Fiche de révision : Introduction à la Dérivée et ses Applications

📋 Plan du Cours

1. Nombre dérivé en graphique
2. Calcul du nombre dérivé
3. Fonction dérivée de référence
4. Tangente à la courbe
5. Signe de la dérivée
6. Sens de variation
7. Extremums locaux et dérivée
8. Limite de la dérivée
9. Application vitesse instantanée
10. Propriétés de dérivabilité
11. Calculs de dérivées simples

📖 1. Nombre dérivé en graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Lecture graphique d'un nombre dérivé : Il s'agit d'estimer la valeur du nombre dérivé en un point en observant la pente de la tangente à la courbe en ce point. La pente de cette tangente, approximative, correspond à la valeur du nombre dérivé en ce point.

• Construction graphique d'une tangente : C'est un procédé pour tracer la droite tangente à une courbe en un point donné. La droite doit toucher la courbe en ce point sans la couper, et sa pente doit être proche de celle de la courbe en ce point, permettant ainsi d'estimer le nombre dérivé.

• Le coecient directeur de la tangente : La pente de la droite tangente à la courbe en un point A. Elle se note généralement f′(a) lorsque la tangente est à la courbe de la fonction f en le point d'abscisse a.

📝 Points essentiels

• La lecture graphique du nombre dérivé consiste à observer la pente de la tangente en un point A de la courbe. Plus cette pente est proche d'une valeur précise, plus l'estimation du nombre dérivé en ce point est fiable.

• La construction graphique d'une tangente se réalise en traçant une droite qui touche la courbe en un seul point A, sans la couper, et dont la pente est approchée par la pente de la courbe en ce point.

• La pente de la tangente (coefficient directeur) est une approximation du nombre dérivé en ce point. La précision dépend de la qualité du tracé et de la finesse de la construction.

• Lorsqu'on construit la tangente en un point A, la pente de cette tangente est une estimation de f′(a), le nombre dérivé en ce point.

💡 À retenir

La lecture graphique et la construction graphique d'une tangente permettent d'estimer visuellement la valeur du nombre dérivé en un point, en se basant sur la pente de la tangente tracée à la courbe en ce point.

📖 2. Calcul du nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

Calcul du nombre dérivé : La limite, lorsqu'elle existe, de la différence entre la valeur de la fonction en un point et sa valeur en un point voisin, divisée par la différence entre ces deux points, lorsque cette différence tend vers zéro. Elle se note :
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Limite de la dérivée : La valeur vers laquelle tend la différence $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ lorsque $h$ tend vers 0, si cette limite existe. Elle correspond au nombre dérivé en $a$.

Expression analytique du nombre dérivé : La formule permettant de calculer la dérivée en un point $a$ à partir de la limite du taux de variation :
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

📝 Points essentiels

• La dérivée en un point $a$ est la limite du taux de variation lorsque $h \to 0$.
• La limite doit exister pour que la fonction soit dérivable en ce point.
• La formule analytique du nombre dérivé est une limite de quotient de différence, permettant son calcul exact.
• La construction graphique de la tangente en un point $a$ repose sur cette limite, en tant que coefficient directeur de la tangente.
• La limite de la différence quotient donne la pente de la tangente à la courbe en ce point, c’est-à-dire le nombre dérivé.

💡 À retenir

Le calcul du nombre dérivé consiste à déterminer la limite du taux de variation lorsque l’écart entre deux points tend vers zéro, ce qui permet d’obtenir la pente exacte de la tangente à la courbe en un point donné.

📖 3. Fonction dérivée de référence

🔑 Notions clés & Définitions

Fonction dérivée de référence :
C'est la fonction notée f′, qui, à tout point x d’un intervalle I où f est dérivable, associe le nombre f′(x), c'est-à-dire la limite, lorsqu’elle existe, de la différence de la fonction divisée par la différence de l’abscisse, en h tendant vers 0 :
$f′(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
Elle représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en x.

