Fiche de révision : Introduction aux équations différentielles

📋 Plan du Cours

1. Introduction aux équations différentielles
2. Équations différentielles linéaires
3. Équations d’ordre 1
4. Solutions particulières et homogènes
5. Méthode de superposition
6. Équations d’ordre 2
7. Solutions de y′′ + ay′ + by = 0
8. Conditions initiales
9. Application en économie

📖 1. Introduction aux équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Une relation qui relie une fonction y à ses dérivées, exprimée sous la forme y′ = f(y) ou plus généralement avec des dérivées d’ordre supérieur. Elle sert à modéliser l’évolution d’une quantité en fonction du temps ou d’une autre variable.
• Solution d’une équation différentielle : Une fonction y qui vérifie l’équation pour tous les points de l’intervalle considéré. La trajectoire d’une solution est la courbe représentative de cette fonction.
• Trajectoire d’une équation différentielle : La courbe représentant une solution de l’équation différentielle, illustrant l’évolution de la fonction y au fil du temps ou de la variable indépendante.
• Solution homogène : La solution d’une équation différentielle lorsque le second membre (terme indépendant ou de droite) est nul. Elle correspond à une situation sans forçage ou perturbation extérieure.
• Solution particulière : Une solution spécifique d’une équation différentielle avec un second membre non nul, trouvée en complément de la solution homogène. Elle représente une réponse spécifique à un forçage ou une perturbation extérieure.
• Introduction aux équations différentielles : La première étape pour modéliser un phénomène dynamique, en passant d’une description discrète ou par suite à une modélisation continue à l’aide de fonctions et de leurs dérivées.

📝 Points essentiels

• L’équation différentielle relie une fonction y à ses dérivées, permettant de modéliser des phénomènes évolutifs.
• La trajectoire d’une solution est la courbe représentative de cette fonction, illustrant son évolution.
• La solution homogène correspond à l’équation sans second membre, souvent liée à l’équilibre ou à l’état naturel du système.
• La solution particulière est déterminée en fonction du second membre, représentant la réponse spécifique du système à une perturbation.
• La résolution d’une équation différentielle consiste à trouver toutes ses solutions, en particulier la solution homogène et une ou plusieurs solutions particulières.
• La modélisation continue à l’aide d’équations différentielles permet d’étudier l’évolution de phénomènes complexes, comme l’économie ou la physique.

💡 À retenir

L’introduction aux équations différentielles consiste à comprendre comment relier une fonction à ses dérivées pour modéliser l’évolution de phénomènes, en distinguant solutions homogènes et solutions particulières, et en représentant graphiquement ces solutions par leurs trajectoires.

📖 2. Équations différentielles linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

Équation différentielle linéaire à coefficients constants
Une équation de la forme
$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = g$
où $(a_0, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ avec $a_n \neq 0$, et $g$ est une fonction continue.
Elle relie une fonction $y$ à ses dérivées, avec des coefficients constants.

Équation homogène associée
L’équation obtenue en posant le second membre $g$ égal à zéro :
$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = 0$
Elle permet de déterminer la structure de la solution générale de l’équation initiale.

Solution générale d'une équation linéaire
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle, qui peut s’écrire comme la somme d’une solution particulière et de l’ensemble des solutions de l’équation homogène associée.
Elle est souvent notée $\textbf{SE}$.

Coefficients constants
Les coefficients $a_0, a_1, \dots, a_n$ de l’équation sont des constantes réelles.

Ordre d'une équation
L’ordre $n$ est le degré de la dérivée la plus élevée apparaissant dans l’équation, c’est-à-dire le plus grand indice $n$ pour lequel $a_n \neq 0$.

📝 Points essentiels

• Les équations différentielles linéaires à coefficients constants ont une structure qui facilite leur résolution, notamment via l’étude de leur équation caractéristique.
• La solution de l’équation homogène est déterminée par ses racines, selon le discriminant $\Delta$ associé à l’équation caractéristique $x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$.
• La solution générale d’une équation linéaire d’ordre $n$ est la somme d’une solution particulière de l’équation complète et de l’ensemble des solutions de l’équation homogène.
• La stabilité et la forme des solutions dépendent des racines de l’équation caractéristique : si $\Delta > 0$, si $\Delta = 0$, ou si $\Delta < 0$.
• La résolution pour des ordres 1 et 2 est systématique, utilisant respectivement la méthode de résolution d’une équation différentielle du premier ordre normalisée et la résolution de l’équation caractéristique pour le second ordre.

