Fiche de révision : Introduction aux circuits électriques et magnétique

📋 Plan du Cours

1. FEM, travail, courant et résistance
2. Résistance interne et pile réelle
3. Règle de Kirchhoff des courants
4. Résistances en parallèle et résistance équivalente
5. Résistances en série et parallèle : réduction
6. Règles de Kirchhoff des mailles et des nœuds
7. Circuits RC : décharger un condensateur
8. Temps caractéristique RC et loi exponentielle
9. Circuits RC : charger un condensateur
10. Condensateurs en série et en parallèle
11. Circuits RL : brancher une inductance
12. Circuits RL : débrancher une inductance

📖 1. FEM, travail, courant et résistance

🔑 Notions clés & Définitions

• Force électromotrice : La force électromotrice est la grandeur $\mathcal{E}$ qui fournit une différence de potentiel et met les charges en mouvement dans un circuit.
• Travail électrique : Le travail électrique est l’énergie transférée aux charges par la source, liée au produit de la tension par la charge déplacée.
• Courant électrique : Le courant électrique est le débit de charge, mesuré par $I=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t$ dans un intervalle de temps.
• Résistance électrique : La résistance électrique est la grandeur $R$ qui dissipe l’énergie électrique en chaleur lorsque le courant la traverse.
• Règle des mailles : La règle des mailles impose que, dans une boucle fermée, la somme algébrique des variations de potentiel soit nulle.

📝 Points essentiels

• Dans une batterie, le travail fourni correspond au pompage de charges du potentiel bas vers le potentiel haut, ce qui crée un courant de la borne + vers la borne −.
• Pendant $dt$, la charge $dq=I\,dt$ traverse la batterie et reçoit une énergie $dW=\mathcal{E}\,dq=\mathcal{E}I\,dt$.
• La puissance fournie par la fem et dissipée par la résistance s’écrit $P=I^2R$ sur l’intervalle considéré.
• En négligeant la résistance des fils, la conservation de l’énergie donne $\mathcal{E}I\,dt=I^2R\,dt$, donc $\mathcal{E}=IR$.
• Dans une maille fermée, la somme algébrique des variations de potentiel électrique est nulle (règle de Kirchhoff pour les tensions).

💡 Astuce mémo

Énergie source = énergie dissipée : $\mathcal{E}I\,dt=I^2R\,dt\Rightarrow \mathcal{E}=IR$ ; maille fermée : somme des tensions = 0.

📖 2. Résistance interne et pile réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Pile idéale : Pile idéale : générateur de tension constante dont la fem ne s’oppose pas au mouvement des charges car sa résistance interne est nulle.
• Force électromotrice : Force électromotrice : grandeur $\mathcal{E}$ qui s’exprime en $\mathrm{J/C}$ et en volts, et qui correspond à l’énergie fournie par unité de charge.
• Résistance interne : Résistance interne : résistance $r$ propre à une pile réelle qui provoque une chute de potentiel supplémentaire quand la pile débite un courant.
• Pile réelle : Pile réelle : modèle où la tension aux bornes diminue quand le courant augmente à cause de la résistance interne.
• Comportement ohmique de la pile : Comportement ohmique de la pile : régime où la baisse de tension varie linéairement avec le courant, ce qui permet d’utiliser une relation de type loi d’Ohm.

📝 Points essentiels

• La règle de Kirchhoff pour les tensions (règle des mailles) impose que la somme algébrique des variations de potentiel dans une maille fermée soit nulle.
• Les unités de la fem sont $[\mathcal{E}]=\mathrm{J/C}=\mathrm{Volt}$.
• Une fem idéale correspond à une pile sans résistance interne, donc sans chute de potentiel interne opposée au courant.
• Quand une pile réelle débite un courant, la résistance interne $r$ ajoute une chute de potentiel et la tension aux bornes diminue quand $I$ augmente.
• Dans le régime où la diminution de tension dépend linéairement du courant, la pile est dite ohmique et obéit à une loi de type $V=IR$.
• Exemple : avec les phares déjà allumés, le démarreur tire un courant très élevé, la tension de la batterie chute et les phares s’affaiblissent.

