Introduction à l'algèbre des matrices

1. 📌 L'essentiel

• Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres réels, noté MR(n,p), avec n lignes et p colonnes.
• La taille d'une matrice est (n,p); les coefficients sont notés $m_{i,j}$.
• Les matrices carrées ont même nombre de lignes et colonnes (n,n); elles sont inversibles si leur déterminant $\neq 0$.
• La matrice identité $I_n$ a diagonale de 1 et zéro ailleurs, rôle neutre pour la multiplication.
• Le déterminant d'une 2x2 est $ad - bc$; sa non-nullité assure l'inversibilité.
• La multiplication matricielle est définie par lignes de A et colonnes de B, dimensions compatibles : $A_{n \times p} \times B_{p \times q} = C_{n \times q}$.
• Relation clé : $\det(AB) = \det A \times \det B$.
• Une matrice est inversible si et seulement si $\det \neq 0$, alors $A^{-1}$ existe et vérifie $A \times A^{-1} = I$.
• La relation entre déterminant et inverse : $\det(A^{-1}) = 1 / \det A$ si $\det A \neq 0$.
• Les matrices diagonales ont des coefficients nuls hors diagonale, la diagonale étant arbitraire.
• Les matrices triangulaires (sup ou inf) ont des coefficients nuls sous ou au-dessus de la diagonale.
• Les opérations principales : addition, multiplication par scalaire, multiplication matricielle.
• La relation fondamentale : $\det A = 0$ si et seulement si $A$ n’est pas inversible.