Fonctions dérivables de référence :
Ce sont des fonctions dont la fonction dérivée est connue et qui servent de modèles ou de références pour établir des propriétés ou calculs. Exemples :

• f(x) = k (constante) avec f′(x) = 0
• f(x) = ax + b (fonction affine) avec f′(x) = a
• f(x) = x² (fonction carré) avec f′(x) = 2x
• f(x) = x³ (fonction cube) avec f′(x) = 3x²

Propriétés fondamentales des fonctions dérivées :

• La dérivée d’une fonction constante est nulle : si f(x) = k, alors f′(x) = 0.
• La dérivée d’une fonction affine f(x) = ax + b est constante : f′(x) = a.
• La dérivée de x² est 2x, celle de x³ est 3x².
• La dérivée d’une fonction f(k×f) est k×f′, où k est une constante.
• La dérivée de la somme de deux fonctions dérivables est la somme de leurs dérivées : (f + g)′ = f′ + g′.

📝 Points essentiels

• La fonction dérivée f′(x) est définie comme la limite du taux de variation de f en x lorsque h tend vers 0.
• La dérivée en un point x donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.
• La dérivée d’une fonction de référence est connue pour plusieurs fonctions usuelles : constante, affine, carré, cube.
• La dérivée d’une fonction est linéaire par rapport à la multiplication par une constante et à la somme de fonctions (règles de dérivation).
• La dérivée permet d’établir le sens de variation de f : si f′(x) > 0, f est croissante ; si f′(x) < 0, f est décroissante ; si f′(x) = 0, f est constante ou possède un extremum en ce point.

💡 À retenir

La fonction dérivée de référence, f′, associe à chaque point le taux de variation instantané de f en ce point, ce qui permet d’établir le comportement de la fonction f à l’aide de ses dérivées.

📖 4. Tangente à la courbe

🔑 Notions clés & Définitions

Tangente à la courbe
Une droite qui touche une courbe en un point donné, sans la couper localement, et dont le coefficient directeur est égal au nombre dérivé de la fonction en ce point.

Équation de la tangente
L'équation de la tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse a, dont le point est A(a; f(a)), est donnée par :
$y = f′(a)(x - a) + f(a)$
où f′(a) est le nombre dérivé de f en a.

Equation réduite de la tangente
L'équation de la tangente au point A(a; f(a)) peut aussi s’écrire sous la forme :
$y = m(x - a) + f(a)$
avec m = f′(a), le coefficient directeur.
C’est une forme simplifiée qui met en évidence la pente m et le point A.

📝 Points essentiels

• La tangente à la courbe en un point A(a; f(a)) est la droite qui a pour coefficient directeur f′(a), le nombre dérivé en ce point.
• L’équation de la tangente est : y = f′(a)(x - a) + f(a).
• L’équation réduite de la tangente met en relation directement la pente et le point de contact, facilitant la construction graphique ou le calcul analytique.
• La notion de tangente est liée au nombre dérivé : la pente de la tangente en un point est égale au nombre dérivé en ce point.

💡 À retenir

La tangente à une courbe en un point est la droite qui a pour coefficient directeur le nombre dérivé en ce point, et son équation peut s’écrire sous une forme simple mettant en évidence cette pente et le point de contact.

📖 5. Signe de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe de la fonction dérivée : Le signe de la fonction dérivée f′(x) en un point x indique la tendance locale de la pente de la courbe en ce point. Si f′(x) > 0, la pente est positive ; si f′(x) < 0, la pente est négative. La valeur f′(x) peut aussi être nulle, indiquant une pente horizontale.

• Signe de la dérivée (voir section 2) : La dérivée f′(x) en un point x est le nombre limite du taux de variation de f autour de x lorsque l’intervalle de variation tend vers zéro. Son signe détermine le sens de variation de la fonction en ce point.