💡 Astuce mémo

Pile idéale : $r=0$ donc tension constante ; pile réelle : $r>0$ donc $V$ baisse quand $I$ monte.

📖 3. Règle de Kirchhoff des courants

🔑 Notions clés & Définitions

• Résistance interne : Résistance interne : modèle ohmique de la pile qui représente la perte de tension due au courant qui la traverse.
• FEM idéale : FEM idéale : source de tension modélisant la force électromotrice de la pile, sans résistance associée.
• Tension aux bornes : Tension aux bornes : différence de potentiel mesurée par un voltmètre idéal entre les deux bornes de la pile.
• Courant de charge : Courant de charge : sens du courant lorsque la pile reçoit de l’énergie et se charge, ce qui modifie le signe de la chute interne.

📝 Points essentiels

• Tant que la chute de tension varie linéairement avec le courant, la pile se modélise comme une résistance interne $r$ en série avec une FEM idéale $E$.
• Quand la pile fournit un courant au circuit, la tension aux bornes vérifie $V=E-rI$ et $V$ est inférieure à $E$.
• Quand le circuit fournit un courant à la pile (pile en charge), la tension aux bornes vérifie $V=E+rI$ et $V$ dépasse $E$.
• Dans l’application de Kirchhoff (sens horaire), on obtient une équation du type $E-Ir-IR=0$ menant à $I=\dfrac{E}{R+r}$.
• On suppose que la résistance des fils est nulle, donc aucune chute de potentiel n’apparaît entre les éléments du circuit.

💡 Astuce mémo

Fournit : $V=E-rI$ (ça baisse) ; Charge : $V=E+rI$ (ça monte).

📖 4. Résistances en parallèle et résistance équivalente

🔑 Notions clés & Définitions

• Branche : Une branche est un ensemble d’éléments placés en série, traversé par le même courant.
• Nœud : Un nœud est un point où trois branches ou plus se rencontrent, et où toutes les branches ont le même potentiel jusqu’au premier élément.
• Maille : Une maille est un ensemble de nœuds et de branches formant une boucle fermée sur elle-même.
• Résistance équivalente : La résistance équivalente est une résistance unique qui remplace un ensemble de résistances pour donner le même comportement électrique vu par le générateur.
• Résistances en parallèle : Des résistances en parallèle sont des résistances connectées entre les mêmes nœuds, de sorte que le courant se partage entre branches.

📝 Points essentiels

• En parallèle, le courant total débité par le générateur se répartit dans les branches et la somme des courants de branche reconstitue le courant total.
• Les courants dans les branches d’un montage en parallèle se recombinent au nœud de sortie pour reformer le courant fourni au circuit.
• La tension entre deux nœuds est la même pour toutes les branches connectées en parallèle.
• Pour des résistances en série, la résistance équivalente vaut la somme : $R_e=\sum_j R_j$.
• Pour des résistances en série, le même courant $I$ traverse chaque résistance et la tension du générateur se décompose en $V=V_1+V_2=R_1I+R_2I$.
• Tableau de comparaison : Série → même courant, somme des tensions ; Parallèle → même tension, somme des courants.

💡 Astuce mémo

Série : courant identique, tensions s’additionnent ; Parallèle : tension identique, courants s’additionnent.

📖 5. Résistances en série et parallèle : réduction

🔑 Notions clés & Définitions

• Résistances en parallèle : Montage où plusieurs résistances partagent les mêmes bornes, donc elles ont la même tension.
• Résistance équivalente (parallèle) : Résistance unique qui reproduit le même effet global qu’un ensemble de résistances montées en parallèle.
• Règle des nœuds (Kirchhoff) : Principe de conservation du courant qui impose que la somme des courants entrant dans un nœud égale celle des courants sortant.
• Loi d’Ohm : Relation reliant tension, courant et résistance, utilisée séparément dans chaque branche d’un circuit.

