Fiche de révision : Introduction aux Espaces Vectoriels et Applications Linéaires

📋 Plan du Cours

1. Définition espace vectoriel
2. Propriétés sous-espaces
3. Exemples sous-espaces
4. Dimension et base
5. Applications linéaires
6. Théorème du rang
7. Matrices et rang
8. Produit scalaire
9. Orthogonalité et sous-espaces
10. Projection orthogonale
11. Complément orthogonal
12. Diagonalisation et valeurs propres

📖 1. Définition espace vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : Sous-ensemble F de E tel que :

  • 0 ∈ F
  • u, v ∈ F ⇒ u + v ∈ F
  • λ ∈ K, u ∈ F ⇒ λu ∈ F

• Propriétés :

  • L'intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.
  • La somme de deux sous-espaces F et G, définie par F + G = {u + v | u ∈ F, v ∈ G}, est un sous-espace vectoriel.

• Exemples :

  • F = {(x, y, z) ∈ R^3 | x + y + z = 0}
  • G = {(x, y, z) ∈ R^3 | x = y = 0}
  • F ∩ G = {(0, 0, 0)}

📝 Points essentiels

• La dimension d’un espace vectoriel est le nombre d’éléments d’une base.
• Si F et G sont deux sous-espaces de dimension finie, alors :
  • dim(F + G) = dim(F) + dim(G) - dim(F ∩ G)
• Une base est un ensemble de vecteurs libres et générateurs de l’espace.
• Tout espace de dimension finie possède une base de cette dimension.
• Une application linéaire f : E → F respecte :
  • f(u + v) = f(u) + f(v)
  • f(λu) = λf(u)
• Le noyau Ker(f) = {u ∈ E | f(u) = 0}
• L’image Im(f) = {f(u) | u ∈ E}
• Le théorème du rang : pour E de dimension finie,
  • dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))
• Toute application linéaire peut être représentée par une matrice A, dont le rang est égal à la dimension de l’image.
• Un produit scalaire est une application bilinéaire, symétrique et définie positive, permettant de définir norme et orthogonalité.
• Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si (u | v) = 0.
• Un sous-espace F est orthogonal à G si tout vecteur de F est orthogonal à tout vecteur de G.
• La projection orthogonale proj_F(u) est le vecteur de F le plus proche de u, donnée par :
  • proj_F(u) = Σ (u | e_i) e_i, avec {e_i} base orthonormée de F.
• Le complément orthogonal F^⊥ est l’ensemble des vecteurs orthogonaux à F, sous-espace de E.
• La diagonalisation d’une matrice A est possible si elle possède une base de vecteurs propres.
• λ est une valeur propre si (A - λI)v = 0 pour un vecteur propre v ≠ 0.

💡 À retenir

Un espace vectoriel est un ensemble stable par addition et multiplication par un scalaire, contenant le vecteur nul, et toute sous-structure de ce type forme un sous-espace vectoriel, avec des propriétés liées à la dimension, la base, et les applications linéaires.

📖 2. Propriétés sous-espaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriétés de la dimension :
  La dimension d’un espace vectoriel est le nombre d’éléments d’une base.
  Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie, alors :
  $\dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)$
  (relation entre dimensions de F, G, F+G, F∩G).

• Base et dimension :
  Une base est un ensemble de vecteurs de E qui est à la fois libre (linéairement indépendant) et générateur de E.
  Tout espace vectoriel de dimension finie admet une base.
  Si E est de dimension n, toute base de E comporte exactement n éléments.

📝 Points essentiels

• La dimension d’un espace vectoriel est le nombre d’éléments dans une base.
• La relation entre dimensions :
  $\dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)$
  permet de calculer la dimension de la somme ou de l’intersection de deux sous-espaces finis.
• La somme de deux sous-espaces F et G, notée F + G, est un sous-espace vectoriel de E, constitué de toutes les sommes u + v avec u ∈ F et v ∈ G.
• La dimension d’un espace vectoriel de dimension finie est le nombre d’éléments dans toute base.
• La base est un ensemble libre et générateur, et tout espace de dimension finie possède une base de cette taille.
• La relation de dimension pour deux sous-espaces F et G :
  $\dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)$
  est essentielle pour comprendre la structure des sous-espaces.