• Influence du signe de la dérivée sur le sens de variation : Selon le signe de f′(x) :

  • Si f′(x) > 0, alors f est strictement croissante en ce point.
  • Si f′(x) < 0, alors f est strictement décroissante en ce point.
  • Si f′(x) = 0, alors f peut avoir un extremum local ou être constante en ce point, mais cela dépend du changement de signe autour de x.

📝 Points essentiels

• Le signe de la dérivée en un point détermine si la fonction est en train de croître ou décroître localement.
• La lecture graphique du signe de la dérivée permet d’établir le sens de variation de la fonction sans calculs complexes.
• La dérivée étant le coefficient directeur de la tangente à la courbe en un point, son signe correspond au signe de cette pente.

💡 À retenir

Le signe de la dérivée en un point indique si la fonction est croissante, décroissante ou constante en ce point, influençant ainsi la compréhension du comportement local de la courbe.

📖 6. Sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

Variation d'une fonction : La variation d'une fonction f sur un intervalle I concerne la manière dont la valeur de f(x) change lorsque x varie dans I. Elle peut être croissante, décroissante ou constante.

Théorème sur la dérivée et la variation : Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I, alors :

• Si f′(x) > 0 pour tout x dans I, alors f est strictement croissante sur I.
• Si f′(x) < 0 pour tout x dans I, alors f est strictement décroissante sur I.
• Si f′(x) = 0 pour tout x dans I, alors f est constante sur I.

Ce théorème permet de relier le signe de la dérivée à la variation de la fonction.

Tableau de variation : C’est un outil qui synthétise le comportement d’une fonction en représentant graphiquement le signe de sa dérivée et ses variations. Il indique les intervalles où la fonction est croissante, décroissante ou constante, ainsi que ses extremums (maximum ou minimum) lorsque la dérivée change de signe.

📝 Points essentiels

• La variation d'une fonction est déterminée par le signe de sa dérivée f′.
• Si f′ est positive sur un intervalle, f est strictement croissante ; si négative, f est décroissante.
• La fonction est constante si et seulement si sa dérivée est nulle partout sur l’intervalle.
• Le changement de signe de la dérivée en un point indique la présence d’un extremum (maximum ou minimum local), à condition que cette dérivée change effectivement de signe.
• Le tableau de variation est construit en étudiant le signe de f′(x) sur l’intervalle, en identifiant les points où f′(x) s’annule ou change de signe, et en déduisant le comportement de f.

💡 À retenir

Le sens de variation d’une fonction est entièrement déterminé par le signe de sa dérivée : une dérivée positive implique une fonction croissante, une dérivée négative une fonction décroissante, et un changement de signe de la dérivée indique la présence d’un extremum. Le tableau de variation synthétise ces informations pour analyser le comportement global de la fonction.

📖 7. Extremums locaux et dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

Extrémum local : Point où une fonction atteint un maximum ou un minimum dans un voisinage restreint.
Critère de l'existence d'un extremum : Si une fonction est dérivable en un point et que sa dérivée s'annule en ce point, alors ce point peut être un extremum local, à condition que la dérivée change de signe.
Changement de signe de la dérivée : Passage de la dérivée d'une valeur positive à négative, ou inversement, en un point. Ce changement indique la présence d’un extremum local en ce point.

Remarque : La dérivée doit changer de signe en un point pour que ce point soit un extremum local. La dérivée nulle en un point ne suffit pas, il faut aussi que le signe de la dérivée change de part et d'autre de ce point.

📖 8. Limite de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

Limite de la dérivée :
La limite de la dérivée en un point a est la valeur que tend f′(a+h) lorsque h tend vers 0, lorsque cette limite existe. Elle correspond au comportement de la dérivée lorsque l’on s’approche de ce point.

Comportement de la dérivée en un point :
Il s’agit de l’étude du comportement de la fonction dérivée f′(x) lorsque x approche un point a. La limite de f′(x) lorsque x tend vers a, si elle existe, indique si la dérivée est stable ou si elle présente un changement de comportement en ce point.