📝 Points essentiels

• Dans un nœud, le courant total se répartit : $I=I_1+I_2$ (courants qui arrivent puis se recombinent).
• En parallèle, la tension est identique sur chaque résistance : $V_{R1}=V_{R2}=V$.
• Pour deux branches en parallèle : $I=\dfrac{V}{R_1}+\dfrac{V}{R_2}$, donc $\dfrac{1}{R_e}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$.
• Pour plusieurs résistances en parallèle : $\dfrac{1}{R_e}=\sum_j \dfrac{1}{R_j}$.
• Si $R_1\gg R_2$, alors $R_e\approx R_2$ : la résistance équivalente est proche de la plus faible.
• La résistance équivalente en parallèle vérifie $R_e$ toujours inférieur à chacune des résistances, et les courants sont inversement proportionnels : $I_1=\dfrac{V}{R_1}$, $I_2=\dfrac{V}{R_2}$.

💡 Astuce mémo

Parallèle = même tension, donc $\frac{1}{R_e}$ s’additionne comme des “inverseurs” : plus une branche est grande, moins elle compte.

📖 6. Règles de Kirchhoff des mailles et des nœuds

🔑 Notions clés & Définitions

• Règle des mailles : La règle des mailles affirme que, dans une maille fermée, la somme algébrique des variations de potentiel électrique vaut zéro.
• Règle des nœuds : La règle des nœuds affirme que, pour un nœud, la somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants (donc somme algébrique nulle).
• Maille fermée : Une maille fermée est un trajet fermé du circuit qui permet d’appliquer la règle des mailles sur les tensions rencontrées.
• Nœud électrique : Un nœud électrique est un point où se rejoignent plusieurs branches, permettant d’appliquer la règle des nœuds sur les courants.

📝 Points essentiels

• La règle des mailles s’écrit comme une somme algébrique des variations de potentiel égale à 0 sur toute maille fermée.
• La règle des nœuds s’écrit comme une somme des courants entrants égale à la somme des courants sortants (équivalent à une somme algébrique nulle).
• Dans un circuit complexe, les lois de Kirchhoff permettent de calculer des courants et tensions même quand le circuit n’est ni en série ni en parallèle.
• Le nombre d’équations écrites à partir des mailles et des nœuds peut dépasser le nombre d’inconnues, mais toutes ne sont pas indépendantes.
• Dans l’exemple donné, 5 équations sont écrites (3 nœuds/mailles), mais seulement 3 sont indépendantes, ce qui suffit pour déterminer les 3 courants inconnus.

💡 Astuce mémo

Mailles = Tensions (somme 0) ; Nœuds = Courants (entrants = sortants).

📖 7. Circuits RC : décharger un condensateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Condensateur déchargé : Condensateur dont la charge initiale Q0 décroît au cours du temps après fermeture du circuit de décharge.
• Charge initiale Q0 : Valeur de la charge portée par les armatures au temps t=0, notée ±Q0 selon la polarité.
• Constante de temps RC : Grandeur $RC$ qui fixe l’échelle temporelle de la décroissance exponentielle de la charge et des tensions dans un circuit RC.
• Loi exponentielle de décharge : Diminution de la charge $Q(t)$ selon une loi du type $Q(t)\propto e^{-t/RC}$ quand $dQ/dt$ est proportionnel à $-Q$.

📝 Points essentiels

• À t=0, la tension initiale du condensateur vaut $V0=Q0/C$ et le courant initial de décharge vaut $I0=V0/R=Q0/(RC)$.
• Pendant la décharge, la tension aux bornes de la résistance vérifie $V_R(t)=R I(t)$ et la tension du condensateur vérifie $V_C(t)=Q(t)/C$.
• La relation $R\,dQ/dt=-Q/C$ donne l’équation différentielle $dQ/dt=-(1/RC)\,Q(t)$.
• En intégrant, on obtient une décroissance exponentielle de la charge $Q(t)$ avec une échelle de temps $RC$ (forme $Q(t)\propto e^{-t/RC}$).
• Avec la règle des mailles, $V_R+V_C=0$ mène directement à $R\,dQ/dt+Q/C=0$, donc à la même équation $dQ/dt=-(Q/RC)$.

