QCM : Introduction aux concepts fondamentaux en probabilités — 20 questions

Question 1

1. Que désigne le complémentaire d’un ensemble A dans un ensemble E ?

L’ensemble de tous les sous-ensembles de A

L’ensemble des éléments communs à A et à E

L’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A

L’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à E

Explication

Le complémentaire de A dans E est formé exactement des éléments de E qui ne sont pas dans A. L’ensemble des sous-ensembles de A correspond plutôt à l’ensemble des parties.

Answer

L’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A

Question 2

2. Que contient la différence symétrique AΔB ?

Les éléments appartenant simultanément à A et à B

Les éléments appartenant à A ou à B, mais pas aux deux

Les éléments de A qui sont aussi dans B

Les éléments n’appartenant ni à A ni à B

Explication

La différence symétrique regroupe les éléments qui appartiennent à exactement un des deux ensembles. Ce n’est donc pas une intersection, ni le complémentaire de l’union.

Answer

Les éléments appartenant à A ou à B, mais pas aux deux

Question 3

3. Quelle propriété caractérise une tribu sur un ensemble Ω ?

Elle est stable uniquement par intersections finies

Elle contient seulement les ouverts de Ω

Elle contient tous les sous-ensembles de Ω

Elle contient Ω et est stable par complémentaire et par réunions dénombrables

Explication

Une tribu doit contenir Ω, être stable par complémentaire et par réunions dénombrables. La stabilité par tous les sous-ensembles n’est vraie que pour la tribu discrète P(Ω).

Answer

Elle contient Ω et est stable par complémentaire et par réunions dénombrables

Question 4

4. Qu’est-ce que la tribu borélienne d’un espace topologique ou métrique Ω ?

La famille de tous les fermés de Ω

La tribu des parties de Ω

La plus petite tribu contenant tous les ouverts de Ω

La plus petite famille stable par intersections finies

Explication

La tribu borélienne est définie comme la plus petite tribu contenant tous les ouverts, donc elle est engendrée par les ouverts. Les fermés l’engendrent aussi, mais ils ne constituent pas la définition.

Answer

La plus petite tribu contenant tous les ouverts de Ω

Question 5

5. Quand une application f entre deux espaces mesurables est-elle mesurable ?

Quand l’image réciproque de tout ensemble mesurable du but est mesurable au départ

Quand elle est continue

Quand l’image directe de tout ensemble mesurable du départ est mesurable dans le but

Quand elle est injective

Explication

La mesurabilité se définit par la stabilité des images réciproques des ensembles mesurables du but. L’image directe n’est pas le bon critère général.

Answer

Quand l’image réciproque de tout ensemble mesurable du but est mesurable au départ

Question 6

6. Quelle propriété vérifie une mesure positive μ sur une famille d’ensembles mesurables ?

μ(A)=1 dès que A est non vide

μ(∅)=0 et μ est σ-additive sur les unions dénombrables disjointes

μ(A) prend toujours des valeurs dans [0,1]

μ(A∪B)=μ(A)+μ(B) pour tous A et B

Explication

Une mesure positive prend des valeurs dans [0,+∞], s’annule sur l’ensemble vide et est σ-additive sur les familles disjointes. La borne [0,1] correspond à une probabilité, pas à une mesure positive quelconque.

Answer

μ(∅)=0 et μ est σ-additive sur les unions dénombrables disjointes

Question 7

7. Que vaut la probabilité d’une union dénombrable d’événements deux à deux disjoints ?

Le produit de leurs probabilités

La somme des probabilités de ces événements

La probabilité maximale parmi elles

La différence entre la première et la dernière probabilité

Explication

La σ-additivité impose que la probabilité d’une union dénombrable d’événements disjoints soit la somme des probabilités. Le produit intervient dans d’autres contextes, notamment l’indépendance.

Answer

La somme des probabilités de ces événements

Question 8

8. Quelle relation lie le saut de la fonction de répartition F en a et la masse en a ?

P(X=a)=1-F(a)

P(X=a)=F(a)+F(a−)

P(X=a)=F(a)-F(a−)

P(X=a)=F(a−)-F(a)

Explication

La masse ponctuelle en a est exactement le saut de la fonction de répartition à ce point, soit F(a)-F(a−). Cela traduit la différence entre la valeur à droite et la limite à gauche.