💡 À retenir

La dimension d’un espace vectoriel est le nombre d’éléments d’une base, et la relation entre dimensions de sous-espaces permet de calculer la dimension de leur somme ou intersection.

📖 3. Exemples sous-espaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Application linéaire : Fonction f : E → F respectant l'addition et la multiplication par scalaire, c'est-à-dire :
  f(u + v) = f(u) + f(v) et f(λu) = λf(u) pour tous u, v ∈ E et λ ∈ K.
• Noyau (Ker(f)) : Ensemble des vecteurs u ∈ E tels que f(u) = 0.
• Image (Im(f)) : Ensemble des vecteurs f(u) pour u ∈ E.
• Théorème du rang : Si E est de dimension finie, alors :
  dimension de E = dimension de Ker(f) + dimension de Im(f).

📝 Points essentiels

• Un sous-espace vectoriel F de E est un sous-ensemble vérifiant : 0 ∈ F, u, v ∈ F ⇒ u + v ∈ F, λ ∈ K, u ∈ F ⇒ λu ∈ F.
• La somme de deux sous-espaces F et G, notée F + G, est définie par : F + G = {u + v | u ∈ F, v ∈ G} et est un sous-espace de E.
• L'intersection de deux sous-espaces F et G est aussi un sous-espace.
• La dimension d’un espace vectoriel est le nombre d’éléments dans une base.
• La formule du rang : pour deux sous-espaces F et G de dimension finie, on a :
  dim(F + G) = dim(F) + dim(G) - dim(F ∩ G).
• Une base est un ensemble libre et générateur. Tout espace de dimension finie possède une base de cette dimension.
• Une application linéaire f : E → F vérifie :
  f(u + v) = f(u) + f(v) et f(λu) = λf(u).
• Le noyau Ker(f) est un sous-espace de E, et l’image Im(f) est un sous-espace de F.
• La diagonalisabilité d’une matrice A s’appuie sur l’existence d’une base de vecteurs propres.
• λ est une valeur propre si (A - λI)v = 0 pour un vecteur propre v ≠ 0.
• La projection orthogonale proj_F(u) d’un vecteur u sur F s’écrit :
  proj_F(u) = Σ (u | e_i) e_i, où {e_i} est une base orthonormée de F.
• Le complément orthogonal F^⊥ est l’ensemble des vecteurs orthogonaux à F, sous-espace de E.

💡 À retenir

Les sous-espaces vectoriels sont caractérisés par leur stabilité sous addition et multiplication par scalaire, et la relation entre dimension de l’espace, noyau et image d’une application linéaire est donnée par le théorème du rang.

📖 4. Dimension et base

🔑 Notions clés & Définitions

Matricielle associée à une application linéaire : Représentation d'une application linéaire par une matrice A, qui permet d'exprimer l'image d'un vecteur par multiplication matricielle.

Rang d'une matrice : Dimension de l'image de l'application linéaire qu'elle représente, c'est-à-dire le nombre de vecteurs linéairement indépendants dans l'image.

📝 Points essentiels

• La représentation matricielle d'une application linéaire permet d'étudier ses propriétés via la matrice A associée.
• Le rang d'une matrice est égal à la dimension de l'image de l'application linéaire correspondante.
• La dimension d'un espace vectoriel est le nombre d'éléments dans une base, qui est un ensemble de vecteurs libres et générateurs.
• La formule fondamentale pour deux sous-espaces F et G de dimension finie est :
  $\dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)$.
• Toute application linéaire possède un noyau (ensemble des vecteurs envoyés sur 0) et une image (ensemble des vecteurs images).
• La propriété du théorème du rang : pour une application linéaire sur un espace de dimension finie,
  $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\operatorname{Im}(f))$.
• La représentation matricielle permet aussi de déterminer le rang, qui correspond à la dimension de l'image de l'application linéaire.