💡 Astuce mémo

Décharge = « $dQ/dt$ suit $-Q$ » donc exponentielle : $Q(t)$ décroît comme $e^{-t/RC}$.

📖 8. Temps caractéristique RC et loi exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Décharge RC : Processus où un condensateur se vide à travers une résistance, avec une décroissance de la charge au cours du temps.
• Temps caractéristique τ : Grandeur associée à un circuit RC, définie par $\tau=RC$, qui fixe l’échelle de décroissance de la charge.
• Loi exponentielle de la charge : Forme temporelle de la charge d’un condensateur en décharge, donnée par $Q(t)=Q_0 e^{-t/RC}$.
• Équation différentielle $dQ/dt$ : Relation dynamique reliant la variation de la charge à la charge elle-même, de la forme $\frac{dQ}{dt}=-\frac{1}{RC}Q(t)$.

📝 Points essentiels

• En décharge, la loi de mailles conduit à $\frac{dQ}{dt}=-\frac{1}{RC}Q(t)$, donc la variation de $Q$ est proportionnelle à $-Q$.
• La solution de l’équation différentielle est $Q(t)=Q_0 e^{-t/RC}$, avec $Q(0)=Q_0$.
• La constante $RC$ donne le temps pour que $Q$ soit réduite d’un facteur $1/e\approx0{,}37$.
• À $t=RC$, on a $Q(RC)=Q_0 e^{-1}\approx0{,}37Q_0$, et la courbe a une pente initiale $-Q_0/RC$.
• Sur chaque intervalle $\Delta t=RC$, la charge perd à nouveau $63\%$ de sa valeur du début de l’intervalle.
• Quand $t\to\infty$, le condensateur est considéré comme déchargé car $Q(t)\to0$.

💡 Astuce mémo

Pensez à $\tau=RC$ : après un temps $\tau$, il reste $1/e\approx0{,}37$ de la charge (donc 63% de perdu).

📖 9. Circuits RC : charger un condensateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Temps caractéristique RC : Le temps caractéristique RC (noté τ) mesure l’échelle de temps de la charge d’un condensateur dans un circuit RC.
• Courant de charge I(t) : Le courant de charge I(t) décroît exponentiellement pendant la charge du condensateur, jusqu’à tendre vers 0.
• Charge du condensateur Q(t) : La charge Q(t) du condensateur augmente exponentiellement vers une valeur maximale au cours du temps.
• Tension de la pile E : La tension de la pile E fixe la valeur maximale atteinte par la tension et la charge du condensateur en régime de charge.

📝 Points essentiels

• Pour un circuit RC en charge, le courant vérifie $I(t)=I(0)\,e^{-t/RC}$, donc il décroît exponentiellement avec la constante de temps RC.
• La charge suit $Q(t)=CE\,(1-e^{-t/RC})$ quand le condensateur part de $Q(0)=0$.
• La relation $Q(t)=CE\,(1-e^{-t/RC})$ implique que $Q(t)$ tend vers $CE$ quand $t\to\infty$.
• Après un temps $t=\tau=RC$, on obtient $Q=CE\,(1-e^{-1})\approx 0{,}63\,CE$, soit environ 63% de la charge maximale.
• Le temps caractéristique RC contrôle la vitesse de charge : plus RC est grand, plus la charge est lente.
• Dans la charge, la tension aux bornes du condensateur croît vers la tension de la pile, ce qui fait décroître le courant au fil du temps.

💡 Astuce mémo

RC règle la vitesse : après 1 temps caractéristique (t=RC), la charge vaut ~63% (1−e⁻¹).

📖 10. Condensateurs en série et en parallèle

🔑 Notions clés & Définitions

• Capacité équivalente : Grandeur qui remplace plusieurs condensateurs par un seul, donnant la même relation charge-tension sur l’ensemble du montage.
• Condensateurs en série : Montage où les condensateurs sont traversés par la même charge, ce qui modifie la capacité équivalente.
• Condensateurs en parallèle : Montage où les condensateurs ont la même tension, ce qui modifie la capacité équivalente.
• Capacité d’un condensateur : Propriété d’un condensateur qui relie la charge stockée à la tension appliquée via une constante géométrique et diélectrique.

