Fiche de révision : Introduction à la trigonométrie et ses propriétés

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés du cercle trigonométrique
2. Valeurs usuelles des fonctions cosinus et sinus
3. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
4. Formules de développement, double angle et applications
5. Formules de factorisation des sommes et différences trigonométriques
6. Fonction tangente et fonction arctangente : définitions et propriétés

📖 1. Définition et propriétés du cercle trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Dans tout le chapitre, on fixe un repère orthonormé direct du plan : R
• Radians/degrés : Unités de mesure d'angles avec la correspondance π radians = 180°, π/2 radians = 90°, π/4 radians = 45°, π/6 radians = 30°.
• TSI1 : Niveau de classe correspondant à la première année de terminale scientifique en France, où la trigonométrie est abordée.

📝 Points essentiels

• Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé direct.
• À tout réel a, on associe un point N_a sur le cercle trigonométrique dont l'abscisse est cos(a) et l'ordonnée est sin(a).
• La correspondance entre radians et degrés est donnée par π radians = 180°, π/2 = 90°, π/4 = 45°, π/6 = 30°.
• On appelle cercle trigonométrique C le cercle de centre O et de rayon 1.

💡 À retenir

Comprendre le cercle trigonométrique comme fondement géométrique des fonctions cosinus et sinus, avec leurs propriétés fondamentales de périodicité et parité.

📖 2. Valeurs usuelles des fonctions cosinus et sinus

🔑 Notions clés & Définitions

Cosinus et sinus sont des fonctions trigonométriques qui, pour un angle donné, associent une valeur numérique correspondant à la projection sur un cercle unité. Ces fonctions sont définies pour tout angle réel et possèdent des propriétés spécifiques, notamment en ce qui concerne leur symétrie : cos(-a)=cos(a) et sin(-a)=-sin(a).

📝 Points essentiels

• Les angles usuels à connaître sont : 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 2π, -π, -π/2.

• Les valeurs de cosinus pour ces angles sont :

• cos(0)=1

• cos(π/6)=√3/2

• cos(π/4)=√2/2

• cos(π/3)=1/2

• cos(π/2)=0

• Les valeurs de sinus pour ces mêmes angles sont :

• sin(0)=0

• sin(π/6)=1/2

• sin(π/4)=√2/2

• sin(π/3)=√3/2

• sin(π/2)=1

• Les formules de somme et différence d’angles permettent de calculer cos(a±b) et sin(a±b) à partir des valeurs de cos et sin de a et b. La propriété cos(-a)=cos(a) et sin(-a)=-sin(a) indique la symétrie de ces fonctions par rapport à l’origine. La formule cos p - cos q = -2 sin((p+q)/2) sin((p-q)/2) est une identité utile pour simplifier certains calculs.

💡 À retenir

Mémoriser les valeurs clés de cosinus et sinus aux angles usuels facilite le calcul et la résolution d’exercices trigonométriques.

📖 3. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle rectangle : \cos(a + 2\pi) = \cos(a), \quad \sin(a + 2\pi)
• Sin(a) : \cos(a + 2\pi)

📝 Points essentiels

• Dans un triangle rectangle, cos(a) = adjacent / hypoténuse.
• Dans un triangle rectangle, sin(a) = opposé / hypoténuse.

💡 À retenir

Relier les définitions trigonométriques aux rapports de longueurs dans le triangle rectangle pour une compréhension géométrique intuitive.

📖 4. Formules de développement, double angle et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Formules de développement : Formules permettant d'exprimer le produit ou la somme de fonctions trigonométriques en termes de sommes ou produits, comme cos(a+b)=cos a cos b - sin a sin b et sin(a+b)=sin a cos b + cos a sin b.

