Primitive
Une primitive d’une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivée sur I telle que F’ = f. Autrement dit, F est une fonction dont la dérivée est exactement f sur cet intervalle.
Constante d’intégration
Lorsque deux primitives d’une même fonction f diffèrent, elles diffèrent toujours par une constante réelle C. Si F et G sont deux primitives de f sur I, alors il existe C ∈ ℝ tel que F(x) = G(x) + C pour tout x de I.
Fonction continue
Une fonction f est dite continue sur un intervalle I si, pour tout point x dans I, la limite de f en x est égale à la valeur de f en x. La continuité est une condition essentielle pour l’existence de primitives.
Dérivée nulle
Une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle I est constante sur cet intervalle. Cela signifie que si F’(x) = 0 pour tout x dans I, alors F est une fonction constante sur I.
Intervalle
Un intervalle est une partie de ℝ constituée de tous les points compris entre deux bornes, qui peut être fermé, ouvert ou semi-ouvert. La propriété de continuité et d’existence de primitives s’applique sur ces intervalles.
1. Selon le contenu, quelle affirmation est vraie concernant deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle ?
2. Quelle est la cause principale qui explique la forme de la solution générale d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants y' = ay + b ?
3. Quel est le rôle principal de la formule y(x) = Ce^{ax} - b/a dans la résolution de l'équation y' = ay + b ?
Primitive — définition ?
Fonction dont la dérivée est f.
Constante d’intégration — rôle ?
Différentes primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
Équation différentielle linéaire — forme ?
y' = ay + b, avec a, b constants.
Solution générale — composition ?
Somme d’une solution homogène et d’une particulière.
Solution particulière constante — exemple ?
g(x) = -b/a pour y' = ay + b.
Coefficient a — condition ?
Doit être différent de zéro.
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