📝 Points essentiels

• En série, la charge est la même sur chaque condensateur, donc la capacité équivalente diminue par rapport aux capacités individuelles.
• En parallèle, la tension est la même sur chaque branche, donc la capacité équivalente augmente et s’obtient par addition des capacités.
• Pour un condensateur plan, la capacité suit $C=\varepsilon_0\,\dfrac{A}{d}$ : augmenter l’aire $A$ augmente $C$.
• Pour un condensateur plan, augmenter l’écartement $d$ diminue $C$ car la capacité est inversement proportionnelle à $d$.
• La capacité équivalente sert à calculer directement la charge stockée $Q=C_{eq}V$ pour le montage complet.

💡 Astuce mémo

Série = même charge (ça “freine” donc $C_{eq}$ baisse) ; Parallèle = même tension (ça “additionne” donc $C_{eq}$ augmente).

📖 11. Circuits RL : brancher une inductance

🔑 Notions clés & Définitions

• Inductance L : Composant électrique qui s’oppose aux variations de courant et stocke de l’énergie dans son champ magnétique.
• Constante de temps L/R : Grandeur $\tau=L/R$ qui fixe la vitesse d’évolution du courant dans un circuit RL.
• FEM auto-induite : Tension créée par l’inductance quand le courant varie, qui s’oppose à la variation imposée.
• Courant de régime dans un RL : Valeur limite atteinte par le courant quand le régime permanent est établi, déterminée par la résistance et la source.

📝 Points essentiels

• Après branchement d’une inductance à une source $E$ en série avec une résistance $R$, le courant croît exponentiellement vers sa valeur maximale.
• La constante de temps du circuit RL vaut $\tau=L/R$ et gouverne à la fois la montée et la décroissance du courant.
• Le courant pendant la phase de branchement s’écrit $I(t)=\frac{E}{R}\,\left(1-e^{-(R/L)t}\right)$ (forme équivalente à une croissance exponentielle).
• Au bout d’un temps $\tau$, le courant atteint $63\%$ de sa valeur maximale.
• Après cinq constantes de temps ($5\tau$), le courant est à environ $1\%$ de la valeur limite.
• L’énergie nécessaire à l’augmentation du courant provient de la source, tandis que l’inductance emmagasine ensuite l’énergie dans le champ magnétique $W_B=\tfrac12 LI^2$.

💡 Astuce mémo

$\tau=L/R$ : même horloge pour monter et descendre; à $\tau$ on est à $63\%$, à $5\tau$ on est quasi à $100\%$.

📖 12. Circuits RL : débrancher une inductance

🔑 Notions clés & Définitions

• Débrancher une inductance : Action qui consiste à retirer la source à l’instant $t_1$, laissant l’inductance se décharger dans le circuit.
• Constante de temps $\tau$ : Paramètre d’un circuit RL égal à $\tau=\frac{L}{R}$, qui fixe la vitesse de décroissance exponentielle du courant.
• Courant de décharge $I(t)$ : Courant qui décroît après $t_1$ selon une loi exponentielle déterminée par $R$, $L$ et $t-t_1$.
• Tension aux bornes de l’inductance : Tension $V_L(t)$ qui vaut l’opposé de la tension de retour de la branche, liée au courant par $V_L=E-V_R$ pendant la décharge.

📝 Points essentiels

• À l’instant de débranchement $t_1$, on a $I(t_1)=\frac{E}{R}$ et $V(t_1)=0$ pour le circuit considéré.
• Après $t_1$, le courant suit $I(t)=\frac{E}{R}\,e^{-(R/L)(t-t_1)}$ pour $t\ge t_1$.
• La tension de la résistance vérifie $V_R(t)=I(t)R=E\,e^{-(R/L)(t-t_1)}$.
• La tension de l’inductance pendant la décharge est $V_L(t)=0-V_R(t)=-E\,e^{-(R/L)(t-t_1)}$.
• La décroissance exponentielle est gouvernée par le facteur $e^{-(R/L)(t-t_1)}$, donc par $\tau=\frac{L}{R}$.
• Comparaison : au branchement ($t_0$) on part de $I(t_0)=0$ et $V(t_0)=E$, tandis qu’au débranchement ($t_1$) on part de $I(t_1)=E/R$ et $V(t_1)=0$.

