Fiche de révision : Introduction à la dérivabilité et au taux d'accroissement

📋 Plan du Cours

1. Nombres dérivés
2. Définition taux d'accroissement
3. Fonction dérivable en xo
4. Limite du taux d'accroissement
5. Notations de la dérivée

📖 1. Nombres dérivés

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d'accroissement :
  Soit $f$, une fonction définie sur un intervalle $I$, $x_0$ un réel de $I$, et $h$ un réel non nul tel que $x_0 + h \in I$.
  Le taux d'accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x_0 + h$ est le nombre :
  $Th(x_0) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

• Fonction dérivable en $x_0$ :
  Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0$ un réel de $I$.
  $f$ est dérivable en $x_0$ si le taux d'accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x_0 + h$ tend vers un nombre réel lorsque $h$ tend vers 0.
  Si ce nombre existe, il s'agit du nombre dérivé de $f$ en $x_0$, noté $f'(x_0)$.
  La limite s'écrit :
  $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0)$

📝 Points essentiels

• Le taux d'accroissement est une mesure moyenne de la variation de la fonction sur un intervalle $[x_0, x_0 + h]$.
• La dérivabilité en un point $x_0$ implique que le taux d'accroissement entre $x_0$ et $x_0 + h$ devient proche d'une valeur précise lorsque $h$ devient très petit.
• La valeur limite du taux d'accroissement lorsque $h \to 0$ définit la dérivée en ce point.
• La dérivée $f'(x_0)$ représente la pente de la tangente à la courbe en $x_0$.

💡 À retenir

Le nombre dérivé en un point est la limite du taux d'accroissement lorsque l'intervalle devient infiniment petit, ce qui traduit la pente de la tangente à la courbe en ce point.

📖 2. Définition taux d'accroissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d'accroissement : Selon NOMBRES DÉRIVÉS (voir section 1), c'est le rapport entre la variation de la fonction et la variation de la variable, entre deux points x₀ et x₀ + h. Il est défini par la formule :
  $Th(xo) = \frac{f(xo + h) - f(xo)}{h}$

• Limite du taux d'accroissement : La valeur que tend à prendre le taux d'accroissement lorsque h tend vers 0, si cette limite existe. Elle permet de définir la dérivabilité en un point.

📝 Points essentiels

• Le taux d'accroissement mesure la pente moyenne de la fonction entre deux points x₀ et x₀ + h.
• La dérivabilité en un point xo est caractérisée par l'existence de la limite du taux d'accroissement lorsque h → 0.
• La limite du taux d'accroissement lorsque h tend vers 0, si elle existe, est appelée la dérivée de la fonction en ce point, notée f'(xo).
• La formule de la limite est :
  $\lim_{h \to 0} \frac{f(xo + h) - f(xo)}{h} = f'(xo)$

💡 À retenir

Le taux d'accroissement est la moyenne de la variation de la fonction sur un intervalle, et la limite de ce taux lorsque l'intervalle devient infinitésimal définit la dérivée en un point.

📖 3. Fonction dérivable en xo

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivable en xo : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et xo un réel de I. f est dérivable en xo si le taux d'accroissement de f entre xo et xo + h tend vers un nombre réel lorsque h tend vers 0. Si ce nombre existe, il s'agit du nombre dérivé de f en xo, noté f'(xo). La limite s'écrit :
  $\lim_{h \to 0} \frac{f(xo + h) - f(xo)}{h} = f'(xo)$

• Existence de la dérivée : La dérivée de f en xo existe si et seulement si cette limite est finie et déterminée.

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en un point xo implique que le taux d'accroissement entre xo et xo + h admet une limite finie lorsque h tend vers 0.
• La limite du taux d'accroissement lorsque h → 0 est appelée la dérivée de la fonction en ce point.
• La dérivée en un point est un nombre réel si cette limite existe.

💡 À retenir

Une fonction est dérivable en un point si le taux d'accroissement entre ce point et un point voisin admet une limite finie lorsque la distance entre ces deux points tend vers zéro.

