Introduction aux espaces métriques

1. 📌 L'essentiel

• Un espace métrique est une paire (X, d) où d vérifie : non-négativité, symétrie, inégalité triangulaire.
• La distance d(x, y) ≥ 0, avec d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
• Exemple 1 : (ℝ, |·|), distance absolue.
• Exemple 2 : (ℝ², √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)), distance euclidienne.
• La propriété triangulaire : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
• La distance permet d’étudier convergence, continuité, compacité.
• Inégalité clé : |x + y| ≤ |x| + |y|.
• La topologie induite par d est basée sur les boules ouvertes B(x, r).
• La distance est un outil pour définir la structure topologique d’un espace.
• La vérification des propriétés est essentielle pour qualifier un espace comme métrique.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Distance (d) — Fonction vérifiant propriétés fondamentales.
• Espace métrique (X, d) — Ensemble avec une distance vérifiée.
• Boules ouvertes (B(x, r)) — Ensemble { y | d(x, y) < r }.
• Convergence — Suite (xₙ) converge vers x si d(xₙ, x) → 0.
• Continuité — Fonction f : X → Y continue si l’image de toute boule est une boule.
• Compatibilité topologique — La topologie induite par d est la topologie métrique.
• Exemples — ℝ avec distance absolue, ℝ² avec distance euclidienne.
• Inégalité de Cauchy-Schwarz — Utilisée pour démontrer la propriété triangulaire dans ℝ².
• Propriétés — Non-négativité, symétrie, inégalité triangulaire, distance nulle.