💡 À retenir

La représentation matricielle d'une application linéaire facilite l'étude de ses propriétés, notamment par le rang, qui correspond à la dimension de son image. La dimension d’un espace vectoriel est donnée par la taille d’une base, et le théorème du rang relie cette dimension à celles du noyau et de l’image.

📖 5. Applications linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : application bilinéaire, symétrique, définie positive, permettant de définir norme et orthogonalité. (source)
• Orthogonalité : deux vecteurs u, v tels que (u|v)=0. (source)
• Sous-espace orthogonal : F orthogonal à G si tout vecteur de F est orthogonal à tout vecteur de G. (source)

📝 Points essentiels

• Un sous-espace vectoriel F de E est un sous-ensemble contenant 0, fermé par addition et multiplication par scalaire.
• La somme de deux sous-espaces F et G, notée F + G, est l'ensemble {u + v | u ∈ F, v ∈ G} et constitue un sous-espace vectoriel.
• L'intersection de deux sous-espaces est aussi un sous-espace.
• La dimension d’un espace vectoriel est le nombre d’éléments d’une base.
• La relation fondamentale pour deux sous-espaces F et G de dimension finie est :
  dim(F + G) = dim(F) + dim(G) - dim(F ∩ G).
• Une application linéaire f : E → F respecte :
  f(u + v) = f(u) + f(v) et f(λu) = λf(u).
• Le noyau Ker(f) = {u ∈ E | f(u) = 0} et l’image Im(f) = {f(u) | u ∈ E}.
• Le théorème du rang indique que, pour E de dimension finie :
  dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).
• Toute application linéaire peut être représentée par une matrice A, dont le rang est égal à la dimension de l’image.
• Un produit scalaire sur E est une application bilinéaire, symétrique et définie positive, permettant de définir la norme et l’orthogonalité.
• Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si (u|v)=0.
• Un sous-espace F est orthogonal à G si tout vecteur de F est orthogonal à tout vecteur de G.
• La projection orthogonale proj_F(u) d’un vecteur u sur F est le vecteur de F le plus proche de u, donnée par :
  proj_F(u) = Σ (u | e_i) e_i, avec {e_i} base orthonormée de F.
• Le complément orthogonal F^⊥ est l’ensemble des vecteurs orthogonaux à F, sous-espace de E.

💡 À retenir

Les applications linéaires respectent des propriétés d’addition et de multiplication par scalaire, et leur étude repose notamment sur le produit scalaire, l’orthogonalité, et la décomposition en sous-espaces orthogonaux.

📖 6. Théorème du rang

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection orthogonale : projection d'un vecteur u sur un sous-espace F, c'est le vecteur de F le plus proche de u.
• Formule de projection : proj_F(u) = Σ (u | e_i) e_i, où {e_i} est une base orthonormée de F.
• Complément orthogonal : F^⊥, ensemble des vecteurs orthogonaux à F, sous-espace de E.

📝 Points essentiels

• La dimension d'un espace vectoriel E de dimension finie est le nombre d'éléments d'une base.
• La somme de deux sous-espaces F et G, notée F + G, est un sous-espace de E défini par : F + G = {u + v | u ∈ F, v ∈ G}.
• La relation entre dimensions est donnée par :
  dim(F + G) = dim(F) + dim(G) - dim(F ∩ G).
• Le théorème du rang stipule que pour une application linéaire f : E → F, avec E de dimension finie :
  dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).

💡 À retenir

Le théorème du rang relie la dimension de l'espace initial, le noyau et l'image d'une application linéaire, permettant d'établir une relation fondamentale entre ces notions.

📖 7. Matrices et rang

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeurs propres : λ est une valeur propre d'une matrice A si : $(A - λI)v = 0$ pour un vecteur propre v ≠ 0. (voir section 12)

• Vecteurs propres : vecteur non nul v associé à une valeur propre λ tel que : $(A - λI)v = 0$

• Diagonalisation : une matrice A est diagonalisable si elle possède une base de vecteurs propres, c'est-à-dire si ses vecteurs propres forment une base de l'espace vectoriel considéré.

