Espace vectoriel — définition ?
Ensemble stable par addition et scalaire, contenant 0.
Sous-espace — propriétés ?
Contient 0, fermé par addition et multiplication par scalaire.
Exemple sous-espace — {(x,y,z) | x+y+z=0} ?
Sous-espace de R^3 défini par une équation linéaire.
Dimension — définition ?
Nombre d’éléments dans une base d’un espace.
Base — rôle ?
Ensemble libre qui génère tout l’espace.
Application linéaire — propriété ?
Respecte addition et multiplication par scalaire.
Théorème du rang — formule ?
dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).
Matrice — lien avec rang ?
Rang de la matrice = dimension de l’image.
Produit scalaire — rôle ?
Définit orthogonalité, norme, angles.
Orthogonalité — condition ?
(u|v)=0.
Sous-espace orthogonal — définition ?
F^⊥ = vecteurs orthogonaux à F.
Projection orthogonale — formule ?
proj_F(u) = Σ (u|e_i) e_i, base orthonormée.
Complément orthogonal — F^⊥ ?
Ensemble des vecteurs orthogonaux à F.
Valeur propre — condition ?
(A - λI)v=0 pour v ≠ 0.
Vecteur propre — définition ?
Vecteur non nul v tel que Av=λv.
Diagonalisation — condition ?
Existence d’une base de vecteurs propres.
Produit scalaire — propriétés ?
Bilinear, symétrique, défini positive.
Orthogonalité — vecteurs ?
Produit scalaire nul.
F^⊥ — propriété ?
Sous-espace de E, composé de vecteurs orthogonaux à F.
Projection — opérateur ?
Linéaire, idempotent, projette sur F.
Complément orthogonal — F^⊥ ?
Ensemble de vecteurs orthogonaux à F.
Vecteurs propres — relation ?
Associe λ et v tel que (A - λI)v=0.
Diagonalisation — avantage ?
Simplifie calculs de puissances et exponentielles.
Dimension — relation ?
Taille d’une base, nombre d’éléments libres.
Teste tes connaissances avec un QCM de 12 questions sur Introduction aux Espaces Vectoriels et Applications Linéaires.
1. Quelle est la fonction principale d’un espace vectoriel dans la structuration des vecteurs ?
2. Quelle propriété définit un sous-espace vectoriel dans un espace vectoriel ?
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