Introduction à la dérivabilité et au taux d'accroissement

📋 Plan du Cours

1. Nombres dérivés
2. Définition taux d'accroissement
3. Fonction dérivable en xo
4. Limite du taux d'accroissement
5. Notations de la dérivée

📖 1. Nombres dérivés

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d'accroissement :
  Soit $f$, une fonction définie sur un intervalle $I$, $x_0$ un réel de $I$, et $h$ un réel non nul tel que $x_0 + h \in I$.
  Le taux d'accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x_0 + h$ est le nombre :
  $Th(x_0) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

• Fonction dérivable en $x_0$ :
  Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0$ un réel de $I$.
  $f$ est dérivable en $x_0$ si le taux d'accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x_0 + h$ tend vers un nombre réel lorsque $h$ tend vers 0.
  Si ce nombre existe, il s'agit du nombre dérivé de $f$ en $x_0$, noté $f'(x_0)$.
  La limite s'écrit :
  $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0)$

📝 Points essentiels

• Le taux d'accroissement est une mesure moyenne de la variation de la fonction sur un intervalle $[x_0, x_0 + h]$.
• La dérivabilité en un point $x_0$ implique que le taux d'accroissement entre $x_0$ et $x_0 + h$ devient proche d'une valeur précise lorsque $h$ devient très petit.
• La valeur limite du taux d'accroissement lorsque $h \to 0$ définit la dérivée en ce point.
• La dérivée $f'(x_0)$ représente la pente de la tangente à la courbe en $x_0$.