Fiche de révision : Introduction à la physique quantique

📋 Plan du Cours

1. Dualité onde-corpuscule
2. Polarisation d’un photon
3. Formalisme de Dirac
4. Mesure et évolution quantiques
5. Position et impulsion
6. Transformation de Fourier
7. Énergie et équation de Schrödinger
8. Systèmes à une dimension
9. Produit tensoriel et intrication
10. Spin 1/2 et résonance magnétique

📖 1. Dualité onde-corpuscule

🔑 Notions clés & Définitions

• Dualité onde-corpuscule : La dualité onde-corpuscule désigne l’idée qu’un même objet quantique peut manifester des comportements de type onde ou de type particule selon l’expérience réalisée.
• Photon : Le photon est un quantum de lumière dont l’énergie vérifie $E=\hbar\omega$ et qui peut aussi transférer une quantité de mouvement.
• Onde plane monochromatique : Une onde plane monochromatique est une oscillation décrite par une phase $\exp\{i(\vec k\cdot\vec r-\omega t)\}$ dont la fréquence et le vecteur d’onde sont liés par $k=\omega/c$.
• Interfrange de Young : L’interfrange est l’espacement des franges brillantes et sombres dans l’expérience des fentes d’Young, lié à la longueur d’onde et à la géométrie des fentes.

📝 Points essentiels

• L’énergie d’un quantum de rayonnement à la fréquence $\nu$ vaut $E=h\nu=\hbar\omega$ et la quantité de mouvement associée au photon vérifie $p=\hbar\omega/c=\hbar k=h/\lambda$.
• Dans une onde plane, la condition $k=\omega/c$ implique une relation entre la longueur d’onde et la pulsation, $\lambda=2\pi/k= c\nu=2\pi c/\omega$.
• Dans l’expérience des fentes d’Young, la différence de chemin $\Delta\approx ax/D$ produit un déphasage $2\pi ax/(D\lambda)$, donnant des franges brillantes quand $\Delta$ est un multiple de $\lambda$ et des franges sombres quand $\Delta$ vaut un demi-multiple de $\lambda$.
• L’interfrange vaut $\lambda D/a$ et explique pourquoi les franges peuvent être observées sans dépendre du temps d’oscillation.
• Pour un photon unique envoyé dans un montage de type Mach-Zehnder, l’alternative « il passe par un bras ou par l’autre » contredit l’observation quand la phase varie avec la différence de marche.
• Le principe de correspondance impose qu’en répétant une expérience quantique un grand nombre de fois, on retrouve les prédictions classiques à l’échelle macroscopique.

💡 Astuce mémo

De Broglie-Planck-Einstein : $E=h\nu$ et $p=h/\lambda$ ; puis interférences via $\Delta\sim ax/D$ donc franges espacées de $\lambda D/a$.

📖 2. Polarisation d’un photon

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de polarisation : Une base de polarisation est un couple (ou ensemble) d’états orthonormés représentant les issues possibles d’une mesure de polarisation.
• Ket de polarisation : Un ket de polarisation est le vecteur normé qui décrit l’état quantique d’un photon unique dans l’espace des états de polarisation.
• États linéaires |θ> : Un état linéaire |θ> est une superposition normalisée des états verticaux et horizontaux avec des coefficients cosθ et sinθ.
• États circulaires |±> : Un état circulaire |±> est une superposition des états verticaux et horizontaux avec une phase relative ±i/qui donne une polarisation circulaire.