💡 À retenir

Les équations différentielles linéaires à coefficients constants se résolvent principalement par l’étude de leur équation caractéristique, permettant de déterminer la solution générale en combinant solutions particulières et solutions de l’homogène.

📖 3. Équations d’ordre 1

🔑 Notions clés & Définitions

Équation différentielle d’ordre 1 : Équation qui relie une fonction y à sa dérivée y′, généralement sous la forme y′ = f(x, y). Elle modélise l’évolution d’une variable en fonction d’une autre, en utilisant une seule dérivée.

Équation normalisée : Équation différentielle d’ordre 1 où l’on a divisé par le coefficient de y′ pour obtenir la forme y′ + α(x)y = h(x). Elle facilite l’application des théorèmes de résolution.

Résolution d’une équation du premier ordre : Processus visant à déterminer la ou les fonctions y(x) qui satisfont l’équation donnée, en utilisant notamment la normalisation, la recherche de solutions particulières, ou la méthode de résolution y′ + ay = 0.

Théorème de résolution pour y′ + ay = 0 : Si a ∈ R, alors toutes les solutions de cette équation sont de la forme λe^−ax, avec λ ∈ R. Ce résultat est fondamental pour résoudre cette classe d’équations.

Condition initiale : Valeur y(x₀) = y₀ donnée en un point x₀, qui permet, avec le théorème d’unicité, de déterminer une solution unique de l’équation différentielle.

📝 Points essentiels

• Toute équation différentielle d’ordre 1 peut être simplifiée en la divisant par le coefficient de y′, ce qui donne une équation normalisée y′ + α(x)y = h(x).
• La résolution de y′ + ay = 0 est directe : solutions de la forme λe^−ax, où λ ∈ R.
• La proposition 20.11 indique qu’à une condition initiale (x₀, y₀), il existe une unique solution de l’équation, ce qui implique que deux trajectoires distinctes ne s’intersectent pas.
• La solution générale d’une équation normalisée y′ + ay = h peut être obtenue en combinant la solution particulière de l’équation complète et la solution de l’équation homogène associée.
• La stabilité ou convergence des trajectoires vers un équilibre dépend de la nature de la solution particulière et des conditions initiales.

💡 À retenir

L’équation différentielle d’ordre 1 y′ + ay = 0 possède une famille de solutions exponentielles, et toute solution est entièrement déterminée par une condition initiale, garantissant l’unicité et la stabilité de la trajectoire associée.

📖 4. Solutions particulières et homogènes

🔑 Notions clés & Définitions

• Solution homogène : Ensemble des solutions de l’équation différentielle où le second membre est nul, c’est-à-dire l’équation sans terme indépendant (voir aussi "Solution homogène" dans la référence générale).
• Solution particulière : Une solution spécifique d’une équation différentielle non homogène, qui ne fait pas partie de l’ensemble des solutions homogènes. Elle permet d’obtenir la solution générale en la combinant avec la solution homogène.
• Solution générale : La somme d’une solution particulière et de l’ensemble des solutions de l’équation homogène associée. Elle représente l’ensemble complet des solutions possibles de l’équation différentielle.
• Solution particulière d’une équation différentielle : Une solution spécifique qui vérifie l’équation avec un second membre non nul, distincte des solutions homogènes.
• Solutions particulières et homogènes : Concepts liés, la solution homogène étant la base pour construire la solution générale, et la solution particulière permettant d’intégrer le second membre non nul.

📝 Points essentiels

• La solution homogène correspond à l’ensemble des solutions de l’équation quand le second membre est nul.
• La solution particulière est une solution spécifique de l’équation non homogène, souvent trouvée par des méthodes adaptées (ex. ansatz, méthode de variation des constantes).
• La solution générale s’obtient en combinant une solution particulière avec l’ensemble des solutions homogènes, conformément au théorème 20.5.
• La stabilité des solutions homogènes et leur superposition permettent de construire la solution générale.
• La recherche d’une solution particulière est guidée par la forme du second membre (ex. constantes, polynômes, exponentielles).

