Fiche de révision : Introduction à l'Analyse des Correspondances

📋 Plan du Cours

1. Valorisation des données et décision
2. Analyse préliminaire multivariée
3. Tableau de contingence
4. Indépendance et test du khi-deux
5. Distance khi-deux et inertie
6. Profils lignes et colonnes
7. Représentation optimale des nuages
8. Aide à l’interprétation
9. Applications et histoire de l’AFC

📖 1. Valorisation des données et décision

🔑 Notions clés & Définitions

• Donnée brute : Une information collectée telle quelle, sans interprétation ni lien explicite avec une décision à prendre.
• Transformation en information : Une étape de traitement qui donne du sens aux données brutes pour en faire des éléments actionnables pour l’analyse.
• Système d’aide à la décision : Un dispositif qui combine analyse et connaissances pour aider à comprendre et choisir des actions à partir des données.
• Analyse et valorisation : Un processus qui organise les données et leurs caractéristiques afin de fournir une compréhension exploitable du problème.

📝 Points essentiels

• La valorisation des données consiste à convertir des observations brutes en informations utiles pour guider la décision.
• L’analyse préliminaire multivariée sert à hiérarchiser les facteurs liés aux variables avant de choisir une méthode de résolution adaptée.
• L’approche AFC est présentée comme une technique exploratoire pour repérer des modèles d’association entre modalités de variables qualitatives complexes.
• Dans l’exemple, la décision vise l’optimisation du contrôle en lien avec les interactions entre types de support et types de défauts.
• La décision s’appuie sur une compréhension globale de la structure des données, pas sur une lecture isolée d’une variable.

📖 2. Analyse préliminaire multivariée

🔑 Notions clés & Définitions

• Analyse préliminaire : Approche initiale de statistique multivariée qui prépare les données en les organisant selon leur structure avant de choisir les méthodes d’analyse.
• Méthodes descriptives : Famille de méthodes qui résume et met en évidence des relations dans les données, notamment via des analyses exploratoires comme l’AFC.
• Partitionnement de données : Méthode de clustering qui divise un ensemble de données en groupes distincts, chacun supposé plus homogène que le reste.
• Méthodes explicatives : Famille de méthodes qui cherchent à expliquer une variable en s’appuyant sur d’autres variables corrélées.

📝 Points essentiels

• La phase d’analyse préliminaire consiste à hiérarchiser les éléments et à traiter les données en fonction de leur structure.
• Les méthodes descriptives servent à déterminer et hiérarchiser des facteurs corrélés aux données placées en colonnes, comme en analyse des correspondances.
• Le partitionnement regroupe les individus en paquets considérés homogènes pour mieux explorer la structure des données.
• La régression multiple approche une variable à partir d’autres variables corrélées, tandis que l’ANOVA mesure l’effet de variables explicatives catégorielles sur la loi d’une variable continue.

📖 3. Tableau de contingence

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau croisé : Un tableau de contingence met en correspond les modalités d’une variable qualitative V1 en lignes et d’une variable qualitative V2 en colonnes, avec les effectifs observés aux intersections.
• Effectif conjoint : L’effectif $x_{ij}$ est le nombre d’individus ayant simultanément la modalité $i$ de $V1$ et la modalité $j$ de $V2$.
• Sommes marginales : Les sommes marginales $x_{i.}$ et $x_{.j}$ sont respectivement les totaux de la ligne $i$ et de la colonne $j$, additionnant tous les effectifs associés.
• Densité bivariée : La densité bivariée de l’échantillon $f_{ij}$ est la proportion $f_{ij}=\frac{1}{n}x_{ij}$, obtenue en divisant le tableau croisé par l’effectif total $n$.

📝 Points essentiels

• L’effectif total du tableau vaut $n=x_{..}=\sum_i\sum_j x_{ij}$, avec $x_{i.}=\sum_j x_{ij}$ et $x_{.j}=\sum_i x_{ij}$.
• On transforme le tableau croisé en probabilités en posant $f_{ij}=\frac{x_{ij}}{n}$, et la somme de toutes les densités vaut 1.
• Les densités marginales $f_{i.}$ et $f_{.j}$ sont les probabilités associées aux lignes et aux colonnes via la somme des $f_{ij}$ correspondants.
• Les valeurs $f_{ij}$ sont interprétées comme des probabilités jointes associées au couple (modalité de V1, modalité de V2).