💡 Astuce mémo

Débrancher = bascule des signes : $V_L(t)=-V_R(t)$ et $I(t)$ décroît comme $e^{-(R/L)(t-t_1)}$.

📊 Tableaux de synthèse

Série vs parallèle (résistances)

Pile réelle : sens du courant et tension aux bornes

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Inverser le sens du courant dans les formules de la pile : “fournit” donne V = E − rI, alors que “charge” donne V = E + rI.
2. Confondre règle des mailles et règle des nœuds : mailles = somme algébrique des variations de potentiel = 0, nœuds = somme des courants dans un nœud = 0.
3. Penser que la résistance des fils est toujours négligeable sans l’avoir précisé : le cours l’assume pour éviter des chutes de potentiel entre éléments.
4. Mélanger série et parallèle pour les équivalents : en série Re = somme, en parallèle 1/Re = somme des inverses.
5. Oublier que pour RC en décharge, Q(t) décroît comme e−t/RC et que la constante de temps est τ = RC (pas l’inverse).
6. Se tromper sur les valeurs à t = RC : en décharge Q(RC) ≃ 0,37 Q0 et en charge Q(RC) ≃ 0,63 CE.
7. Croire que dans RL après débranchement l’énergie vient de la pile : le cours dit que la résistance dissipe mais ne stocke pas, l’énergie vient de l’inducteur (champ magnétique).

✅ Checklist Examen

1. Énoncer et utiliser la relation d’énergie : dW = E dq = EI dt et la puissance P = I^2R, puis déduire E = IR en négligeant la résistance des fils.
2. Appliquer la règle des mailles : dans une maille fermée, la somme algébrique des variations de potentiel est nulle.
3. Modéliser une pile réelle ohmique comme une FEM idéale E en série avec une résistance interne r et écrire V = E − rI (pile fournit) puis V = E + rI (pile reçoit).
4. Écrire l’équation de Kirchhoff pour un circuit avec résistance R et résistance interne r et en déduire I = E/(R + r) quand la résistance des fils est nulle.
5. Définir branche, nœud et maille, et relier ces définitions aux règles de Kirchhoff (tensions pour mailles, courants pour nœuds).
6. Réduire des résistances en série : Re = Σj Rj, en justifiant par le même courant et l’addition des tensions.
7. Réduire des résistances en parallèle : 1/Re = Σj 1/Rj, en justifiant par la même tension et la loi d’Ohm dans chaque branche.
8. Pour un réseau non réductible en série/parallèle, écrire des équations de Kirchhoff (mailles et/ou nœuds) et savoir que certaines équations ne sont pas indépendantes.
9. Pour RC en décharge, établir dQ/dt = −(1/RC)Q et donner la solution Q(t) = Q0 e−t/RC, puis relier Vc = Q/C et VR = RI.
10. Utiliser les repères temporels RC : à t = RC, Q ≃ 0,37 Q0 en décharge et la charge perd 63% sur chaque intervalle Δt = RC.
11. Pour RC en charge, donner I(t) = I(0)e−t/RC et Q(t) = CE(1 − e−t/RC), puis interpréter Q(τ) ≃ 0,63 CE.
12. Pour condensateurs : en série 1/Ce = Σi 1/Ci (même charge) et en parallèle Ce = Σi Ci (même tension).
13. Pour RL : brancher une inductance, donner I(t) = (E/R)[1 − e−(R/L)t] et la constante de temps τ = L/R avec les repères 63% et ~1% à 5τ.
14. Pour RL : débrancher une inductance à t1, donner I(t) = (E/R)e−(R/L)(t−t1), VR(t) = E e−(R/L)(t−t1) et VL(t) = −VR(t).