💡 À retenir

La solution générale d’une équation différentielle est la somme d’une solution particulière et de l’ensemble des solutions homogènes, permettant de décrire toutes les solutions possibles de l’équation.

📖 5. Méthode de superposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de superposition : Si le second membre d’une équation différentielle est de la forme αf + μg, on peut étudier séparément le cas du second membre f, puis g, puis reconstituer une solution particulière par une combinaison linéaire des solutions particulières de chaque équation (exemple 20.18, exercice 20.19).

• Solutions particulières par morceaux : Méthode consistant à rechercher une solution particulière pour une équation différentielle en décomposant le second membre en plusieurs parties plus simples, puis en sommant les solutions particulières de chaque partie (exemple 20.19).

• Combinaison linéaire de solutions : Si u et v sont solutions particulières de deux équations différentielles, alors toute combinaison λu + μv (λ, μ ∈ R) est aussi une solution particulière de l’équation correspondante (exemple 20.18).

• Solution particulière d’un second membre : Solution spécifique trouvée pour une équation différentielle en fonction de la forme du second membre, souvent par méthode d’essai ou de variation (exemples 20.18, 20.19).

• Superposition dans le cas d’un second membre : La possibilité de construire une solution particulière d’une équation avec un second membre complexe en additionnant des solutions particulières de sous-équations plus simples, correspondant à chaque partie du second membre (exemple 20.19).

📖 6. Équations d’ordre 2

🔑 Notions clés & Définitions

Equation caractéristique :
C’est une équation polynomiale associée à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, obtenue en remplaçant chaque dérivée y′, y′′ par une variable x. Par exemple, pour l’équation y′′ + ay′ + by = 0, l’équation caractéristique est x² + ax + b = 0.

Discriminant associé à une équation différentielle :
C’est le discriminant de l’équation caractéristique, noté généralement ∆, qui est calculé à partir des coefficients de cette équation. Il permet de déterminer la nature des racines de l’équation caractéristique.

Solutions de l’équation homogène du second ordre :
Ce sont les fonctions qui satisfont l’équation y′′ + ay′ + by = 0. La solution générale de cette équation est construite à partir des racines de l’équation caractéristique.

Cas du discriminant positif :
Lorsque ∆ > 0, l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes. La solution générale de l’équation homogène est une combinaison linéaire de deux fonctions exponentielles associées à ces racines.

Cas du discriminant nul :
Lorsque ∆ = 0, l’équation caractéristique possède une racine réelle double. La solution générale de l’équation homogène est une combinaison linéaire d’une fonction exponentielle et d’une fonction polynomiale en x multipliée par cette exponentielle.

Cas du discriminant négatif :
Lorsque ∆ < 0, l’équation caractéristique possède deux racines complexes conjugées. La solution générale de l’équation homogène est une combinaison linéaire de deux fonctions sinus et cosinus, multipliées par une exponentielle.

📝 Points essentiels

• L’équation caractéristique est fondamentale pour déterminer la forme de la solution générale d’une équation différentielle du second ordre à coefficients constants.
• Le discriminant ∆, calculé à partir des coefficients a et b de l’équation caractéristique, indique la nature des racines : réelles distinctes, double ou complexes.
• La solution de l’équation homogène dépend directement des racines de l’équation caractéristique :
  • ∆ > 0 : deux solutions exponentielles distinctes.
  • ∆ = 0 : une solution exponentielle et une solution polynomiale.
  • ∆ < 0 : solutions sinus et cosinus, avec facteur exponentiel.

💡 À retenir

La nature des racines de l’équation caractéristique, déterminée par le discriminant, guide la forme précise de la solution générale d’une équation différentielle du second ordre à coefficients constants.

📖 7. Solutions de y′′ + ay′ + by = 0

🔑 Notions clés & Définitions

• Solution de l’équation homogène du second ordre : Fonction y qui vérifie l’équation y′′ + ay′ + by = 0. C’est la solution associée à l’absence de second membre (g = 0).

• Solution de l’équation caractéristique : Fonctionnelle ou ensemble de fonctions qui résout l’équation associée à l’équation différentielle du second ordre, en utilisant l’équation caractéristique x² − ax − b = 0.

