QCM : Introduction à la récurrence et ses applications — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans un raisonnement par récurrence, quelle étape permet d’amorcer la démonstration en établissant la propriété au rang de départ ?

La vérification initiale de la propriété au rang n0
Le passage direct à tous les entiers naturels
La conclusion au rang k+1
L’hypothèse de récurrence au rang k

La vérification initiale de la propriété au rang n0

Explication

La vérification initiale sert à montrer que la propriété est vraie au rang de départ n0. Sans cette étape, le raisonnement ne peut pas démarrer.

2. Quel schéma logique décrit correctement le cœur d’un raisonnement par récurrence ?

P(k+1) implique P(k), puis on conclut pour n0
On suppose P(n0) vraie pour tout k, puis on conclut directement
On démontre seulement P(1), ce qui suffit pour tous les cas
On vérifie P(n0), puis on montre P(k) implique P(k+1)

On vérifie P(n0), puis on montre P(k) implique P(k+1)

Explication

Le raisonnement par récurrence repose sur un point de départ, puis sur l’implication de P(k) vers P(k+1). Ce mécanisme permet ensuite de conclure pour tous les entiers à partir de n0.

3. Dans l’illustration des dominos, que représente le fait de supposer qu’un domino de rang k tombe ?

L’hypothèse qui permet de déduire la chute du suivant
La vérification initiale du départ
La conclusion finale pour toute la chaîne
La chute du premier domino

L’hypothèse qui permet de déduire la chute du suivant

Explication

Le domino au rang k correspond à l’hypothèse de travail : si celui-ci tombe, on veut en déduire que le suivant tombe aussi. C’est le mécanisme de transfert au cœur de l’analogie.

4. Quel élément joue le rôle du point de départ dans l’analogie des dominos ?

Le domino suivant obtenu par transfert
Le domino quelconque de rang k
La chaîne entière une fois la chute terminée
Le premier domino qui tombe

Le premier domino qui tombe

Explication

Le premier domino qui tombe représente la vérification initiale, nécessaire pour lancer la réaction en chaîne. Les autres dominos illustrent ensuite le passage de k à k+1.

5. Dans le principe de récurrence, que désigne l’hypothèse de récurrence ?

La supposition que P(k) est vraie pour un entier k ≥ n0
La propriété P(n0) vérifiée au départ
La preuve que P(k+1) est fausse
La conclusion que P(n) est vraie pour tout n

La supposition que P(k) est vraie pour un entier k ≥ n0

Explication

L’hypothèse de récurrence consiste à supposer P(k) vraie pour un entier k quelconque supérieur ou égal à n0. On l’utilise ensuite pour démontrer P(k+1).

6. Quelle est la fonction de l’hérédité dans une preuve par récurrence ?

Vérifier que P(n0) est vraie
Choisir une valeur particulière de k
Remplacer l’hypothèse par la conclusion
Déduire P(k+1) à partir de P(k)

Déduire P(k+1) à partir de P(k)

Explication

L’hérédité est l’étape qui montre que la vérité de P(k) entraîne celle de P(k+1). C’est elle qui assure la propagation de la propriété à tous les rangs.

7. Quelle formule correspond à la somme des entiers naturels de 1 à n ?

1 + 2 + … + n = n(n-1)/2
1 + 2 + … + n = n²
1 + 2 + … + n = n(n+1)/2
1 + 2 + … + n = (n+1)/2

1 + 2 + … + n = n(n+1)/2

Explication

La somme de 1 à n s’écrit n(n+1)/2 pour n ≥ 1. C’est la formule classique démontrée par récurrence.

8. Quel calcul permet d’obtenir l’étape de récurrence pour la somme 1 + 2 + … + n ?

Partir de 1 + 2 + … + k + (k+1) et simplifier
Additionner seulement les deux derniers termes
Remplacer n par k−1 dans la formule finale
Comparer directement n à n+1 sans écrire la somme

Partir de 1 + 2 + … + k + (k+1) et simplifier

Explication

Pour prouver l’hérédité, on part de 1 + 2 + … + k + (k+1) et on transforme l’expression grâce à l’hypothèse de récurrence. On obtient alors la formule au rang k+1.

9. Dans la suite définie par récurrence t0 = 0 et t_{n+1} = 3t_n − 2, quelle est l’expression explicite obtenue par récurrence ?

t_n = 2 − 3n
t_n = 1 − 3^n
t_n = 1 + 3^n
t_n = 3^n − 1

t_n = 1 − 3^n

Explication

L’exemple montre qu’on peut établir par récurrence que t_n = 1 − 3^n pour tout n. Cette formule vérifie bien la relation t_{n+1} = 3t_n − 2.

10. Pour la suite u0 = 0 et u_{n+1} = √(u_n + 5), quelle propriété est d’abord démontrée par récurrence ?

u_n < 0 pour tout n
u_{n+1} = u_n + 5 pour tout n
u_n = n pour tout n
0 < u_n < 3 pour n ≥ 1

0 < u_n < 3 pour n ≥ 1

Explication

L’encadrement initial visé pour cette suite est 0 < u_n < 3 à partir de n ≥ 1. Cette propriété sert ensuite notamment à étudier la croissance et la stabilité de la suite.

11. Pour établir l’encadrement de la suite définie par u_{n+1}=\sqrt{u_n+5} avec u_0=0, quelle propriété choisit-on comme objectif de récurrence ?

u_n \ge 3
0 < u_n < 3
u_n = \sqrt{u_n+5}
u_n < u_{n+1}

0 < u_n < 3

Explication

L’encadrement recherché est bien de montrer que tous les termes vérifient 0 < u_n < 3 à partir d’un rang fixé. Les autres propositions concernent la croissance, une égalité fausse ou une borne non adaptée.

12. Dans la preuve de la croissance de la suite u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}, quel argument permet de passer de u_k < u_{k+1} à u_{k+1} < u_{k+2} ?

On remplace u_k par u_{k+2} dans l’inégalité de départ
On additionne 5 aux deux membres puis on inverse l’inégalité
La fonction racine carrée est croissante sur [0,+∞[
La fonction carré est croissante sur [0,+∞[

La fonction racine carrée est croissante sur [0,+∞[

Explication

On utilise la monotonie de la racine carrée sur [0,+∞[ pour conserver l’ordre après application de \sqrt{·}. C’est ce qui permet de transformer une inégalité sur u_k et u_{k+1} en une inégalité sur u_{k+1} et u_{k+2}.

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Mémorisez les réponses avec 12 flashcards sur Introduction à la récurrence et ses applications.

Raisonnement par récurrence — rôle ?

Prouver une propriété pour tous n ≥ n0.

Illustration dominos — principe clé ?

Chute d’un domino entraîne celle du suivant.

Principe de récurrence — étape initiale ?

Vérification de P(n0).

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