📝 Points essentiels

• L’état d’un photon unique s’écrit |ψ⟩=α|↕⟩+β|↔⟩ avec la normalisation |α|^2+|β|^2=1.
• Pour un état linéaire |θ⟩=cosθ|↕⟩+sinθ|↔⟩, la mesure dans la base {|↕⟩,|↔⟩} donne P↕=cos^2θ et P↔=sin^2θ.
• Une polarisation circulaire droite/gauche se décrit par |±⟩=(|↕⟩ ± i|↔⟩)/√2 et conduit à des probabilités égales 1/2 dans la base {|↕⟩,|↔⟩}.
• Dans une mesure idéale sur une base orthonormée {|χ⟩,|χ′⟩}, les probabilités valent P|χ⟩=|⟨χ|ψ⟩|^2 et P|χ′⟩=|⟨χ′|ψ⟩|^2, et l’état après mesure devient l’état effectivement obtenu.
• L’évolution temporelle d’un photon d’énergie E fait apparaître seulement une phase globale e^{-iEt/ħ}, donc les probabilités de mesure ne dépendent pas du temps.
• La propagation dans une lame à retard biréfringente introduit un déphasage relatif ϕ=(ke-ko)L entre |↕⟩ et |↔⟩, tandis que la phase globale e^{ikoL} ne change pas les probabilités.

💡 Astuce mémo

Cos² pour la voie verticale et sin² pour l’horizontale, même pour un seul photon ; la phase globale ne compte pas, seul le déphasage relatif ϕ change l’état.

📖 3. Formalisme de Dirac

🔑 Notions clés & Définitions

• ket |ψ⟩ : Un ket est un vecteur colonne de l’espace des états représentant un état quantique.
• bra ⟨ψ| : Un bra est le vecteur ligne obtenu à partir d’un ket par transconjugaison (conjugaison puis transposition).
• Bracket ⟨ψ|ψ'⟩ : Un bracket est le produit scalaire hermitien entre deux kets, écrit sous la forme ⟨ψ|ψ'⟩.
• Espace dual E*H : L’espace dual E*H contient les bras, qui agissent sur les kets pour donner le bracket.

📝 Points essentiels

• Passer d’un ket |ψ⟩ de composantes (c0,c1,…) à son bra ⟨ψ| donne (c0*,c1*,…).
• Le bracket correspond au produit scalaire hermitien : si |ψ⟩=∑n cn|ψn⟩ et |ψ'⟩=∑n c'n|ψn⟩ alors ⟨ψ|ψ'⟩=∑n c*n c'n.
• En formalisme de Dirac, le symbole délimité par | ⟩ (ou ⟨ |) ne doit pas être interprété comme un produit scalaire : on ne remplace pas λ|ψ⟩+μ|ψ'⟩ par |λψ+μψ'⟩.
• Un opérateur linéaire ˆA a pour éléments de matrice Am,n=⟨ψm| ˆA |ψn⟩ dans une base orthonormée.
• La relation de fermeture vaut ˆI=∑n |ψn⟩⟨ψn|, et le projecteur sur |ψm⟩ est |ψm⟩⟨ψm| avec propriété d’idempotence (|ψm⟩⟨ψm|)^2=|ψm⟩⟨ψm|.

💡 Astuce mémo

Bra = “transconjugué du ket” : conjuguer + transposer pour obtenir ⟨ψ|.

📖 4. Mesure et évolution quantiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Phase globale : La phase globale d’un ket multiplie l’état par $e^{i\varphi}$ sans modifier les probabilités de mesure.
• État stationnaire : Un état est stationnaire quand son évolution temporelle ne change pas les probabilités de mesure, à cause d’une phase globale.
• Postulat de la mesure : Une mesure projette l’état sur le sous-espace propre associé au résultat et impose une probabilité donnée par la norme de la projection.
• Opérateur d’évolution : Un opérateur d’évolution $\hat U(t,t_0)$ décrit l’état à l’instant $t$ à partir de l’instant $t_0$ par $|\psi(t)\rangle=\hat U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle$.
• Observables et projecteurs : La mesure d’une observable utilise des projecteurs $\hat P_n$ vers les sous-espaces propres pour obtenir probabilités et état après mesure.