📖 4. Limite du taux d'accroissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite du taux d'accroissement : La limite du taux d'accroissement de f entre un point xo et xo + h lorsque h tend vers 0. Elle correspond à la valeur vers laquelle le taux d'accroissement se rapproche lorsque h devient très petit.
• Lien entre taux d'accroissement et dérivée : La fonction f est dérivable en xo si et seulement si la limite du taux d'accroissement lorsque h tend vers 0 existe et est finie. Cette limite est alors la dérivée de f en xo, notée f'(xo).

📝 Points essentiels

• La limite du taux d'accroissement est définie par :
  $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$
• Si cette limite existe et est finie, alors f est dérivable en xo, et cette limite est la valeur de la dérivée en ce point.
• La dérivée en un point est donc le résultat de la limite du taux d'accroissement lorsque h tend vers 0.
• La notion de dérivabilité en un point repose directement sur l'existence de cette limite.

💡 À retenir

La limite du taux d'accroissement en un point est la valeur vers laquelle se rapproche le taux d'accroissement lorsque l'intervalle devient infinitésimal, et elle correspond à la dérivée en ce point.

📖 5. Notations de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Notations de la dérivée : Les différentes manières d’écrire la dérivée d’une fonction en un point, notamment f'(xo).
• Symbole de la dérivée : La notation f'(xo) utilisée pour représenter la dérivée de la fonction f en le point xo, indiquant le taux de variation instantané de f en ce point.

📝 Points essentiels

• La notation f'(xo) désigne le nombre dérivé de f en xo.
• La limite du taux d’accroissement (lim (h→0) (f(xo + h) - f(xo)) / h) existe si et seulement si la fonction est dérivable en xo, et ce limite est alors la valeur de la dérivée f'(xo).
• La notation f'(xo) est une façon concise d’écrire cette limite, appelée symbole de la dérivée.
• La notation est essentielle pour exprimer le concept de dérivée de manière standardisée et pour faciliter la lecture et l’écriture des expressions différentielles.

💡 À retenir

Les notations de la dérivée, notamment f'(xo), représentent le taux de variation instantané d’une fonction en un point, et leur symbole est la clé pour exprimer la dérivabilité d’une fonction de façon concise.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre le taux d'accroissement moyen avec la dérivée : la première est une moyenne sur un intervalle, la seconde est la limite lorsque l'intervalle devient infinitésimal.
2. Croire qu'une fonction dérivable doit être continue, alors qu'il faut d'abord vérifier la limite du taux d'accroissement.
3. Confondre la notation $f'(x_0)$ avec d'autres notations comme $Df(x_0)$ ou $d f/dx$ (selon contexte).
4. Omettre que la limite du taux d'accroissement doit être finie pour que la fonction soit dérivable en $x_0$.
5. Penser que la limite du taux d'accroissement existe toujours ; en réalité, elle doit être vérifiée.
6. Confondre la dérivée en un point avec la dérivée sur un intervalle.
7. Négliger que la dérivabilité implique la limite du taux d’accroissement, mais pas l’inverse.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition du taux d’accroissement et sa formule $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.
2. Savoir que la dérivabilité en $x_0$ est caractérisée par l’existence de la limite du taux d’accroissement lorsque $h \to 0$.
3. Comprendre que la limite du taux d’accroissement lorsque $h \to 0$ est la dérivée $f'(x_0)$.
4. Maîtriser la formule de la limite du taux d’accroissement et sa relation avec la dérivée.
5. Connaître la définition d’une fonction dérivable en un point.
6. Savoir que la dérivée en un point représente la pente de la tangente à la courbe en ce point.
7. Être capable d’écrire la notation $f'(x_0)$ et de l’interpréter comme le taux de variation instantané.
8. Connaître la différence entre le taux d’accroissement moyen et la limite du taux d’accroissement.
9. Savoir que la dérivabilité implique la continuité, mais que la continuité ne garantit pas la dérivabilité.
10. Maîtriser la signification de la limite du taux d’accroissement pour définir la dérivée.
11. Connaître que la dérivée est un nombre réel si la limite du taux d’accroissement existe et est finie.
12. Vérifier la limite du taux d’accroissement pour déterminer si une fonction est dérivable en un point.