💡 Astuce mémo

x_ij : intersection des modalités ; f_ij = x_ij/n : “tout diviser par l’effectif total” pour passer aux probabilités.

📖 4. Indépendance et test du khi-deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance des modalités : L’indépendance signifie qu’il n’y a pas d’interaction entre deux variables catégorielles observées dans le tableau de contingence.
• Modèle d’indépendance : Le modèle d’indépendance décrit les effectifs attendus $f_{ij}^*$ quand chaque modalité de la première variable ne dépend pas de la seconde.
• Test d’indépendance $\chi^2$ : Le test d’indépendance $\chi^2$ compare les fréquences observées aux fréquences attendues sous l’hypothèse d’indépendance dans un tableau de contingence.
• Hypothèse nulle $H_0$ : L’hypothèse nulle $H_0$ affirme que les deux variables sont indépendantes, ce qui donne $f_{ij}^*=f_{i.}f_{.j}$ pour tout $i,j$.

📝 Points essentiels

• Le test d’indépendance $\chi^2$ sert à décider si des écarts entre fréquences observées $f_{ij}$ et attendues $f_{ij}^*$ sont compatibles avec l’indépendance en tableau de contingence.
• La statistique s’écrit comme une somme des écarts normalisés, typiquement $\chi^2=\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\frac{(f_{ij}-f_{ij}^*)^2}{f_{ij}^*}$.
• La démarche du test est de calculer $\chi^2$, déterminer les degrés de liberté, puis conclure en comparant à une valeur critique ou via la p-value.
• Sous $H_0$, l’effectif attendu vérifie $f_{ij}^*=f_{i.}f_{.j}$, équivalent à $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ pour deux événements correspondants aux modalités.
• Les degrés de liberté du test valent $df=(I-1)(J-1)$, donc $I-1$ et $J-1$ traduisent les marges non libres dans la table.
• Dans l’exemple du cours, $\chi^2=1170{,}534$, $df=5\times 13$, et comme $\text{p-value}<2{,}2\times 10^{-16}$ on rejette l’indépendance.

💡 Astuce mémo

Indépendance = attendu produit des marges : $f_{ij}^*=f_{i.}f_{.j}$, donc $\chi^2$ mesure l’écart entre $f_{ij}$ et ce produit.

📖 5. Distance khi-deux et inertie

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance khi-deux : La distance khi-deux quantifie l’écart entre deux profils lignes en sommant, sur les modalités, leurs différences pondérées par l’inverse des effectifs marginaux.
• Centre gravité GI : Le centre gravité GI est le barycentre du nuage des profils lignes dans l’espace du tableau des correspondances.
• Inertie totale Φ2 : L’inertie totale Φ2 mesure la dispersion globale du nuage des profils lignes autour de son centre, en lien avec l’hypothèse d’indépendance.
• Inertie : L’inertie exprime la somme des contributions des points en fonction de leur distance au centre au carré, pondérée par leur poids.

📝 Points essentiels

• La distance entre deux profils lignes $i_1$ et $i_2$ s’écrit $d_{\chi^2}^2(i_1,i_2)=\sum_{j=1}^J\frac{1}{f_{.j}}\left(\frac{f_{i_1j}}{f_{i_1.}}-\frac{f_{i_2j}}{f_{i_2.}}\right)^2$, ce qui pénalise davantage les écarts sur des modalités de faible effectif $f_{.j}$.
• La distance d’un profil $i$ au centre $G_I$ s’écrit $d_{\chi^2}^2(i,G_I)=\sum_{j=1}^J\frac{(f_{ij}-f_{i.}f_{.j})^2}{f_{.j}f_{i.}^2}$, et elle traduit l’écart du profil à l’indépendance.
• Sous l’hypothèse $H_0$ d’indépendance, on a $f_{.j}^*=f_{ij}$ pour chaque $i,j$, si bien que les distances mesurent l’écart restant par rapport aux écarts attendus sous $H_0$.
• L’inertie du nuage des profils lignes s’obtient en agrégeant les distances au centre avec les poids : $\Phi^2=\sum_i f_{i.}\,d_{\chi^2}^2(i,G_I)$, donc elle mesure la dispersion des profils autour du comportement sous indépendance.
• Donner un poids $f_{i.}$ revient à faire dépendre l’inertie de la fréquence des modalités : plus une modalité est fréquente, plus elle influence la construction du nuage.