📝 Points essentiels

• La diagonalisation permet de simplifier les calculs en exprimant A dans une base constituée de vecteurs propres.
• La condition pour qu'une matrice soit diagonalisable est que ses vecteurs propres forment une base de l'espace (voir définition de vecteurs propres).
• La relation $(A - λI)v=0$ caractérise les vecteurs propres associés à la valeur propre λ.
• La diagonalisation repose sur la présence d'une base composée de vecteurs propres, ce qui implique que la matrice est "diagonalisable" dans cette base.
• La notion de vecteur propre est essentielle pour déterminer si une matrice peut être simplifiée par diagonalisation.

💡 À retenir

Une matrice est diagonalisable si et seulement si ses vecteurs propres forment une base, ce qui permet de la réduire à une forme diagonale facilitant ses calculs.

📖 8. Produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : application bilinéaire, symétrique et définie positive sur un espace vectoriel, permettant de mesurer l'angle et la longueur entre deux vecteurs. (contenu implicite dans la définition du produit scalaire)

• Orthogonalité : deux vecteurs u et v sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire (u | v) = 0.

• Complément orthogonal : F^⊥, ensemble des vecteurs orthogonaux à un sous-espace F, formant un sous-espace de E.

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire est une application bilinéaire, symétrique, et définie positive, qui permet de définir la norme d’un vecteur et l’orthogonalité entre vecteurs.

• Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : (u | v) = 0.

• Un sous-espace F est orthogonal à un sous-espace G si tout vecteur de F est orthogonal à tout vecteur de G.

• La projection orthogonale d’un vecteur u sur un sous-espace F est le vecteur de F le plus proche de u, donnée par la formule : $\text{proj}_F(u) = \sum (u | e_i) e_i$ où {e_i} est une base orthonormée de F.

• Le complément orthogonal F^⊥ est l’ensemble des vecteurs orthogonaux à F, formant un sous-espace de E.

💡 À retenir

Le produit scalaire permet de définir l’orthogonalité et la projection orthogonale, qui sont fondamentales pour analyser la structure des sous-espaces dans un espace vectoriel.

📖 9. Orthogonalité et sous-espaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : Sous-ensemble F d’un espace vectoriel E tel que : 0 ∈ F, u, v ∈ F ⇒ u + v ∈ F, λ ∈ K, u ∈ F ⇒ λu ∈ F (voir section 1).

• Propriétés des sous-espaces : L’intersection de deux sous-espaces est un sous-espace ; la somme F + G = {u + v | u ∈ F, v ∈ G} est aussi un sous-espace (voir section 2).

• Dimension : La dimension d’un espace vectoriel est le nombre d’éléments d’une base (voir section 2).

• Base et dimension : Une base est un ensemble libre et générateur ; toute espace de dimension finie possède une base de cette taille (voir section 2).

• Application linéaire : Fonction respectant addition et multiplication par scalaire, avec noyau Ker(f) = {u ∈ E | f(u) = 0} et image Im(f) = {f(u) | u ∈ E} (voir section 3).

• Théorème du rang : Pour E de dimension finie, dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) (voir section 3).

• Produit scalaire : Application bilinéaire, symétrique, définie positive, permettant de définir norme et orthogonalité (voir section 5).

• Orthogonalité : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire (u|v) = 0 (voir section 5).

• Sous-espace orthogonal : F orthogonal à G si tout vecteur de F est orthogonal à tout vecteur de G (voir section 5).

• Projection orthogonale : Vecteur de F le plus proche d’un vecteur u, défini par proj_F(u) = Σ (u | e_i) e_i, avec {e_i} base orthonormée de F (voir section 6).

• Complément orthogonal : F^⊥, l’ensemble des vecteurs orthogonaux à F, sous-espace de E (voir section 6).

• Diagonalisation : Matrice diagonalisable si elle possède une base de vecteurs propres, simplifiant les calculs (voir section 7).

• Valeurs propres et vecteurs propres : λ est une valeur propre si (A - λI)v = 0 pour v ≠ 0, v étant un vecteur propre (voir section 7).

