Fiche de révision : Introduction aux dérivées et tangentes

📋 Plan du Cours

1. Dérivées fonctions usuelles
2. Règles de dérivation
3. Opérations de dérivée
4. Formule de la tangente
5. Exemples de calculs

📖 1. Dérivées fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction constante : Fonction qui associe à chaque valeur de x un même nombre constant.
• Dérivée d'une fonction constante : La dérivée d'une fonction constante est toujours 0.
• Fonction puissance : Fonction de la forme $x^n$ où n est un entier ≥ 1.
• Dérivée de $x^n$ (n entier ≥ 1) : La dérivée est $n \times x^{n-1}$.
• Dérivée de $1/x$ : La dérivée est $-1/x^2$.
• Dérivée de $\cos(x)$ : La dérivée est $-\sin(x)$.

📝 Points essentiels

• La dérivée d'une fonction constante est nulle, ce qui reflète l'absence de variation.
• La formule de la dérivée de $x^n$ est fondamentale pour calculer rapidement la dérivée de toute fonction puissance.
• La dérivée de $1/x$ est négative et inversement proportionnelle au carré de x.
• La dérivée de $\cos(x)$ est négative de la fonction sinus, ce qui est essentiel pour les fonctions trigonométriques.
• La dérivée de fonctions usuelles permet d'établir la formule de la tangente à la courbe en un point donné, en utilisant la dérivée en ce point.

💡 À retenir

Les fonctions usuelles ont des dérivées simples et précises, permettant de calculer rapidement la pente de leur tangente en un point. La connaissance de ces dérivées est essentielle pour l'étude locale des courbes.

📖 2. Règles de dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Règle de dérivation pour la somme : Si u et v sont deux fonctions, alors la dérivée de leur somme est la somme de leurs dérivées.
  Formule : (u + v)' = u' + v'

• Règle de dérivation pour la différence : Si u et v sont deux fonctions, alors la dérivée de leur différence est la différence de leurs dérivées.
  Formule : (u - v)' = u' - v'

• Règle de dérivation pour la multiplication par un scalaire : Si u est une fonction et k un nombre constant, alors la dérivée de ku est k fois la dérivée de u.
  Formule : (ku)' = k*u'

• Règle de dérivation pour le quotient : Si u et v sont deux fonctions, alors la dérivée du quotient u/v est donnée par la formule de la dérivée d’un quotient.
  Formule : (u/v)' = (u'v - uv') / v²

📝 Points essentiels

• La dérivée d'une somme ou d'une différence de fonctions est la somme ou la différence de leurs dérivées respectives.
• La dérivée d'une fonction multipliée par un scalaire est le scalaire multiplié par la dérivée de la fonction.
• La formule du quotient permet de dériver le rapport de deux fonctions en utilisant la règle du produit et la règle de la différence.

💡 À retenir

Les règles de dérivation pour la somme, la différence, la multiplication par un scalaire, et le quotient permettent de calculer facilement la dérivée de fonctions composées ou combinées en utilisant des opérations simples sur leurs dérivées.

📖 3. Opérations de dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Opérations de dérivation de base : règles permettant de calculer la dérivée d'une fonction composée en utilisant des opérations simples telles que la somme, la différence, la multiplication par un scalaire, le produit ou le quotient de fonctions.
• Dérivée d'une somme de fonctions : si $f(x) = u(x) + v(x)$, alors $f'(x) = u'(x) + v'(x)$. (voir section 2)
• Dérivée d'une différence de fonctions : si $f(x) = u(x) - v(x)$, alors $f'(x) = u'(x) - v'(x)$. (voir section 2)
• Dérivée d'un produit de fonctions : si $f(x) = u(x) \times v(x)$, alors $f'(x) = u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x)$. (voir section 2)
• Dérivée d'un quotient de fonctions : si $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, alors $f'(x) = \frac{u'(x) \times v(x) - u(x) \times v'(x)}{v(x)^2}$. (voir section 2)

📝 Points essentiels

• La dérivée d'une somme ou d'une différence de fonctions se calcule en dérivant chaque terme séparément puis en additionnant ou soustrayant les résultats.
• La dérivée d'un produit de deux fonctions utilise la règle du produit : $(u \times v)' = u' \times v + u \times v'$.
• La dérivée d'un quotient de deux fonctions utilise la règle du quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \times v - u \times v'}{v^2}$.
• Ces opérations de dérivation sont essentielles pour calculer la dérivée de fonctions composées plus complexes.