Dérivabilité en un point :
Une fonction f est dérivable en un point a si la limite de la différence f(a+h)−f(a) sur h lorsque h tend vers 0 existe. La limite de cette différence quotient est alors la valeur de la dérivée en a, notée f′(a).

📝 Points essentiels

• La limite de la dérivée en un point a est la limite de f′(a+h) lorsque h → 0, lorsque cette limite existe.
• La limite de la dérivée permet d’étudier le comportement local de la fonction en un point précis.
• La dérivabilité en un point implique que la limite du quotient (f(a+h)−f(a))/h lorsque h → 0 existe et est finie.
• La limite de la dérivée en un point peut révéler un changement de comportement ou une discontinuité de la dérivée, même si la fonction f est dérivable en ce point.

💡 À retenir

La limite de la dérivée en un point donne une information précise sur le comportement local de la fonction et de sa dérivée, permettant d’analyser la stabilité ou la variation de la taux de changement en ce point.

📖 9. Application vitesse instantanée

🔑 Notions clés & Définitions

Vitesse instantanée : Application de la dérivée en un point, c'est la vitesse à un instant précis. Elle correspond à la valeur de la dérivée de la fonction représentant la position en ce point, c'est-à-dire le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point (source : approche graphique).

Vitesse moyenne : Rapport entre la variation de la position et l'intervalle de temps considéré. Mathématiquement, c'est le taux de variation de la fonction entre deux points, calculé par (f(b) − f(a)) / (b − a). Elle représente la vitesse sur un intervalle donné.

Interprétation physique de la dérivée : La dérivée d'une fonction en un point représente la vitesse instantanée à cet instant. Elle traduit la pente de la tangente à la courbe en ce point, ce qui correspond à la vitesse à un instant précis dans un contexte physique (source : approche graphique).

📝 Points essentiels

• La vitesse instantanée en un point est donnée par la valeur de la dérivée en ce point, notée f′(a).
• La vitesse moyenne entre deux instants a et b est calculée par le taux de variation : (f(b) − f(a)) / (b − a).
• La dérivée en un point est la limite du taux de variation lorsque l'intervalle tend vers zéro : lim (h→0) [f(a+h) − f(a)] / h.
• La lecture graphique permet d'estimer la vitesse instantanée par la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• La vitesse instantanée peut varier rapidement, contrairement à la vitesse moyenne qui est une moyenne sur un intervalle.

💡 À retenir

La vitesse instantanée correspond à la pente de la tangente à la courbe en un point, ce qui traduit la vitesse à un instant précis, tandis que la vitesse moyenne est une approximation sur un intervalle. La dérivée permet d'interpréter physiquement cette vitesse instantanée.

📖 10. Propriétés de dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriétés de dérivabilité : Ensemble des propriétés qui caractérisent la dérivabilité d'une fonction, notamment sa relation avec la continuité, la dérivabilité des fonctions composées, et la dérivabilité en un point.

• Règles de dérivation : Ensemble des règles permettant de calculer la dérivée d'une fonction à partir de dérivées de fonctions simples ou de fonctions composées, telles que la dérivation d'une somme, d'un produit par un scalaire, ou d'une fonction composée.

• Dérivabilité des fonctions composées : Propriété selon laquelle si deux fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur un intervalle, alors leur composition $f \circ g$ est également dérivable sur cet intervalle, et sa dérivée s'exprime à l'aide de la règle de la chaîne : $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \times g'(x)$.

📝 Points essentiels

• La dérivabilité d'une fonction en un point implique sa continuité en ce point (voir section 3).

• La dérivabilité d'une fonction composée résulte de la dérivabilité de ses composantes, et sa dérivée se calcule via la règle de la chaîne : $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \times g'(x)$.

• Les propriétés de dérivabilité permettent de déterminer si une fonction est dérivable en un point ou sur un intervalle, en utilisant notamment la dérivabilité des fonctions de référence et la dérivabilité des fonctions composées.