• Solutions en fonction du discriminant : Solutions de l’équation caractéristique déterminées par le discriminant Δ = a² − 4b, qui influence la nature des racines et donc la forme générale des solutions.

• Forme générale des solutions : Expression de la solution générale de l’équation homogène, construite à partir des racines de l’équation caractéristique, selon le signe de Δ :

  • Δ > 0 : deux racines réelles distinctes, solution en combinaison linéaire de deux exponentielles.
  • Δ = 0 : racine réelle double, solution en combinaison linéaire d’une exponentielle et d’un terme en x.
  • Δ < 0 : racines complexes conjugées, solution en combinaison de fonctions exponentielles et sinus/cosinus.

📝 Points essentiels

• La résolution de l’équation y′′ + ay′ + by = 0 repose sur l’étude de l’équation caractéristique x² − ax − b = 0.
• La nature des racines de cette équation détermine la forme de la solution générale :
  • Racines réelles distinctes (Δ > 0) : solutions en λ₁e^{q₁x} + λ₂e^{q₂x}.
  • Racine réelle double (Δ = 0) : solutions en (λx + μ)e^{q x}.
  • Racines complexes conjugées (Δ < 0) : solutions en e^{αx}(A cos(βx) + B sin(βx)), avec α et β issus des racines.
• La solution générale est une combinaison linéaire de solutions fondamentales de l’équation homogène.

💡 À retenir

La solution de l’équation y′′ + ay′ + by = 0 est entièrement déterminée par les racines de l’équation caractéristique, dont le discriminant détermine la forme précise de la solution générale.

📖 8. Conditions initiales

🔑 Notions clés & Définitions

• Conditions initiales pour y′ + ay = g : Ensemble des valeurs de la fonction y et de sa dérivée y′ à un point donné x0, généralement notées y(x0) = y0, permettant de déterminer une solution unique de l’équation différentielle du premier ordre. Selon Proposition 20.11, pour tout (x0, y0) ∈ I × R, il existe une unique solution f telle que f(x0) = y0.

• Conditions initiales pour y′′ + ay′ + by = g : Ensemble des valeurs de la fonction y, de sa dérivée y′ et de sa seconde dérivée y′′ en un point donné x0, généralement notées y(x0) = y0 et y′(x0) = v0, permettant de déterminer une solution unique de l’équation différentielle du second ordre. Selon Proposition 20.15, pour tout (x0, y0, v0) ∈ I × R², il existe une unique solution f vérifiant ces conditions.

• Unicité des solutions donnée les conditions initiales : Résultat selon lequel, pour une équation différentielle linéaire (ordre 1 ou 2), la solution est entièrement déterminée par ses conditions initiales. En particulier, deux trajectoires distinctes ne s’intersectent pas si elles ont des conditions initiales différentes, sauf dans le cas d’équations du second ordre où des trajectoires peuvent s’intersecter (voir Exemple 20.12).

• Trajectoire passant par un point avec pente donnée : Trajectoire d’une solution de l’équation différentielle qui passe par un point (x0, y0) et dont la pente (ou dérivée) en ce point est y′(x0) = v0. Selon Proposition 20.15, cette trajectoire est unique si les conditions initiales sont fixées.

• Détermination d’une solution unique : Résultat garantissant qu’en fixant des conditions initiales précises (valeurs de y et éventuellement y′ en un point), il existe une seule solution de l’équation différentielle qui satisfait ces conditions. Cela découle des théorèmes 20.11 et 20.15.

📝 Points essentiels

• La solution d’une équation différentielle d’ordre 1 est entièrement déterminée par une condition initiale y(x0) = y0.
• La solution d’une équation différentielle d’ordre 2 est entièrement déterminée par deux conditions initiales : y(x0) = y0 et y′(x0) = v0.
• La proposition 20.11 assure l’unicité pour y′ + ay = g, garantissant qu’à une condition initiale donnée correspond une seule trajectoire.
• La proposition 20.15 étend ce résultat au second ordre, précisant que la solution est déterminée par deux conditions initiales.
• Dans le cas d’équations du second ordre, des trajectoires peuvent s’intersecter, contrairement au premier ordre où deux trajectoires distinctes ne s’intersectent pas si leurs conditions initiales diffèrent.