💡 Astuce mémo

Pensez $d_{\chi^2}$ = écarts $\times$ (1/rareté) : le facteur $1/f_{.j}$ rend les modalités rares “chères” dans la distance.

📖 6. Profils lignes et colonnes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage NI : Un nuage de profils lignes représente les $I$ profils lignes du tableau sur un espace factoriel de dimension au plus $I-1$.
• Nuage NJ : Un nuage de profils colonnes représente les $J$ profils colonnes du tableau sur un espace factoriel de dimension au plus $J-1$.
• Représentation barycentrique exacte : Une carte asymétrique met les lignes en coordonnées principales et les colonnes en coordonnées barycentriques pour positionner précisément les profils.
• Représentation quasi-barycentrique : Une carte quasi-barycentrique approximate l’autre nuage via un barycentre corrigé par $rac{1}{ lambda_s}$, utile quand on ne peut pas tout représenter exactement.
• Représentation superposée : Une représentation superposée place lignes et colonnes sur le même repère pour visualiser les associations, mais sans interpréter directement les inter-distances ligne-colonne.

📝 Points essentiels

• Le nombre de dimensions nécessaires pour représenter parfaitement un nuage de profils est au minimum $\min(I-1,J-1)$, car une contrainte de rang fixe la dimension maximale utile.
• Pour les profils lignes, le degré de liberté vaut $I-1$, donc $N_I$ se représente dans un sous-espace de $\mathbb{R}^{I-1}$ (même logique pour $N_J$ avec $J-1$).
• Les nuages $N_I$ et $N_J$ ont la même inertie totale $\Phi^2$ et la même inertie projetée sur une même dimension $s$ (autrement dit une égalité des sommes des contributions sur $s$).
• La position d’une ligne sur la dimension $s$ est un barycentre des colonnes : les coordonnées s’écrivent avec $F_s^i=\sum_{j=1}^J f_{ij}\,G_s^j$ (forme duale avec $G_s^j$ comme barycentre des lignes).
• En représentation barycentrique exacte, deux cartes asymétriques existent selon si l’on met les lignes en coordonnées principales (colonnes barycentriques) ou l’on inverse (colonnes principales, lignes barycentriques).
• En représentation superposée, l’inter-distance entre lignes et colonnes n’est pas interprétable : on privilégie l’analyse qualitative des associations et des proximités synthétiques.

📖 7. Représentation optimale des nuages

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées barycentriques : Les coordonnées barycentriques d’un ensemble sont calculées comme une moyenne pondérée des positions de l’autre ensemble, ce qui rend l’affectation « optimale » par barycentre.

📝 Points essentiels

• Il existe deux tracés asymétriques possibles : l’analyse en lignes ou en colonnes privilégie un côté et détermine quelles coordonnées sont principales et quelles coordonnées sont barycentriques.
• En quasi-barycentrique, la coordonnée barycentrique de la colonne $j$ sur la dimension $s$ vaut $G_s^j=\frac{1}{\lambda_s}\sum_{i=1}^I\frac{I f_{ij}}{f_{i.}}\,F_s^i$.
• En quasi-barycentrique, la coordonnée barycentrique de la ligne $i$ sur la dimension $s$ vaut $F_s^i=\frac{1}{\lambda_s}\sum_{j=1}^J\frac{J f_{ij}}{f_{.j}}\,G_s^j$.
• En représentation superposée, l’inter-distance entre lignes et colonnes n’est pas interprétable ; on ne fait que des constats généraux sur le modèle.
• En représentation superposée, l’interprétation est synthétique et la proximité des points reflète des associations pertinentes.