📝 Points essentiels

• Si $|\psi\,'\rangle$ et $|\psi\rangle$ ne diffèrent que par une phase globale, alors $|\langle\chi|\psi\,'\rangle|^2=|\langle\chi|\psi\rangle|^2$ pour toute base de mesure.
• Pour un état d’énergie unique $E=\hbar\omega$, l’évolution temporelle vaut $|\psi(t)\rangle=e^{-i\omega t}|\psi(0)\rangle=e^{-iEt/\hbar}|\psi(0)\rangle$, ce qui ne change pas les probabilités $|\langle\chi|\psi(t)\rangle|^2$.
• Dans le postulat général (spectre discret), la probabilité de mesurer $a_n$ est $P(a_n)=\langle\psi|\hat P_n|\psi\rangle=\|\hat P_n|\psi\rangle\|^2$ et l’état après mesure est $|\psi'\rangle=\hat P_n|\psi\rangle/\|\hat P_n|\psi\rangle\|$.
• Les projecteurs vérifient l’idempotence $\hat P_n^2=\hat P_n$, ce qui rend cohérente l’expression $P(a_n)=\langle\psi|\hat P_n^2|\psi\rangle$.
• Si le système est isolé (Hamiltonien indépendant du temps), l’opérateur d’évolution s’écrit $\hat U(t)=e^{-i\hat H t/\hbar}$ et les états propres de $\hat H$ évoluent avec une phase e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar.
• Une observable mesurée dans son état propre donne un résultat certain et l’écart-type correspondant est nul, ce qui garantit la répétabilité immédiate de la mesure.

💡 Astuce mémo

Phase globale = “invisible aux détecteurs” : seule $|\langle\chi|\psi\rangle|^2$ compte, donc $e^{i\varphi}$ ne change rien.

📖 5. Position et impulsion

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction d’onde : Une représentation mathématique de l’état dans l’espace des positions, définie par psi(x)=\langle x|\psi\rangle.
• Densité de probabilité : Grandeur $|\psi(x)|^2$ telle que $|\psi(x)|^2dx$ donne la probabilité de trouver la particule dans l’intervalle infinitésimal $[x,x+dx]$.
• Fonction de Dirac : Distribution $\delta(x'-x)$ qui joue le rôle de l’“état de position” dans une base continue, via $\langle x'|x\rangle=\delta(x'-x)$.
• Opérateur position : Observable notée $\hat x$ agissant dans $L^2(R)$ par multiplication : $\hat x\psi(x)=x\psi(x)$.
• Opérateur impulsion : Observable notée $\hat p$ agissant dans $L^2(R)$ comme dérivée : $\hat p\psi(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{d\psi}{dx}$.

📝 Points essentiels

• Dans le cas d’une mesure donnant un résultat certain $A=a$, on a $\Delta A=0$ et cela équivaut à $\hat A|\psi\rangle=a|\psi\rangle$.
• En espace continu, l’identité s’écrit $\hat I=\int_{-\infty}^{+\infty}|x\rangle\langle x|dx$ et la normalisation impose $\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x)|^2dx=1$.
• À résolution finie $\delta x$, la probabilité d’être détecté sur le pixel centré en $x_0$ vaut $P\approx |\psi(x_0)|^2\,\delta x$ quand $|\psi(x)|^2$ varie peu sur l’intervalle.
• Les états propres du positionnement vérifient $\langle x'|x\rangle=\delta(x'-x)$ et donc $\langle x|x\rangle=\delta(0)=+\infty$, ce qui montre que $|x\rangle$ n’est pas un état physique de Hilbert.
• Le commutateur des observables position et impulsion vaut $[\hat x,\hat p]=i\hbar\hat I$, ce qui caractérise leur incompatibilité quantique.
• Dans la base des positions, $\hat x$ multiplie par $x$ et $\hat p$ est un opérateur hermitien donné par $\hat p=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$.

💡 Astuce mémo

Bornes du couple (x,p) : $[\hat x,\hat p]=i\hbar\hat I$ ⇒ “une fois position, pas d’impulsion parfaitement en même temps”.