💡 À retenir

La détermination d’une solution d’une équation différentielle linéaire est entièrement assurée par ses conditions initiales, garantissant l’unicité de la trajectoire correspondante.

📖 9. Application en économie

🔑 Notions clés & Définitions

Application en économie : Utilisation des équations différentielles pour modéliser et prévoir l’évolution de variables économiques telles que le capital, la croissance ou la production, en représentant leur évolution par des trajectoires économiques.

Modélisation économique par équations différentielles : Représentation mathématique de phénomènes économiques à l’aide d’équations différentielles, où une variable économique (ex : capital, production) dépend du temps et de ses dérivées, permettant d’étudier son évolution continue.

Trajectoires économiques : Courbes représentatives des solutions d’une équation différentielle, illustrant l’évolution d’une variable économique au fil du temps. La trajectoire montre comment cette variable évolue en fonction des conditions initiales.

Équilibre économique et solutions constantes : Solution d’une équation différentielle où la variable économique ne change pas avec le temps, c’est-à-dire une solution constante. Elle représente un état stationnaire ou d’équilibre où l’économie ne varie plus.

Utilisation des équations différentielles pour prévoir : Application des solutions d’équations différentielles pour anticiper l’évolution future des variables économiques, en analysant notamment la convergence vers un équilibre ou la stabilité des trajectoires.

📝 Points essentiels

• La modélisation continue permet de suivre l’évolution des variables économiques à une fréquence infiniment petite, ce qui est pertinent pour représenter des phénomènes dynamiques complexes.
• La trajectoire d’une équation différentielle correspond à la courbe qui représente la solution de cette équation, illustrant le comportement de la variable économique dans le temps.
• La solution constante, ou équilibre, est une trajectoire où la variable ne varie pas, ce qui correspond à une situation stable ou stationnaire.
• La résolution d’une équation différentielle permet de prévoir l’évolution future d’une variable, en utilisant notamment la connaissance des conditions initiales.
• Le modèle de Solow, par exemple, utilise une équation différentielle pour décrire l’évolution du capital par habitant, permettant d’étudier la croissance économique à long terme.

💡 À retenir

Les équations différentielles offrent un cadre puissant pour modéliser, analyser et prévoir l’évolution des variables économiques, en permettant notamment d’étudier la stabilité et l’équilibre des trajectoires économiques.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre solution homogène et solution particulière : la solution homogène ne dépend pas du second membre, la particulière en dépend.
2. Oublier que la solution générale est la somme de la solution homogène et particulière.
3. Confondre l’ordre de l’équation et la méthode de résolution : l’ordre détermine la nature de la solution, la méthode dépend du second membre.
4. Mal interpréter le discriminant $\Delta$ : $\Delta > 0$, $\Delta = 0$, $\Delta < 0$ influencent la forme des racines et donc la solution.
5. Négliger la condition initiale : elle garantit l’unicité de la solution.
6. Confondre équation d’ordre 1 et d’ordre 2 lors de la résolution.
7. Omettre de vérifier la stabilité ou la convergence des solutions en fonction des paramètres.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’une équation différentielle et ses solutions (notamment solution homogène et particulière).
2. Maîtriser la forme générale d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
3. Savoir résoudre une équation d’ordre 1 de la forme y′ + ay = 0 et déterminer la famille de solutions.
4. Comprendre la notion de solution générale comme somme d’une solution particulière et de l’homogène.
5. Savoir déterminer l’équation caractéristique associée à une équation linéaire d’ordre n.
6. Connaître le rôle du discriminant $\Delta$ dans la résolution d’une équation caractéristique.
7. Savoir appliquer la méthode de résolution pour une équation d’ordre 2 : solutions de $y'' + ay' + by = 0$.
8. Maîtriser la résolution d’une équation différentielle d’ordre 1 normalisée y′ + ay = h(x).
9. Comprendre l’importance de la condition initiale pour garantir l’unicité de la solution.
10. Connaître la définition et l’application de la méthode de superposition pour solutions linéaires.
11. Savoir modéliser une situation économique à l’aide d’une équation différentielle.
12. Connaître la définition de PERROUX sur la croissance.