• La dérivabilité d'une fonction en un point se caractérise par l'existence de la limite du taux de variation en ce point, c'est-à-dire la limite de $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ lorsque $h \to 0$.

💡 À retenir

La dérivabilité d'une fonction est assurée par la validité des règles de dérivation et la dérivabilité des fonctions composées, permettant ainsi de calculer facilement la dérivée de fonctions complexes à partir de fonctions simples.

📖 11. Calculs de dérivées simples

🔑 Notions clés & Définitions

• Calculs de dérivées simples : Opérations permettant de déterminer la dérivée d’une fonction en utilisant des formules ou règles de dérivation de fonctions usuelles, sans recours à des limites ou approches graphiques complexes.

• Dérivation de fonctions usuelles : Processus consistant à appliquer des règles spécifiques pour obtenir la dérivée de fonctions types telles que les fonctions constantes, linéaires, carrées, cubes, etc. (exemples : $f(x) = k$, $f(x) = ax + b$, $f(x) = x^n$).

• Règles de dérivation : Ensemble de principes permettant de calculer la dérivée de fonctions composées ou combinées, notamment :

  • La dérivée d’une fonction constante : $f(x) = k \Rightarrow f'(x) = 0$.
  • La dérivée d’une fonction affine : $f(x) = ax + b \Rightarrow f'(x) = a$.
  • La dérivée d’une fonction puissance : $f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1}$.

📝 Points essentiels

• La dérivée d’une fonction simple peut souvent être obtenue directement à partir de formules connues, sans limite ou calculs complexes.
• La dérivation de fonctions usuelles est fondamentale pour établir rapidement la dérivée d’une fonction donnée.
• La règle de dérivation d’une fonction constante $f(x) = k$ est $f'(x) = 0$.
• La règle de dérivation d’une fonction affine $f(x) = ax + b$ est $f'(x) = a$.
• La dérivée de la fonction puissance $f(x) = x^n$ (avec $n$ un réel) est $f'(x) = nx^{n-1}$.

💡 À retenir

Les calculs de dérivées simples reposent sur des formules précises pour les fonctions usuelles, permettant d’obtenir rapidement la dérivée sans limite, facilitant ainsi l’étude des variations et tangentes.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la pente de la tangente avec la valeur de la fonction en un point.
2. Penser que la limite du taux de variation existe toujours, alors qu’elle doit exister pour que la fonction soit dérivable.
3. Confondre fonction dérivée et fonction primitive.
4. Oublier que la dérivée d’une constante est nulle.
5. Confondre la dérivée d’une fonction affine (constante) avec celle d’une fonction quadratique.
6. Mal interpréter le signe de la dérivée comme étant la valeur de la pente, alors qu’il indique le sens de variation.
7. Confondre la construction graphique d’une tangente avec la définition analytique du nombre dérivé.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition du nombre dérivé en limite : $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
2. Savoir construire graphiquement la tangente en un point et estimer la valeur du dérivé par la pente.
3. Maîtriser l’équation de la tangente : $y = f′(a)(x - a) + f(a)$.
4. Identifier la fonction dérivée de référence pour une fonction donnée, par exemple : constante, affine, carré, cube.
5. Comprendre que la dérivée en un point donne la pente de la tangente en ce point.
6. Savoir que la limite du taux de variation est la dérivée si elle existe.
7. Reconnaître la fonction dérivée $f′$ comme la fonction associée au taux de variation instantané.
8. Savoir que la dérivée d’une fonction constante est nulle et celle d’une fonction affine est constante.
9. Interpréter le signe de la dérivée : $f′(x) > 0$ croissante, $f′(x) < 0$ décroissante.
10. Connaître la formule analytique du nombre dérivé.
11. Maîtriser la relation entre la dérivée et le sens de variation de la fonction.
12. Vérifier la dérivabilité en un point pour assurer l’existence de la limite du taux de variation.