critique

🔑 Notions clés & Définitions

• Hauteur normale (hn) : Hauteur d’écoulement en régime permanent uniforme, correspondant à la pente d’énergie J, calculée par la formule de Manning-Strickler dans un canal large :
  $\boxed{h_n = \left(\frac{Q}{K B I^{3/5}}\right)^{5/3}}$ selon Degoutte (date non précisée).

• Hauteur critique (hc) : Hauteur d’écoulement pour laquelle le nombre de Froude F = 1, indiquant le régime critique. Pour un canal large :
  $\boxed{h_c = \left(\frac{Q^2}{g B^2}\right)^{1/3}}$ selon Degoutte (date non précisée).

• Lien entre hn, hc, et classification des profils d’écoulement :

  • Si $h_n > h_c$, l’écoulement est de type fluvial (régime subcritique, F < 1).
  • Si $h_n < h_c$, l’écoulement est de type torrentiel (régime supercritique, F > 1).
  • La relation entre ces hauteurs détermine la nature du profil de remous (M ou S) selon Vazquez et Dufresne.

• Relation entre pente du canal (I), pente critique (Ic), et régime d’écoulement :

  • La pente critique $I_c$ pour un débit Q dans un canal large est donnée par :
    $\boxed{I_c = \frac{Q^{2/3}}{K B^{5/3}}}$
  • Si la pente réelle $I$ est inférieure à $I_c$, l’écoulement est fluvial ; si elle est supérieure, il est torrentiel.

📝 Points essentiels

• La hauteur normale $h_n$ dépend du débit $Q$, de la largeur $B$, de la pente $I$, et du coefficient de rugosité $K$ (formule de Manning-Strickler).
• La hauteur critique $h_c$ est une propriété intrinsèque de l’écoulement, définie par le Froude F=1, et dépend uniquement du débit $Q$, de la largeur $B$, et de la gravité $g$.
• La classification des profils d’écoulement (M ou S) repose sur la comparaison entre $h_n$ et $h_c$.
• La pente critique $I_c$ indique le régime d’écoulement pour un débit donné, permettant de prévoir si l’écoulement sera fluvial ou torrentiel.
• La formule de $h_n$ dans un canal large :
  $h_n = \left(\frac{Q}{K B I^{3/5}}\right)^{5/3}$
• La formule de $h_c$ dans un canal large :
  $h_c = \left(\frac{Q^2}{g B^2}\right)^{1/3}$

💡 À retenir

Les hauteurs normale et critique sont essentielles pour caractériser le régime d’écoulement dans un canal, permettant d’anticiper le comportement hydraulique et la classification du profil d’écoulement, en relation avec la pente du canal et le débit.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre surface libre et écoulement en charge : la pression en surface libre est toujours $p_{atm}$, contrairement à l’écoulement en charge.
2. Assimiler la hauteur critique $h_c$ à la hauteur d’eau moyenne : $h_c$ correspond à l’état critique où $F=1$.
3. Confondre la pente de la ligne de charge $J$ avec la pente du lit : $J$ représente la variation d’énergie, pas la pente topographique.
4. Croire que la charge hydraulique $H$ ne varie pas dans un écoulement permanent : elle peut varier si la pente ou la section change.
5. Confondre régime graduellement varié et régime rapidement varié : le premier est lent, le second implique des phénomènes comme ressauts ou vagues.
6. Oublier que la classification des cours d’eau dépend aussi de la pente, pas uniquement de la vitesse ou de la hauteur.
7. Ne pas faire attention à la différence entre la surface mouillée $S$ et la largeur au miroir $B$.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition précise de surface libre et ses différences avec l’écoulement en charge, selon C. Ancey.
2. Savoir classifier un cours d’eau selon sa pente longitudinale (plaine, torrentielle, torrent) avec leurs plages de pente.
3. Maîtriser la formule de la charge hydraulique $H = z_f + h + \frac{V^2}{2g}$ et ses composants.
4. Comprendre la notion de charge spécifique $H_s$ et son rôle dans l’analyse du régime d’écoulement.
5. Identifier le régime d’écoulement à partir de la variation de $H_s$ : constant (uniform), croissant ou décroissant.
6. Connaître la définition de la hauteur critique $h_c$ et son lien avec le régime critique ($F=1$) selon Degoutte.
7. Savoir calculer la largeur au miroir $B$, la profondeur hydraulique $D_h$, et le rayon hydraulique $R_h$.
8. Être capable d’identifier si un écoulement est à surface libre ou en charge dans un problème donné.
9. Connaître la différence entre écoulements permanents, uniformes, graduellement ou rapidement variés, avec exemples.
10. Savoir expliquer la signification de la pente de la ligne de charge $J$ et son importance dans la perte d’énergie.
11. Maîtriser la classification des écoulements en fonction de la pente et de la vitesse, en se référant à Ancey.
12. Vérifier la maîtrise du vocabulaire spécifique : bief, régime, surface libre, hauteur critique, etc.