💡 Astuce mémo

Superposé = Proximité exploitable, Distance ligne↔colonne inexploitable.

📖 8. Aide à l’interprétation

🔑 Notions clés & Définitions

• Contribution : La contribution mesure la part d’une modalité dans la formation d’un axe, ce qui indique quelles modalités « portent » le plus la dimension.
• Cos2 : Le Cos2 mesure la qualité de représentation d’une modalité par rapport à un axe, plus il est grand, plus l’axe résume bien la modalité.
• Modalités extrêmes : Les modalités extrêmes sont celles situées aux bords du tableau, et leur position peut être très informative mais aussi trompeuse pour l’interprétation de l’indépendance.
• Ratio d’aspect : Le ratio d’aspect décrit le rapport d’étendue du nuage sur les axes, et influence la façon dont la déformation liée aux probabilités marginales rend les relations visibles.

📝 Points essentiels

• Quand une modalité comme FIGO est mal représentée sur les dimensions 1 et 2 (mais bien sur la 5), elle peut remettre en cause l’idée d’indépendance formulée au départ.
• BOUCLETTE a une contribution extrêmement élevée sur la dimension 5 (90,2), ce qui explique qu’elle « s’exprime » surtout sur cet axe.
• Les nuages de points d’AFC peuvent être visuellement déformés car l’axe de modalités comme « NON » est dilaté par sa probabilité marginale.
• Avec un ratio d’aspect égal à 1, l’exemple montre que l’interprétation visuelle dépend aussi de la géométrie du nuage.
• Les points se placent sur une ligne lorsque le nombre de dimensions optimales vaut min(I−1, J−1)=1.
• Le mosaic plot d’AFC comptabilise les résidus par rapport à l’indépendance, ce qui permet d’observer des écarts sans tracer la métrique $32$ des points.

💡 Astuce mémo

FIGO bouscule l’indépendance: médiocre sur (1,2) mais très fort sur 5, tandis que BOUCLETTE explose en dim5 (90,2).

📖 9. Applications et histoire de l’AFC

🔑 Notions clés & Définitions

• Mosaic plot AFC : Un diagramme en mosaïque visualise les écarts entre les effectifs observés et ceux attendus sous l’hypothèse d’indépendance.
• Analyse des réseaux : Une application de l’AFC consiste à représenter des flux, avec des lignes comme origine et des colonnes comme destination, afin d’interpréter des compositions croisées.
• Hiérarchisation de données : Une application de l’AFC sert à organiser des modalités selon des dimensions factorielles, puis à relier ces axes à une gravité ou à des variables latentes.
• ICE (axe CA1) : Une dénomination donnée au premier axe d’AFC dans une étude de complexité économique, utilisé ensuite pour l’ordination et le lien avec des indicateurs.
• Histoire association statistique : Une mise en perspective relie l’essor de la corrélation (Galton puis Pearson) à l’idée d’utiliser l’AFC comme outil d’association pour des tableaux de contingence.

📝 Points essentiels

• Pour l’exemple « état de silence immunitaire » en COVID-19, la dimension CA2 est positivement associée à l’IL-1RA plasmatique et au nombre de neutrophiles, et négativement associée au nombre d’érythrocytes et à l’hémoglobine.
• Dans l’étude sur mobilité Erasmus 2013-14, les profils lignes représentent les pays de départ et les profils colonnes les pays de destination pour analyser des compositions croisées.
• Dans l’analyse réseaux, l’interprétation des coordonnées χ² des lignes se fait comme une composition des destinations vue depuis les pays de départ, et celle des coordonnées χ² des colonnes comme une composition des mobilités de départ vue depuis les destinations.
• Dans van Dam et al. (2021) sur données exportateurs, le tableau présence-absence contient 234 pays en lignes et 1 239 produits en colonnes, et le premier axe CA1 (ICE) explique 3,5 % de la variation totale.
• La taille de l’échantillon de l’étude de Galton est n = 934 enfants issus de m = 205 familles, avec p = 4 variables : taille de la fille, du fils, de la mère et du père.
• Dans l’exemple de la table de Galton via AFC, l’inertie vaut Φ2 = χ2/N = 0,4404, donc Φ = 0,6636 et le coefficient de contingence C = Φ2/(1+Φ2) = 0,5529.