💡 À retenir

Les opérations de dérivation de base permettent de décomposer le calcul de dérivées complexes en opérations simples, facilitant ainsi leur résolution.

📖 4. Formule de la tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule de la tangente : La droite tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$ est donnée par l'expression $y = f'(a) \times (x - a) + f(a)$. Elle représente la meilleure approximation locale de la courbe en ce point.

• Calcul de la pente à un point donné : La pente de la tangente en un point $a$ est donnée par la dérivée de la fonction en ce point, soit $f'(a)$.

• Expression de la droite tangente : La droite tangente en $a$ s'écrit sous la forme $y = m(x - a) + y_a$, où $m = f'(a)$ est la pente et $y_a = f(a)$ la valeur de la fonction en $a$.

📝 Points essentiels

• La formule de la tangente est $y = f'(a) \times (x - a) + f(a)$.
• Pour la calculer, il faut connaître la valeur de la dérivée en $a$ (pente) et la valeur de la fonction en ce point.
• La pente $f'(a)$ se détermine par le calcul de la dérivée de $f$ en $a$.
• La droite tangente est une approximation locale de la courbe au point $a$.

💡 À retenir

La formule de la tangente permet d’écrire l’équation de la droite qui touche la courbe en un point donné, en utilisant la valeur de la fonction et sa dérivée en ce point.

📖 5. Exemples de calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul de f'(a) : Évaluation de la dérivée de la fonction f en un point a, c’est-à-dire f'(a). Elle représente la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• Calcul de f(a) : Évaluation de la fonction f en un point a, c’est-à-dire f(a). Elle donne la valeur de la fonction en ce point précis.
• Application de la formule de la tangente : Utilisation de la formule y = f'(a)*(x - a) + f(a) pour tracer la droite tangente à la courbe de f au point d’abscisse a.

📝 Points essentiels

• Pour calculer f'(a), on dérive la fonction f puis on remplace x par a.
• Pour calculer f(a), on remplace simplement x par a dans la fonction f.
• La formule de la tangente est :
  $y = f'(a) \times (x - a) + f(a)$
• Exemple illustratif : Si $f(x) = x^2 - 5x + 3$ et $a=2$,
  • Calculer $f'(2)$ : dérivée de $f(x)$ en 2, soit $2 \times 2 - 5 = -1$ (correction à faire : dérivée de $x^2 - 5x + 3$ est $2x - 5$, donc $f'(2) = 2 \times 2 - 5 = -1$).
  • Calculer $f(2)$ : $2^2 - 5 \times 2 + 3 = 4 - 10 + 3 = -3$.
  • Application : $y = -1 \times (x - 2) - 3$.

💡 À retenir

Le calcul de la tangente en un point nécessite la dérivée en ce point et la valeur de la fonction, puis l’application de la formule pour obtenir l’équation de la droite tangente.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la dérivée d'une fonction constante avec une fonction variable.
2. Oublier la négativité dans la dérivée de $\cos x$ (attention à $-\sin x$).
3. Confondre la formule de la dérivée du quotient avec celle du produit.
4. Oublier de dériver chaque terme séparément lors d’une somme ou différence.
5. Mauvaise application de la règle du produit ou du quotient, notamment dans le signe.
6. Confusion entre la valeur de la fonction $f(a)$ et sa dérivée $f'(a)$ lors du calcul de la tangente.
7. Omettre de remplacer $x$ par $a$ dans la dérivée pour obtenir la pente en un point.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’une fonction constante et sa dérivée (0).
2. Maîtriser la formule de la dérivée de $x^n$ pour $n \geq 1$.
3. Savoir dériver $1/x$ et $\cos x$.
4. Appliquer la règle de dérivation pour la somme et la différence de fonctions.
5. Appliquer la règle de dérivation pour la multiplication par un scalaire.
6. Utiliser la formule de la dérivée du quotient $(u/v)'$.
7. Savoir dériver un produit de deux fonctions avec la règle du produit.
8. Connaître la formule de la tangente à une courbe en un point $a$.
9. Calculer $f'(a)$ et $f(a)$ pour une fonction donnée.
10. Écrire l’équation de la tangente en utilisant la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
11. Savoir faire un exemple de calcul de dérivée d’une fonction simple.
12. Maîtriser la terminologie et les concepts clés : dérivée, tangente, fonction usuelle.