📖 6. Transformation de Fourier

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée de Fourier : La transformée de Fourier est une opération qui associe à une fonction d’onde ψ(x) une fonction dans l’espace des impulsions, notée ˜ψ(p).
• Transformée de Fourier inverse : La transformée de Fourier inverse reconstruit la fonction ψ(x) à partir de ˜ψ(p) via une intégrale de retour dans l’espace direct.
• Espace direct : L’espace direct est la représentation où l’état est décrit par la fonction d’onde ψ(x) dans la base {|x⟩}.
• Espace de Fourier : L’espace de Fourier est la représentation où l’état est décrit par ˜ψ(p) dans la base {|p⟩}.
• Théorème de Parseval-Plancherel : Le théorème de Parseval-Plancherel exprime l’égalité du produit scalaire (et donc des normes) entre une fonction et ses transformées de Fourier.

📝 Points essentiels

• La transformée de Fourier quantique d’une onde ψ(x) vaut ˜ψ(p)=1/√(2πℏ)∫ψ(x)e^{-ipx/ℏ}dx, avec la variable d’intégration x sur R.
• La transformée de Fourier inverse est ψ(x)=1/√(2πℏ)∫˜ψ(p)e^{ipx/ℏ}dp, ce qui rend les deux formules symétriques sauf au signe de la phase.
• Le produit scalaire est conservé : ∫ψ1*(x)ψ2(x)dx=∫˜ψ1*(p)˜ψ2(p)dp, donc la transformation est une isométrie.
• Une dérivation dans l’espace direct devient une multiplication dans l’espace de Fourier : F[dψ/dx]=(ip/ℏ)˜ψ(p), et plus généralement F[d^nψ/dx^n]=(ip/ℏ)^n˜ψ(p).
• Une dérivation dans l’espace de Fourier devient une multiplication inverse : F^{-1}[d˜ψ/dp]=-(ix/ℏ)ψ(x), donc ˆp correspond à (ℏ/i)d/dx sur ψ(x) et ˆx à iℏ d/dp sur ˜ψ(p).
• Une translation ψ(x-x0) se traduit par un facteur de phase : F[ψ(x-x0)]=˜ψ(p)e^{-ipx0/ℏ}, et le produit de convolution satisfait F[(ψ1*ψ2)(x)]=√(2πℏ)˜ψ1(p)˜ψ2(p).

💡 Astuce mémo

Direct : dériver → multiplier par ip/ℏ ; Impulsion : multiplier par p → dériver en x via ℏ/i.

📖 7. Énergie et équation de Schrödinger

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème d’Ehrenfest : Le théorème d’Ehrenfest relie l’évolution temporelle des grandeurs moyennes quantiques à des commutateurs entre l’observable et le Hamiltonien.
• Temps de vol : La méthode du temps de vol déduit l’impulsion à partir de la distance parcourue et du temps mesuré, via la relation x≈pt/m aux temps longs.
• Pas fractionné : La méthode du pas fractionné approxime l’évolution sur un petit intervalle δt en séparant l’opérateur cinétique (p) et l’opérateur potentiel (x) tout en conservant l’unité de l’évolution.

📝 Points essentiels

• Pour une particule libre, la phase en espace des impulsions dont la pente vaut −p0 t/(mℏ) implique un décalage du paquet d’ondes de p0 t/m, donc une vitesse p0/m.
• Sans forces, la position moyenne suit <x>t=<x>0+<p>t/m car d<x>/dt=<p>/m, ce qui redonne le comportement classique.
• Aux temps longs, la densité de probabilité se réécrit |ψ(x,t)|^2≈(m/t)|ψ~(p=mx/t,0)|^2, reliant directement position lointaine et distribution d’impulsions initiale.
• Pour un Hamiltonien indépendant du temps, l’opérateur d’évolution s’écrit U(t1,t0)=exp(−iH(t1−t0)/ℏ) et, si t1−t0=Nδt, on a U(t1,t0)=U(δt)^N.
• Au premier ordre en δt, le calcul du mouvement dans un potentiel arbitraire est mené par la séparation unitaire U(δt)≈Up(δt)Ux(δt) avec Up(δt)=exp(−i p^2 δt/(2mℏ)) et Ux(δt)=exp(−i V(x) δt/ℏ).