💡 Astuce mémo

Galton → Pearson (corrélation) → AFC : on passe de l’association bivariée à l’association dans des tableaux de contingence.

📅 Repères chronologiques

1. 2013-14Étude mobilité Erasmus (2013-14) appliquée à l’AFC
2. 2016Matrice présence-absence exportateurs en 2016 (234 pays × 1 239 produits)
3. 2021Articles d’application AFC (COVID-19 et complexité économique) utilisant notamment CA1/ICE

📊 Tableaux de synthèse

Méthodes en analyse préliminaire multivariée

Représentations en AFC (lignes/colonnes)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre tableau croisé et densités : il faut diviser par l’effectif total n pour obtenir f_ij, sinon on compare des effectifs et des probabilités.
2. Penser que grande fréquence jointe = forte association : sous l’indépendance, l’attendu est f_ij* = f_i. f_.j, donc il faut un test (χ²) ou une lecture via profils.
3. Se tromper sur les degrés de liberté : df = (I−1)(J−1) (ou I−1 et J−1 ne “donnent” pas le même nombre d’éléments libres à la fois).
4. Utiliser la distance χ² comme une distance “symétrique classique” : elle pénalise plus les modalités rares via le facteur 1/f_.j (et donc interprétation spécifique).
5. Croire que “superposée” permet d’interpréter directement les distances entre lignes et colonnes : le cours dit que l’inter-distance ligne↔colonne n’est pas interprétable.
6. Interpréter mal un point mal représenté : une modalité peut être mal représentée sur dim1-2 mais bien sur dim5, ce qui peut remettre en cause l’indépendance “au départ”.
7. Oublier l’effet du ratio d’aspect : la géométrie (dilatation d’un axe par sa probabilité marginale) peut déformer la lecture visuelle des associations.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir donnée brute vs information (valorisation) et expliquer le rôle du système d’aide à la décision (analyse + connaissances).
2. Être capable de décrire l’analyse préliminaire multivariée : hiérarchiser les éléments selon la structure, puis choisir une méthode.
3. Distinguer méthodes descriptives, partitionnement (clustering) et méthodes explicatives, avec les exemples cités (AFC, clustering, régression multiple, ANOVA).
4. Construire/relire un tableau de contingence : x_ij, x_i., x_.j, x_.. = n, puis obtenir les densités f_ij = x_ij/n dont la somme vaut 1.
5. Interpréter f_ij comme probabilité jointe du couple (modalité V1, modalité V2) et reconnaître que f_i. et f_.j sont les marginales correspondantes.
6. Énoncer le modèle d’indépendance pour le test χ² : f_ij* = f_i. f_.j et l’égalité P(A∩B)=P(A)P(B) pour deux événements de modalités.
7. Expliquer la procédure du test χ² en 3 étapes : calcul de la statistique, détermination des degrés de liberté, décision via valeur critique ou p-value.
8. Relier distance khi-deux et inertie à l’indépendance : distances entre profils, centre gravité, puis inertie Φ² = Σ_i f_i. d²(i,G_I) (et compréhension “dispersion vs indépendance”).
9. Savoir les dimensions utiles à la représentation parfaite : au minimum min(I−1, J−1), et comprendre que la somme des coordonnées impose la dimension/ddl (J−1 pour le nuage lignes, I−1 pour le nuage colonnes).
10. Expliquer la dualité lignes/colonnes en AFC : même inertie totale Φ² et mêmes inerties projetées sur une dimension, et barycentre des coordonnées (ligne = barycentre des colonnes, et inverse).
11. Distinguer cartes barycentrique exacte, quasi-barycentrique (avec 1/λ_s), et superposée (distance ligne↔colonne non interprétable, mais proximité exploitable).
12. Savoir interpréter contribution et cos² : contribution indique quelles modalités “portent” l’axe, cos² la qualité de représentation sur l’axe, et utiliser ces métriques avec l’exemple FIGO/BOUCLETTE.