📝 Points essentiels

• La définition de sous-espace vectoriel repose sur la stabilité par addition et multiplication par scalaire, incluant l’élément nul (section 1).
• La somme de deux sous-espaces est aussi un sous-espace, et la dimension de leur somme est donnée par la formule :
  dim(F + G) = dim(F) + dim(G) - dim(F ∩ G) (section 2).
• La notion d’orthogonalité repose sur le produit scalaire, qui doit être bilinéaire, symétrique et défini positive (section 5).
• Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, ce qui permet de définir des sous-espaces orthogonaux et leur complément orthogonal F^⊥ (sections 5 et 6).
• La projection orthogonale d’un vecteur u sur F est le vecteur dans F le plus proche de u, calculée via une base orthonormée (section 6).
• La diagonalisation d’une matrice repose sur l’existence d’une base de vecteurs propres, ce qui facilite la résolution de problèmes liés à cette matrice (section 7).

💡 À retenir

L’orthogonalité permet de décomposer un espace en sous-espaces complémentaires, facilitant l’étude et la simplification des applications linéaires et des matrices.

📖 10. Projection orthogonale

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : Ensemble F de E tel que 0 ∈ F, u, v ∈ F ⇒ u + v ∈ F, λ ∈ K, u ∈ F ⇒ λu ∈ F. (définition de l'espace vectoriel, voir section 1)

• Projection orthogonale : Vecteur de F le plus proche d’un vecteur u dans E, défini par la formule : $\text{proj}_F(u) = \sum_{i} (u | e_i) e_i$ où {e_i} est une base orthonormée de F. (concept lié à la projection, voir section 6)

• Complément orthogonal : Ensemble F^⊥ constitué de tous vecteurs orthogonaux à F, sous-espace de E. (voir section 6)

📝 Points essentiels

• La projection orthogonale d’un vecteur u sur un sous-espace F est le vecteur dans F le plus proche de u, c’est-à-dire celui qui minimise la distance entre u et F.

• La formule de projection s’écrit : $\text{proj}_F(u) = \sum_{i} (u | e_i) e_i$ avec {e_i} une base orthonormée de F. Elle repose sur la propriété d’orthogonalité et la base orthonormée.

• Le complément orthogonal F^⊥ est constitué de tous vecteurs orthogonaux à F, et est lui aussi un sous-espace vectoriel de E.

• La projection orthogonale permet de décomposer un vecteur u en une somme : $u = \text{proj}_F(u) + v$ où v ∈ F^⊥.

• La projection est un opérateur linéaire, idempotent (proj_F(proj_F(u)) = proj_F(u)).

💡 À retenir

La projection orthogonale d’un vecteur sur un sous-espace est le vecteur dans ce sous-espace le plus proche de lui, permettant de décomposer tout vecteur en une partie dans F et une partie orthogonale à F.

📖 11. Complément orthogonal

🔑 Notions clés & Définitions

• Complément orthogonal (F^⊥) : Ensemble des vecteurs orthogonaux à un sous-espace F dans un espace vectoriel E. C'est un sous-espace vectoriel de E.
• Projection orthogonale (proj_F(u)) : Vecteur de F le plus proche d’un vecteur u dans E, défini par la formule :
  $\text{proj}_F(u) = \sum (u | e_i) e_i$
  où $\{e_i\}$ est une base orthonormée de F.

📝 Points essentiels

• Le complément orthogonal F^⊥ est constitué de tous les vecteurs orthogonaux à F.
• F^⊥ est un sous-espace vectoriel de E.
• La projection orthogonale d’un vecteur u sur F est le vecteur dans F le plus proche de u, selon la norme induite par le produit scalaire.
• La formule de projection utilise une base orthonormée de F.
• La projection orthogonale permet de décomposer un vecteur u en une somme :
  $u = \text{proj}_F(u) + v$
  avec $v \in F^⊥$.
• Le complément orthogonal F^⊥ est lié à la notion de décomposition orthogonale de l’espace.

💡 À retenir

Le complément orthogonal F^⊥ est l’ensemble des vecteurs orthogonaux à F, et la projection orthogonale est l’outil clé pour décomposer un vecteur en composantes dans F et F^⊥.