💡 Astuce mémo

Phase linéaire en p ⇒ translation en x : pente (−p0 t/mℏ) donne le déplacement p0 t/m.

📖 8. Systèmes à une dimension

🔑 Notions clés & Définitions

• Effet tunnel : L’effet tunnel est le franchissement quantique d’une région classiquement interdite, où la particule pénètre une barrière sous forme d’ondes évanescentes.
• Barrière tunnel 1D : Une barrière tunnel 1D est un potentiel positif constant par morceaux, nul hors d’un intervalle et de hauteur V0 à l’intérieur.
• Double puits couplés : Un double puits couplés est un potentiel 1D constitué de deux puits séparés par une barrière de largeur Δ, produisant des niveaux pairs et impairs.
• Clivage tunnel : Le clivage tunnel est la petite séparation en énergie entre un état symétrique fondamental et un état antisymétrique excité, contrôlée par l’atténuation exponentielle à travers la barrière.

📝 Points essentiels

• Quand k0L<π/2, l’absence d’état lié se vérifie car l’expression impliquant −k cotan(kL) reste négative et ne peut intersecter le quart de cercle de rayon k0L.
• Pour une barrière très épaisse vérifiant κa≫1, l’amplitude dans la barrière est dominée par exp(−κx) et la transmission décroît comme exp(−2κa).
• Dans ce régime, la transmission s’approxime par T≈16E(V0−E)/V0^2 ·exp(−2κa), avec κ défini par V0−E=ℏ^2κ^2/(2m).
• Pour un électron de 5 eV devant une barrière de 10 eV, une augmentation de 0,1 nm de l’épaisseur entraîne une atténuation d’un facteur 10, ce qui fonde le STM.
• Dans le double puits symétrique, les états sous la hauteur V0 sont alternés pairs et impairs, et les niveaux se regroupent par paires issues du couplage tunnel.
• Pour κΔ≫1 et V0≫E, le clivage entre le premier état antisymétrique et l’état symétrique vérifie EA−ES≈4π^2ℏ^2/(mκL^3)·e^(−κΔ).

💡 Astuce mémo

Tunnel = loi d’échelle : transmission ∝ e^(−2·κ·épaisseur).

📖 9. Produit tensoriel et intrication

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace produit tensoriel : L’état global d’une paire se décrit dans un espace de Hilbert produit, chaque facteur codant les degrés de liberté du photon (par exemple la polarisation) en dimension 2.
• État intriqué : Un état intriqué est une combinaison non factorisable du type |ψ⟩ qui ne peut pas s’écrire comme le produit d’un état pour Alice et d’un état pour Bob.
• Base polarisations croisées : La base { |↕⟩|↕⟩ , |↔⟩|↔⟩ } décrit les deux cas où les deux photons ont la même polarisation, horizontale ou verticale.
• Mélange statistique réduit : L’état d’un seul photon obtenu en ignorant l’autre se comporte comme un mélange de |↕⟩ et |↔⟩ avec probabilités 1/2, même si l’état global est quantique.

📝 Points essentiels

• La génération paramétrique avec deux cristaux biréfringents alignés produit l’état intriqué |ψ⟩ = (|↕↕⟩ + |↔↔⟩)/√2 lorsque le laser incident est polarisé à 45° par rapport à la verticale.
• Si Alice mesure un projecteur de polarisation ˆPχ, la probabilité d’obtenir le résultat 1 vaut 1/2, indépendamment de l’angle choisi pour χ.
• Après un résultat 1 chez Alice, l’état conditionnel de Bob devient |αβ⟩, et la probabilité conjointe s’écrit P(α,β) = (1/2)cos²(α−β).
• L’intrication empêche de définir un état quantique pour un seul photon : tout état local |χ⟩ donne une issue aléatoire avec probabilités 1/2 et 1/2.
• La valeur moyenne d’une observable locale A agissant sur le photon de Bob s’obtient comme 1/2⟨↕|A|↕⟩ + 1/2⟨↔|A|↔⟩, soit le même résultat qu’un mélange classique.
• La décohérence correspond à la destruction de la cohérence quantique lorsque le système perd de l’information vers l’environnement, et ici « laisser échapper » l’un des deux photons fait disparaître la signature quantique globale.