Answer

P(X=a)=F(a)-F(a−)

Question 9

9. Si X et Y sont indépendantes, que vaut Cov(X,Y) ?

0

1

E(X)E(Y)

Var(X)+Var(Y)

Explication

L’indépendance implique la nullité de la covariance, mais l’inverse est faux en général. La covariance mesure une dépendance linéaire, pas l’indépendance complète.

Answer

E(f(X)g(Y))=E(f(X))E(g(Y)) pour des fonctions intégrables appropriées

Answer

Les variables dont E(|X|^p) est finie

Answer

X appartient aussi à Lp et ||X||p≤||X||r

Answer

t ↦ E(e^{i⟨t,X⟩})

Answer

exp(i⟨t,μ⟩−1/2 t^T C t)

Answer

La convergence dans Lp implique la convergence en probabilité

Answer

Xn converge presque sûrement vers X

Answer

La variable G-mesurable qui vérifie l’égalité des intégrales sur chaque ensemble de G

Answer

E(X/G)=E(X) presque sûrement

Answer

Prendre F^{-1}(U)

Answer

Proposer selon g puis accepter avec une probabilité liée à f/(Mg)

Question 10

10. Quelle égalité caractérise l’indépendance de deux variables aléatoires via l’espérance ?

E(f(X)+g(Y))=E(f(X))E(g(Y))

E(f(X)g(Y))=E(f(X))E(g(Y)) pour des fonctions intégrables appropriées

E(f(X))=E(g(Y)) pour toutes fonctions f et g

E(f(X)g(Y))=E(f(X)+g(Y))

Explication

Sous indépendance, l’espérance d’un produit de fonctions séparées se factorise. C’est un critère fondamental, à condition que les fonctions soient intégrables.

Question 11

11. Quelle propriété caractérise l’espace Lp des variables aléatoires ?

Les variables dont E(|X|^p) est finie

Les variables dont l’espérance est nulle

Les variables dont la variance est égale à 1

Les variables bornées presque sûrement

Explication

Un espace Lp regroupe les variables aléatoires dont le moment d’ordre p, c’est-à-dire E(|X|^p), est fini. Ce n’est pas une condition de centrage ni de variance imposée.

Question 12

12. Si X appartient à Lr avec 1≤p<r≤∞, quelle relation est vraie ?

X appartient à Lp seulement si p=1

X appartient aussi à Lp et ||X||p≤||X||r

X n’appartient pas forcément à Lp

X appartient aussi à Lp et ||X||r≤||X||p

Explication

Quand r est plus grand que p, l’intégrabilité d’ordre r implique celle d’ordre p, avec l’inégalité ||X||p≤||X||r. C’est une propriété fondamentale de l’inclusion entre espaces Lp.

Question 13

13. Quelle est la fonction caractéristique d’un vecteur aléatoire X dans R^d ?

t ↦ E(⟨t,X⟩)

t ↦ Var(⟨t,X⟩)

t ↦ E(e^{i⟨t,X⟩})

t ↦ P(⟨t,X⟩≤1)

Explication

La fonction caractéristique est définie par ΦX(t)=E(e^{i⟨t,X⟩}). Elle dépend uniquement de la loi de X et est toujours bornée par 1 en module.

Question 14

14. Quelle est la fonction caractéristique d’un vecteur gaussien X∼N_d(μ,C) ?

exp(⟨t,μ⟩+1/2 t^T C t)

exp(i⟨t,Cμ⟩−t^T μ t)

1/(1+t^T C t)

exp(i⟨t,μ⟩−1/2 t^T C t)

Explication

Pour un vecteur gaussien, la fonction caractéristique a une forme exponentielle quadratique : exp(i⟨t,μ⟩−1/2 t^T C t). C’est la signature analytique de la loi normale multidimensionnelle.

Question 15

15. Quelle implication entre modes de convergence est toujours vraie pour p≥1 ?

La convergence en loi implique la convergence presque sûre

La convergence presque sûre implique la convergence dans Lp

La convergence en probabilité implique la convergence dans Lp

La convergence dans Lp implique la convergence en probabilité

Explication

La convergence dans Lp entraîne la convergence en probabilité. En revanche, la réciproque est fausse en général, et la convergence en loi est plus faible encore.

