Introduction à la récurrence et ses applications

📋 Plan du Cours

1. Raisonnement par récurrence
2. Illustration des dominos
3. Principe de récurrence
4. Somme des entiers naturels
5. Suite définie par récurrence
6. Encadrement et croissance de u_n

📖 1. Raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Dominos : Métaphore où la chute d’un domino entraîne la chute du suivant pour garantir un résultat pour toute une chaîne.
• Propriété P(n) : Notation d’une propriété qui dépend d’un entier naturel n et qu’on veut montrer vraie à partir d’un certain rang.
• Vérification initiale : Étape où l’on démontre que P(n0) est vraie pour amorcer la chaîne de raisonnement.

📝 Points essentiels

• Pour conclure que P(n) est vraie pour tout n ≥ n0, on combine un point de départ et une preuve de passage de k vers k+1.
• La logique de l’approche repose sur le fait que la chute du kème entraîne celle du (k+1)ème.
• Le cours demande de viser une propriété P(n) formulée en fonction de n avant de faire l’amorçage puis la hérédité.

💡 Astuce mémo

Dominos = départ (1er tombe) puis relais (k tombe ⇒ k+1 tombe).

📖 2. Illustration des dominos

🔑 Notions clés & Définitions