📝 Points essentiels

• Les formules de développement incluent : cos(a+b)=cos a cos b - sin a sin b, sin(a+b)=sin a cos b + cos a sin b.
• Les formules d’angle double sont : cos(2a)=cos² a - sin² a = 2cos² a -1 = 1 - 2sin² a, sin(2a)=2 sin a cos a.
• Les formules de linéarisation permettent d’écrire cos² a = (1+cos(2a))/2 et sin² a = (1 - cos(2a))/2.
• Les transformations trigonométriques incluent : cos(π/2 + a) = -sin(a), sin(π/2 + a) = cos(a), cos(π + a) = -cos(a), sin(π + a) = -sin(a).
• L’expression a cos(ω t) + b sin(ω t) peut se réécrire sous la forme A cos(ω t + φ) avec A = √(a² + b²), cos(φ) = a/A, sin(φ) = b/A.
• \cos(-a) = \cos(a), \quad \sin(-a) = -\sin(a)

💡 À retenir

Maîtriser les formules fondamentales de développement et leurs applications pour transformer et simplifier les expressions trigonométriques.

📖 5. Formules de factorisation des sommes et différences trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Cos p + cos q : Expression représentant la somme de deux cosinus, qui peut être transformée en un produit de cosinus.

📝 Points essentiels

• La somme de cosinus se factorise : cos p + cos q = 2 cos((p+q)/2) cos((p-q)/2).
• La différence de cosinus se factorise : cos p - cos q = -2 sin((p+q)/2) sin((p-q)/2).
• La somme de sinus se factorise : sin p + sin q = 2 sin((p+q)/2) cos((p-q)/2).
• \sin(2a)=2\sin a \cos a
• \cos(\pi+a) = -\cos(a), \quad \sin(\pi+a) = -\sin(a)

💡 À retenir

Les formules de factorisation permettent de transformer des sommes ou différences trigonométriques en produits, facilitant le calcul et la résolution d’équations.

📖 6. Fonction tangente et fonction arctangente : définitions et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction arctangente : Fonction inverse de la fonction tangente, définie sur l'intervalle ]-π/2, π/2[, qui associe à tout réel b l'unique réel x dans cet intervalle tel que tan(x) = b.

📝 Points essentiels

• La fonction tangente est définie par tan(a) = sin(a)/cos(a) avec la condition cos(a) ≠ 0, soit a ≠ π/2 + kπ.
• La fonction tangente est périodique de période π : tan(a + π) = tan(a).
• La fonction tangente est impaire : tan(-a) = -tan(a).
• La fonction tangente est strictement croissante sur l’intervalle ]-π/2, π/2[.
• Les limites de la fonction tangente sont : tan(a) → +∞ quand a → π/2⁻ et tan(a) → -∞ quand a → -π/2⁺.
• \tan(a+\pi)=\tan(a) (période π)
• Pour tout réel b, il existe un unique réel

💡 À retenir

Comprendre la fonction tangente comme rapport sinus sur cosinus avec ses propriétés de périodicité et croissance, et la fonction arctangente comme sa bijection inverse sur ]-π/2, π/2[.

📊 Tableaux de Synthèse

Valeurs usuelles des fonctions trigonométriques

Formules fondamentales

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre les valeurs de cos et sin pour différents angles usuels.
2. Utiliser incorrectement la formule cos(a+b) en inversant les termes.
3. Oublier la périodicité de la tangente lors de ses calculs.
4. Confondre la formule de double angle pour cos et sin.
5. Mauvaise utilisation des formules de factorisation pour les sommes et différences.
6. Confondre la définition de la fonction arctangente avec celle de la tangente.

✅ Checklist Examen

1. Mémoriser les valeurs clés de cos et sin aux angles usuels.
2. Savoir appliquer les formules de somme et différence d’angles.
3. Maîtriser la formule de double angle.
4. Savoir factoriser les sommes et différences trigonométriques.
5. Comprendre la définition et propriétés de la tangente.
6. Utiliser la fonction arctangente pour retrouver un angle à partir d’un rapport.
7. Respecter la périodicité de la tangente.
8. Savoir relier les rapports dans un triangle rectangle.