Question 16

16. Que permet d’affirmer le critère suivant : pour tout ε>0, P(limsup{|Xn−X|>ε})=0 ?

Xn converge presque sûrement vers X

Xn est indépendante de X

Xn converge dans Lp vers X

Xn converge en loi vers X

Explication

Ce critère est équivalent à la convergence presque sûre. Il exprime que, pour chaque ε>0, l’événement « s’écarter de X de plus de ε infiniment souvent » a probabilité nulle.

Question 17

17. Qu’est-ce que l’espérance conditionnelle E(X/G) ?

La variable G-mesurable qui vérifie l’égalité des intégrales sur chaque ensemble de G

La valeur de X sur l’ensemble où G est réalisé

La moyenne de X sur tout l’espace Ω

La probabilité que X soit mesurable par rapport à G

Explication

L’espérance conditionnelle est une variable G-mesurable telle que, pour tout ensemble G de la tribu, l’intégrale de E(X/G) sur G coïncide avec celle de X. C’est la définition centrale de cette notion.

Question 18

18. Si X est indépendante de la tribu G, quelle est E(X/G) ?

E(X/G)=0 presque sûrement

E(X/G)=X presque sûrement

E(X/G)=E(X) presque sûrement

E(X/G)=P(X∈G)

Explication

Si X est indépendante de G, alors l’information apportée par G ne modifie pas l’espérance : E(X/G)=E(X) p.s. C’est une propriété de base du conditionnement.

Question 19

19. Quelle méthode permet de simuler une variable de fonction de répartition F à partir d’une uniforme U[0,1] ?

Prendre E(U)

Prendre 1−U

Prendre F^{-1}(U)

Prendre F(U)

Explication

La méthode d’inversion consiste à transformer une variable uniforme U par la pseudo-inverse F^{-1}(U). On obtient ainsi une variable de fonction de répartition F.

Question 20

20. Quel est le principe de la méthode d’acceptation-rejet ?

Simuler directement la loi cible sans proposition

Remplacer la fonction de répartition par son inverse

Proposer selon g puis accepter avec une probabilité liée à f/(Mg)

Additionner deux variables uniformes indépendantes

Explication

On génère d’abord une proposition selon une densité instrumentale g, puis on l’accepte avec une probabilité proportionnelle à f/(Mg). La loi obtenue a alors pour densité cible f.

QCM : Introduction aux concepts fondamentaux en probabilités — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que désigne le complémentaire d’un ensemble A dans un ensemble E ?

2. Que contient la différence symétrique AΔB ?

3. Quelle propriété caractérise une tribu sur un ensemble Ω ?

4. Qu’est-ce que la tribu borélienne d’un espace topologique ou métrique Ω ?

5. Quand une application f entre deux espaces mesurables est-elle mesurable ?

6. Quelle propriété vérifie une mesure positive μ sur une famille d’ensembles mesurables ?

7. Que vaut la probabilité d’une union dénombrable d’événements deux à deux disjoints ?

8. Quelle relation lie le saut de la fonction de répartition F en a et la masse en a ?

9. Si X et Y sont indépendantes, que vaut Cov(X,Y) ?

10. Quelle égalité caractérise l’indépendance de deux variables aléatoires via l’espérance ?

11. Quelle propriété caractérise l’espace Lp des variables aléatoires ?

12. Si X appartient à Lr avec 1≤p<r≤∞, quelle relation est vraie ?

13. Quelle est la fonction caractéristique d’un vecteur aléatoire X dans R^d ?

14. Quelle est la fonction caractéristique d’un vecteur gaussien X∼N_d(μ,C) ?

15. Quelle implication entre modes de convergence est toujours vraie pour p≥1 ?

16. Que permet d’affirmer le critère suivant : pour tout ε>0, P(limsup{|Xn−X|>ε})=0 ?

17. Qu’est-ce que l’espérance conditionnelle E(X/G) ?

18. Si X est indépendante de la tribu G, quelle est E(X/G) ?

19. Quelle méthode permet de simuler une variable de fonction de répartition F à partir d’une uniforme U[0,1] ?

20. Quel est le principe de la méthode d’acceptation-rejet ?

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