📖 12. Diagonalisation et valeurs propres

🔑 Notions clés & Définitions

Valeurs propres : λ est une valeur propre d'une matrice A si (A - λI)v = 0 pour un vecteur propre v ≠ 0.
Vecteurs propres : vecteur non nul v associé à une valeur propre λ tel que (A - λI)v = 0.
Diagonalisation : une matrice A est diagonalisable s'il existe une base de vecteurs propres, ce qui permet de la représenter par une matrice diagonale dans cette base.
Application linéaire : fonction respectant addition et multiplication par scalaire, représentée par une matrice A (voir section 4).
Propriétés des sous-espaces : l'intersection de deux sous-espaces est un sous-espace, la somme de deux sous-espaces F et G est un sous-espace (voir section 1).
Produit scalaire : application bilinéaire, symétrique, définie positive, permettant de définir norme et orthogonalité (voir section 5).
Complément orthogonal : F^⊥, ensemble des vecteurs orthogonaux à F, sous-espace de E (voir section 6).

📝 Points essentiels

• La diagonalisation d'une matrice A repose sur l'existence d'une base composée de vecteurs propres, ce qui simplifie considérablement les calculs.
• La condition pour qu'une matrice soit diagonalisable est qu'elle possède suffisamment de vecteurs propres pour former une base de l'espace.
• La recherche de valeurs propres λ consiste à résoudre (A - λI)v = 0, ce qui revient à déterminer le noyau de (A - λI).
• La relation entre valeurs propres et vecteurs propres est fondamentale pour l'étude des matrices, notamment pour la simplification des applications linéaires.
• La propriété du théorème du rang (voir section 7) est liée à la dimension de l'espace vectoriel et à la capacité de diagonaliser une matrice.
• La diagonalisation permet de transformer une matrice en une forme plus simple, facilitant le calcul de ses puissances ou exponentielles.

💡 À retenir

Une matrice est diagonalisable si et seulement si elle possède une base de vecteurs propres, ce qui permet de la représenter sous une forme diagonale, simplifiant ainsi ses calculs et analyses.

📅 Repères chronologiques

Aucun date explicitement mentionnée dans le contenu fourni.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre sous-espace avec simple sous-ensemble : un sous-espace doit contenir 0, être stable par addition et multiplication par scalaire.
2. Oublier la formule de la dimension : dim(F+G) = dim(F) + dim(G) - dim(F∩G), surtout pour calculer la dimension de la somme ou intersection.
3. Confusion entre noyau et image d'une application linéaire.
4. Négliger que la base doit être composée de vecteurs libres et générateurs.
5. Confondre orthogonalité avec orthonormalité : l'orthogonalité ne nécessite pas que les vecteurs aient norme 1.
6. Erreur dans la formule de projection orthogonale : Σ (u|e_i) e_i doit être faite avec une base orthonormée.
7. Confusion entre diagonalisation et diagonalisation complète : toutes les matrices ne sont pas diagonalisables.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’un espace vectoriel et ses propriétés fondamentales.
2. Maîtriser la notion de sous-espace, notamment la stabilité sous addition et multiplication par scalaire.
3. Savoir calculer la dimension d’un espace ou d’un sous-espace, et connaître la formule du rang pour deux sous-espaces.
4. Identifier un sous-espace à partir d’un ensemble de vecteurs ou d’une équation.
5. Définir et distinguer noyau et image d’une application linéaire.
6. Appliquer le théorème du rang pour déterminer la dimension d’un espace ou d’un sous-espace.
7. Représenter une application linéaire par une matrice, et calculer son rang.
8. Comprendre la définition d’un produit scalaire, et savoir vérifier l’orthogonalité entre deux vecteurs.
9. Définir un sous-espace orthogonal, et calculer la projection orthogonale d’un vecteur sur un sous-espace.
10. Connaître la notion de complément orthogonal d’un sous-espace.
11. Expliquer le processus de diagonalisation d’une matrice, et définir une valeur propre.
12. Savoir utiliser la formule de la dimension dans le contexte de sous-espaces, bases, et applications linéaires.