💡 Astuce mémo

Intrication = « ni l’un seul, ni l’autre séparément » : Alice voit toujours 1/2–1/2, mais ensemble le lien ressort via (1/2)cos²(α−β).

📖 10. Spin 1/2 et résonance magnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Sphère de Bloch : La sphère de Bloch est une représentation géométrique d’un état de spin 1/2 par un point de coordonnées angulaires $\theta$ et $\phi$.
• Précession de Larmor : La précession de Larmor décrit la rotation du vecteur de Bloch (et donc de $\langle \vec S\rangle$) autour du champ magnétique appliqué à une fréquence liée au Hamiltonien.
• Fréquence de Rabi : La fréquence de Rabi $\Omega$ est la fréquence des oscillations du spin quand un champ magnétique tournant est appliqué, $\Omega=\sqrt{(\omega_0-\omega)^2+\omega_1^2}$.
• Résonance magnétique nucléaire : La RMN est l’observation, pour un système à deux niveaux de spin 1/2 soumis à un champ tournant, d’un transfert d’orientation maximal quand la fréquence du champ approche la fréquence de Larmor.

📝 Points essentiels

• Un champ magnétique statique $\vec B_0=B_0\hat z$ donne le Hamiltonien $\hat H= -\gamma B_0\hat S_z$ avec des niveaux $E_\pm=\pm\hbar\omega_0/2$ où $\omega_0=-\gamma B_0$.
• Une rotation d’angle $\alpha$ autour de $z$ agit par $\hat R_\alpha=\exp\! \big(-i\alpha\hat S_z/\hbar\big)$ et implique que le vecteur de Bloch garde $\theta$ mais change $\phi\to\phi+\alpha$.
• Avec un champ tournant $\vec B(t)=\vec B_0+\vec B_1(t)$ à fréquence $\omega$, dans le référentiel tournant la dynamique équivaut à une précession autour d’un champ effectif de fréquence $\Omega=\sqrt{(\omega_0-\omega)^2+\omega_1^2}$ avec $\omega_1=-\gamma B_1$.
• La probabilité de mesurer $S_z=-\hbar/2$ évolue comme $P_-(t)=\frac{\omega_1^2}{\Omega^2}\sin^2\left(\frac{\Omega t}{2}\right)$, avec oscillations dites de Rabi.
• À la résonance $\omega=\omega_0$, on obtient un retournement total quand la dynamique est initialement au pôle nord, avec une fréquence d’oscillation $\Omega=|\omega_1|$.
• La probabilité moyenne dans le temps $\overline{P_-}=\frac12\frac{\omega_1^2}{(\omega_0-\omega)^2+\omega_1^2}$ donne une courbe de résonance lorentzienne dont la largeur à mi-hauteur vaut $2|\omega_1|$.

💡 Astuce mémo

Résonance RMN : $\Omega=\sqrt{(\omega_0-\omega)^2+\omega_1^2}$, donc maximum quand $\omega\approx\omega_0$ et oscillations de fréquence $|\omega_1|$.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

États factorisés vs intriqués (deux sous-systèmes)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre phase globale et déphasage relatif : seule la phase relative (ou déphasage relatif ϕ) modifie les probabilités, pas la phase globale.
2. Croire que pour un photon dans Mach-Zehnder on peut dire “il passe par un bras” : l’expérience montre qu’il “passe” par les deux chemins à la fois (interférence).
3. Utiliser |⟨χ|ψ⟩| plutôt que |⟨χ|ψ⟩|^2 pour les probabilités : en mesure idéale, P = |⟨χ|ψ⟩|^2.
4. Interpréter | | comme un produit scalaire : en formalisme de Dirac, le symbole délimité par ⟨|⟩ ne doit jamais être traité comme un produit scalaire au sens algébrique.
5. Oublier que les projecteurs sont idempotents : P = ⟨ψ|P_n|ψ⟩ et P_n^2=P_n ; ne pas remplacer P_n^2 par autre chose.
6. Sur le spectre continu (position/impulsion), traiter |x⟩ comme un état normalisable : ⟨x|x⟩=+∞, donc |x⟩ n’est pas un état physique.
7. Dans l’inégalité de Heisenberg, confondre commutateur et borne : [x,p]=iħI ⇒ ∆x∆p ≥ ħ/2, pas une borne dépendant de l’état.

✅ Checklist Examen

1. Dualité onde-corpuscule : relier E=hν=ħω et p=ħk=h/λ, puis appliquer les conditions d’interférence (franges brillantes si Δ multiple de λ, sombres si Δ = demi-multiple de λ) et exprimer l’interfrange λD/a.
2. Mach-Zehnder : expliquer pourquoi la variation de phase avec la différence de marche interdit l’alternative “bras A ou bras B” pour un photon unique envoyé un par un.
3. Polarisation photon : écrire l’état |ψ⟩=α|↕⟩+β|↔⟩ avec |α|^2+|β|^2=1, puis calculer P↕ et P↔ pour une base linéaire |θ⟩=cosθ|↕⟩+sinθ|↔⟩ (cos^2θ et sin^2θ).
4. Polarisation circulaire : donner |±⟩=(|↕⟩ ± i|↔⟩)/√2 et montrer que les probabilités dans {|↕⟩,|↔⟩} valent 1/2.
5. Dirac : obtenir le bra ⟨ψ| par transconjugaison, calculer ⟨ψ|ψ'⟩ via les composantes, utiliser la relation de fermeture I=∑|ψn⟩⟨ψn| et le projecteur |ψm⟩⟨ψm| (idempotence).
6. Mesure : relier probabilités et projecteurs P(an)=⟨ψ|P_n|ψ⟩=||P_n|ψ⟩||^2 et donner l’état après mesure |ψ'⟩=P_n|ψ⟩/||P_n|ψ⟩|| ; relier ∆A=0 à l’état propre de Â.
7. Évolution : écrire l’opérateur d’évolution U(t,t0) et pour système isolé U(t)=e^{-iHt/ħ}, puis conclure que les états propres de H n’évoluent qu’à une phase globale et conservent les probabilités.
8. Position et impulsion : définir psi(x)=⟨x|ψ⟩, densité |psi(x)|^2, action de x̂ par multiplication et de p̂ = (ħ/i)d/dx, puis utiliser [x̂,p̂]=iħI.
9. Transformée de Fourier : utiliser les définitions quantiques ˜ψ(p)=1/√(2πħ)∫ψ(x)e^{-ipx/ħ}dx et l’inverse, puis appliquer “dériver en x ⇒ multiplier par ip/ħ en p” et “translation x-x0 ⇒ phase e^{-ipx0/ħ}”.
10. Schrödinger & particule libre : donner iħ∂ψ/∂t=Hψ avec H=p̂^2/2m+V(x), et pour libre montrer que dans l’espace des impulsions seule la phase varie, puis en déduire <x>_t=<x>_0+<p>t/m et l’étalement à grands temps |ψ(x,t)|^2≈(m/t)|˜ψ(p=mx/t,0)|^2.
11. Tunnel 1D : rappeler le régime κa≫1 (amplitude ~e^{-κa}, transmission décroît ~e^{-2κa}) et, pour le double puits, relier le clivage EA−ES à une loi e^{-κΔ} (avec dépendance en κ,L donnée dans le cours).
12. Intrication : donner l’état intriqué |ψ⟩=(|↕↕⟩+|↔↔⟩)/√2 et vérifier que les mesures locales donnent 1/2–1/2 mais que la corrélation est P(α,β)=(1/2)cos^2(α−β).